Полукруг

Чтобы узнать о музыкальном альбоме, см. Полукруг (альбом) .

Полукруг
Область	πр 2 / 2
Периметр	(π+2)р

В математике (а точнее в геометрии ) полукруг — это одномерное геометрическое пространство точек, образующее половину круга . Это дуга окружности размером 180° (эквивалент π радиан или пол-оборота ). Имеет только одну линию симметрии ( отражательную симметрию ).

В нетехническом использовании термин «полукруг» иногда используется для обозначения либо замкнутой кривой , включающей также отрезок диаметра от одного конца дуги до другого, либо полудиска , который представляет собой двумерную геометрическую фигуру. область , которая дополнительно включает в себя все внутренние точки.

По теореме Фалеса любой треугольник , вписанный в полукруг с вершиной на каждом из концов полукруга и третьей вершиной в другом месте полукруга, является прямоугольным треугольником с прямым углом в третьей вершине.

Все прямые, пересекающие полукруг перпендикулярно, в совпадают центре круга, содержащего данный полукруг.

Арифметика и средние геометрические

Построение квадрата той же площади, что и заданный прямоугольник.

Доказательство без слов неравенства AM –GM :
PR — диаметр круга с центром в точке О; AO — среднее арифметическое a b и . его радиус Используя теорему о среднем геометрическом GQ треугольника PGR , высота является средним геометрическим . Для любого соотношения a : b AO ≥ GQ.

Полукруг можно использовать для построения и средних арифметических геометрических двух длин с помощью линейки и циркуля. Для полукруга диаметром a + b длина его радиуса равна среднему арифметическому а и b (поскольку радиус равен половине диаметра).

Среднее геометрическое можно найти, разделив диаметр на два отрезка длиной a и b , а затем соединив их общий конец с полукругом отрезком, перпендикулярным диаметру. Длина полученного отрезка является средним геометрическим. Это можно доказать, применив теорему Пифагора к трем подобным прямоугольным треугольникам, вершинами каждого из которых являются точка, в которой перпендикуляр касается полукруга, и две из трех конечных точек отрезков длин a и b .

Построение среднего геометрического можно использовать для преобразования любого прямоугольника в квадрат той же площади; эта задача называется квадратурой прямоугольника . Длина стороны квадрата — это среднее геометрическое длин сторон прямоугольника. В более общем смысле, он используется как лемма в общем методе преобразования любой многоугольной формы в аналогичную копию самой себя с площадью любой другой заданной многоугольной формы.

Схема фей

Сравнение кругов Форда и диаграммы Фарея с полукругами для n от 1 до 9. Каждый полукруг пересекает соответствующие ему круги под прямым углом. На изображении SVG наведите указатель мыши на круг или кривую, чтобы выделить его и его термины.

Последовательность Фарея порядка n — это последовательность полностью уменьшенных дробей , которые в наименьших терминах имеют знаменатели , меньшие или равные n , расположенные в порядке возрастания размера. При ограниченном определении каждая последовательность Фарея начинается со значения 0, обозначаемого дробью 0/1 и дробью заканчивается 1 / 1 . Круги Форда можно построить касательными к своим соседям и оси X в этих точках. Полукруги, соединяющие соседние точки на оси X, проходят через точки контакта под прямым углом.

Уравнение

Уравнение полукруга со средней точкой $(x_{0},y_{0})$ от диаметра между его концами и полностью вогнутый снизу, равен

$y=y_{0}+{\sqrt {r^{2}-(x-x_{0})^{2}}}$

Если он полностью вогнут сверху, уравнение имеет вид

$y=y_{0}-{\sqrt {r^{2}-(x-x_{0})^{2}}}$

Арбелос

Арбелос ( серая область)

Арбелос ограниченная — это область на плоскости, тремя полукругами, соединенными по углам, все на одной стороне прямой линии ( базовой линии ), содержащей их диаметры .

См. также

• Амфитеатр
• Двойные круги Архимеда
• Четверки Архимеда
• Салинон
• Распределение полукруга Вигнера

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Полукруг» . Математический мир .