Круговая дуга

Дуга окружности это дуга окружности — между парой различных точек . Если две точки не находятся прямо напротив друг друга, одна из этих дуг, малая дуга , образует угол в центре круга, который меньше $π$ радиан (180 градусов ); а другая дуга, большая дуга , образует угол, превышающий $π$ радиан. Дуга круга определяется как часть или сегмент окружности круга . Прямая линия, соединяющая два конца дуги, называется хордой окружности. Если длина дуги равна ровно половине окружности, она называется полукруговой дугой .

Длина [ править ]

Длина (точнее, длина дуги ) дуги окружности радиуса r , образующей угол θ (измеренный в радианах) с центром окружности, т. е. центральным углом , равна

L=\theta r.

Это потому, что

{\frac {L}{\mathrm {circumference} }}={\frac {\theta }{2\pi }}.

Подстановка по окружности

{\frac {L}{2\pi r}}={\frac {\theta }{2\pi }},

и, где α — тот же угол, измеренный в градусах, поскольку θ = α / 180 $π$ , длина дуги равна

L={\frac {\alpha \pi r}{180}}.

Практический способ определить длину дуги в круге — провести две линии от концов дуги до центра круга, измерить угол, в котором две линии встречаются с центром, а затем найти L путем перекрестного умножения выражения. :

мера угла в градусах/360° = L /окружность.

Например, если угол равен 60 градусам, а длина окружности 24 дюйма, то

{\begin{aligned}{\frac {60}{360}}&={\frac {L}{24}}\\[6pt]360L&=1440\\[6pt]L&=4.\end{aligned}}

Это так, потому что длина окружности и степени круга, которых всегда 360, прямо пропорциональны.

Верхняя половина круга может быть параметризована как

y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}.

Тогда длина дуги от $x=a$ к $x=b$ является

L=r{\Big [}\arcsin \left({\frac {x}{r}}\right){\Big ]}_{a}^{b}.

Площадь сектора [ править ]

Площадь сектора, образованного дугой и центром круга (ограниченного дугой и двумя радиусами, проведенными к ее концам), равна

A={\frac {r^{2}\theta }{2}}.

Площадь A имеет ту же пропорцию к площади круга , что и угол θ к полному кругу:

{\frac {A}{\pi r^{2}}}={\frac {\theta }{2\pi }}.

Мы можем сократить $π$ с обеих сторон:

{\frac {A}{r^{2}}}={\frac {\theta }{2}}.

Умножив обе части на r ², получаем окончательный результат:

A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta .

Используя описанное выше преобразование, находим, что площадь сектора для центрального угла, измеренная в градусах, равна

A={\frac {\alpha }{360}}\pi r^{2}.

Область сегмента [ править ]

Площадь фигуры, ограниченная дугой и прямой линией между двумя ее конечными точками, равна

{\frac {1}{2}}r^{2}(\theta -\sin \theta ).

Чтобы получить площадь сегмента дуги , нам нужно вычесть из площади площадь треугольника, определяемую центром круга и двумя конечными точками дуги. $A$ . см. в разделе Круговой сегмент Подробности .

Радиус [ править ]

Используя теорему о пересекающихся хордах (также известную как степень точки или теорема о секущем касательном), можно вычислить радиус r круга, зная высоту H и ширину W дуги:

Рассмотрим хорду с теми же концами, что и дуга. Его биссектриса — это еще одна хорда, представляющая собой диаметр окружности. Длина первой хорды равна W , и она разделена биссектрисой на две равные половины, каждая длиной Вт / 2 . Общая длина диаметра равна 2 r и разделена первой хордой на две части. Длина одной части — это сагитта дуги H а другая часть — это остаток диаметра длиной 2 r − H. , Применение теоремы о пересекающихся хордах к этим двум хордам дает