Доказательство без слов

В математике доказательство без слов (или визуальное доказательство ) — это иллюстрация тождества или математического утверждения, которое можно продемонстрировать как самоочевидное с помощью диаграммы без какого-либо сопровождающего пояснительного текста. Такие доказательства можно считать более элегантными, чем формальные или математически строгие доказательства, из-за их самоочевидности. ^[1] Когда диаграмма демонстрирует частный случай общего утверждения, чтобы быть доказательством, оно должно быть обобщаемым. ^[2]

Доказательство без слов — это не то же самое, что математическое доказательство , поскольку оно опускает детали логического аргумента, который иллюстрирует. Однако он может дать зрителю ценную интуицию, которая поможет ему сформулировать или лучше понять истинное доказательство.

Примеры [ править ]

Сумма нечетных чисел [ править ]

Доказательство без слов теоремы о сумме нечетных чисел.

Утверждение о том, что сумма всех положительных нечетных чисел до 2 n − 1 является полным квадратом , точнее, полным квадратом n ²— может быть продемонстрировано доказательством без слов. ^[3]

В одном углу сетки один блок представляет 1, первый квадрат. Его можно обернуть с двух сторон полосой из трех блоков (следующее нечетное число), чтобы получился блок 2 × 2: 4, второй квадрат. Если добавить еще пять блоков, получится блок 3 × 3: 9, третий квадрат. Этот процесс можно продолжать бесконечно.

Теорема Пифагора [ править ]

о Теорема Пифагора том, что $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ можно доказать без слов. ^[4]

Один из способов сделать это — визуализировать больший квадрат со сторонами. $a+b$ , с четырьмя прямоугольными треугольниками сторон $a$ , $b$ и $c$ по углам так, что пространство посередине представляет собой диагональный квадрат площадью $c^{2}$ . Четыре треугольника можно переставить внутри большего квадрата, чтобы разделить неиспользуемое пространство на два квадрата. $a^{2}$ и $b^{2}$ . ^[5]

Неравенство Дженсена [ править ]

Неравенство Йенсена можно доказать и графически. Пунктирная кривая по оси X — это гипотетическое распределение X , а пунктирная линия по оси Y — соответствующее распределение Y. значений Выпуклое отображение Y ( X ) все больше «растягивает» распределение для увеличения X. значений ^[6]

Использование [ править ]

Журнал Mathematics Magazine и College Mathematics Journal регулярно публикуют статью под названием «Доказательство без слов», содержащую, как следует из названия, доказательства без слов. ^[3] На веб-сайтах «Искусство решения проблем» и USAMTS используются Java-апплеты, иллюстрирующие доказательства без слов. ^[7]^[8]

формальными доказательствами По сравнению с

Чтобы доказательство было принято математическим сообществом, оно должно логически показать, как утверждение, которое оно призвано доказать, полностью и неизбежно следует из набора предположений . ^[9] Доказательство без слов могло бы подразумевать такой аргумент, но оно не приводит его непосредственно, поэтому оно не может заменить формальное доказательство там, где оно требуется. ^[10]^[11] Скорее, математики используют доказательства без слов в качестве иллюстраций и учебных пособий для идей, которые уже были формально доказаны. ^[12]^[13]

См. также [ править ]

Теорема о пицце - Равенство площадей разрезанного диска
Философия математики
Теория доказательств - Раздел математической логики.
Визуальное исчисление - Визуальные математические доказательства

Примечания [ править ]

^ Данэм 1994 , с. 120
^ Вайсштейн, Эрик В. «Доказательство без слов» . Математический мир . Проверено 20 июня 2008 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Данэм 1994 , с. 121
^ Нельсен 1997 , стр. 3.
^ Бенсон, Дональд. Момент доказательства: математические прозрения , стр. 172–173 (Oxford University Press, 1999).
^ МакШейн, Э.Дж. (1937), «Неравенство Дженсена», Бюллетень Американского математического общества , том. 43, нет. 8, Американское математическое общество, с. 527, номер номера : 10.1090/S0002-9904-1937-06588-8
^ Галерея доказательств , Искусство решения проблем , получено 28 мая 2015 г.
^ Галерея доказательств , USA Mathematical Talent Search , получено 28 мая 2015 г.
^ Ланг, Серж (1971). Базовая математика . Ридинг, Массачусетс: Издательство Addison-Wesley. п. 94. Мы всегда стараемся четко помнить о том, что предполагаем и что доказываем. Под «доказательством» мы подразумеваем последовательность утверждений, каждое из которых либо предполагается, либо следует из предыдущих утверждений по правилу дедукции, которое само предполагается.
^ Бенсон, Стив; Аддингтон, Сьюзен; Аршавский, Нина; Куоко; Ал; Гольденберг, Э. Пол; Карновски, Эрик (6 октября 2004 г.). Руководство для фасилитатора, как думать о математике (Иллюстрированное издание). Корвин Пресс. п. 78. ИСБН 9781412905206 . Доказательства без слов, строго говоря, не являются доказательствами , поскольку обычно отсутствуют детали.
^ Спивак, Михаил (2008). Исчисление (4-е изд.). Хьюстон, Техас: Publishing or Perish, Inc. п. 138. ИСБН 978-0-914098-91-1 . Однако основание аргумента на геометрической картине не является доказательством...
^ Бенсон, Стив; Аддингтон, Сьюзен; Аршавский, Нина; Куоко; Ал; Гольденберг, Э. Пол; Карновски, Эрик (6 октября 2004 г.). Руководство для фасилитатора, как думать о математике (Иллюстрированное издание). Корвин Пресс. п. 78. ИСБН 9781412905206 . Однако, поскольку большинство доказательств без слов носят визуальный характер, они часто служат напоминанием или намеком на то, чего не хватает.
^ Шульте, Том (12 января 2011 г.). «Доказательства без слов: Упражнения по наглядному мышлению (обзор)» . Обзоры МАА . Математическая ассоциация Америки . Проверено 26 октября 2022 г. Эта небольшая коллекция разнообразных визуальных «доказательств» (можно утверждать, что этот термин здесь широко применяется) интересна и поучительна. Лично я нахожу такие представления привлекательными и стимулирующими, помогающими этому «ага!» момент, когда символический аргумент, кажется, не вносит ясности.

Ссылки [ править ]

Данэм, Уильям (1994), Математическая Вселенная , Джон Уайли и сыновья, ISBN 0-471-53656-3
Нельсен, Роджер Б. (1997), Доказательства без слов: упражнения по визуальному мышлению , Математическая ассоциация Америки, стр. 160, ISBN 978-0-88385-700-7
Нельсен, Роджер Б. (2000), Доказательства без слов II: Дополнительные упражнения по визуальному мышлению , Математическая ассоциация Америки, стр. 142 , ISBN 0-88385-721-9
Галли, Нед (4 марта 2010 г.), Шур, Лорен (ред.), Теорема Никомаха , Matlab Central .

[dunham120-1] Данэм 1994 , с. 120

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Доказательство без слов» . Математический мир . Проверено 20 июня 2008 г.

[dunham121-3] Перейти обратно: ^а ^б Данэм 1994 , с. 121

[4] Нельсен 1997 , стр. 3.

[5] Бенсон, Дональд. Момент доказательства: математические прозрения , стр. 172–173 (Oxford University Press, 1999).

[6] МакШейн, Э.Дж. (1937), «Неравенство Дженсена», Бюллетень Американского математического общества , том. 43, нет. 8, Американское математическое общество, с. 527, номер номера : 10.1090/S0002-9904-1937-06588-8

[7] Галерея доказательств , Искусство решения проблем , получено 28 мая 2015 г.

[8] Галерея доказательств , USA Mathematical Talent Search , получено 28 мая 2015 г.

[9] Ланг, Серж (1971). Базовая математика . Ридинг, Массачусетс: Издательство Addison-Wesley. п. 94. Мы всегда стараемся четко помнить о том, что предполагаем и что доказываем. Под «доказательством» мы подразумеваем последовательность утверждений, каждое из которых либо предполагается, либо следует из предыдущих утверждений по правилу дедукции, которое само предполагается.

[10] Бенсон, Стив; Аддингтон, Сьюзен; Аршавский, Нина; Куоко; Ал; Гольденберг, Э. Пол; Карновски, Эрик (6 октября 2004 г.). Руководство для фасилитатора, как думать о математике (Иллюстрированное издание). Корвин Пресс. п. 78. ИСБН 9781412905206 . Доказательства без слов, строго говоря, не являются доказательствами , поскольку обычно отсутствуют детали.

[11] Спивак, Михаил (2008). Исчисление (4-е изд.). Хьюстон, Техас: Publishing or Perish, Inc. п. 138. ИСБН 978-0-914098-91-1 . Однако основание аргумента на геометрической картине не является доказательством...

[12] Бенсон, Стив; Аддингтон, Сьюзен; Аршавский, Нина; Куоко; Ал; Гольденберг, Э. Пол; Карновски, Эрик (6 октября 2004 г.). Руководство для фасилитатора, как думать о математике (Иллюстрированное издание). Корвин Пресс. п. 78. ИСБН 9781412905206 . Однако, поскольку большинство доказательств без слов носят визуальный характер, они часто служат напоминанием или намеком на то, чего не хватает.

[13] Шульте, Том (12 января 2011 г.). «Доказательства без слов: Упражнения по наглядному мышлению (обзор)» . Обзоры МАА . Математическая ассоциация Америки . Проверено 26 октября 2022 г. Эта небольшая коллекция разнообразных визуальных «доказательств» (можно утверждать, что этот термин здесь широко применяется) интересна и поучительна. Лично я нахожу такие представления привлекательными и стимулирующими, помогающими этому «ага!» момент, когда символический аргумент, кажется, не вносит ясности.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]