Непрерывная гипотеза

Эта статья о гипотезе в теории множеств. О допущениях в механике жидкости см. в разделе «Предположение о континууме» .

В математике , особенно в теории множеств , гипотеза континуума (сокращенно CH ) — это гипотеза о возможных размерах бесконечных множеств . Говорится:

«Не существует множества, мощность которого находилась бы строго между мощностью целых и действительных чисел ».

Или эквивалентно:

«Любое подмножество действительных чисел либо конечно, либо счетно бесконечно, либо имеет мощность действительных чисел».

В теории множеств Цермело–Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) это эквивалентно следующему уравнению в числах алефа : $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$или даже короче с числами ставок : $\beth _{1}=\aleph _{1}$.

Гипотеза континуума была выдвинута Георгом Кантором в 1878 году. и установление ее истинности или ложности является первой из 23 проблем Гильберта, представленных в 1900 году. Ответ на эту проблему не зависит от ZFC, так что либо гипотеза континуума, либо ее отрицание могут быть добавлены в качестве аксиомы к теории множеств ZFC, что приведет к получению результата. теория непротиворечива тогда и только тогда, когда ZFC непротиворечив. Эта независимость была доказана в 1963 году Полом Коэном , дополняя более раннюю работу Курта Гёделя в 1940 году.

Название гипотезы происходит от термина « континуум» действительных чисел.

История

Кантор верил в истинность гипотезы континуума и на протяжении многих лет тщетно пытался ее доказать. Он стал первым в списке важных открытых вопросов Дэвида Гильберта , который был представлен на Международном конгрессе математиков в 1900 году в Париже. Аксиоматическая теория множеств на тот момент еще не была сформулирована. Курт Гёдель доказал в 1940 году, что отрицание гипотезы континуума, т. е. существование множества промежуточной мощности, не может быть доказано в стандартной теории множеств. Вторая половина независимости гипотезы континуума – то есть недоказуемость несуществования множества промежуточного размера – была доказана в 1963 году Полом Коэном .

Мощность бесконечных множеств

Основная статья: Кардинальное число

Говорят, что два множества имеют одинаковую мощность или кардинальное число , если между ними существует биекция (взаимно однозначное соответствие). Интуитивно, если два множества S и T имеют одинаковую мощность, это означает, что можно «соединить» элементы S с элементами T таким образом, что каждый элемент S будет соединен в пару ровно с одним элементом T , и наоборот. наоборот. Следовательно, множество {банан, яблоко, груша} имеет ту же мощность, что и {жёлтый, красный, зелёный}.

В случае бесконечных наборов, таких как набор целых или рациональных чисел , существование биекции между двумя наборами становится труднее продемонстрировать. Рациональные числа, по-видимому, образуют контрпример к гипотезе континуума: целые числа образуют правильное подмножество рациональных чисел, которые сами образуют правильное подмножество действительных чисел, поэтому интуитивно понятно, что рациональных чисел больше, чем целых, и больше действительных чисел, чем рациональных чисел. Однако этот интуитивный анализ ошибочен; он не учитывает должным образом тот факт, что все три множества бесконечны . Оказывается, рациональные числа на самом деле могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с целыми числами, и поэтому набор рациональных чисел имеет тот же размер ( мощность ), что и набор целых чисел: оба они являются счетными множествами .

Кантор дал два доказательства того, что мощность множества целых чисел строго меньше мощности множества действительных чисел (см. первое доказательство несчетности Кантора и диагональный аргумент Кантора ). Однако его доказательства не дают никаких указаний на то, насколько мощность целых чисел меньше мощности действительных чисел. Кантор предложил гипотезу континуума как возможное решение этого вопроса.

Гипотеза континуума утверждает, что набор действительных чисел имеет минимально возможную мощность, превышающую мощность набора целых чисел. То есть каждый набор действительных чисел S либо действительные числа могут быть взаимно однозначно отображены в S. может быть либо взаимно однозначно отображен в целые числа , Поскольку действительные числа равнозначны степеням т.е. целых чисел, $|\mathbb {R} |=2^{\aleph _{0}}$, гипотезу континуума можно переформулировать следующим образом:

Продолжение гипотезы - $\nexists S\colon \aleph _{0}<|S|<2^{\aleph _{0}}$.

Если принять аксиому выбора , то существует уникальное наименьшее кардинальное число. $\aleph _{1}$ больше чем $\aleph _{0}$, а гипотеза континуума, в свою очередь, эквивалентна равенству $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$.

Независимость от ZFC

Независимость гипотезы континуума (CH) от теории множеств Цермело–Френкеля (ZF) следует из совместной работы Курта Гёделя и Пола Коэна .

Гёдель показал, что CH нельзя опровергнуть из ZF, даже если аксиому выбора принять (AC) (что делает ZFC). Доказательство Гёделя показывает, что CH и AC оба справедливы в конструктивной вселенной L, внутренней модели теории множеств ZF, предполагающей только аксиомы ZF. Существование внутренней модели ZF, в которой выполняются дополнительные аксиомы, показывает, что дополнительные аксиомы согласуются с ZF при условии, что сам ZF непротиворечив. Последнее условие не может быть доказано в самом ZF из-за теорем Гёделя о неполноте , но широко распространено мнение, что оно истинно и может быть доказано в более сильных теориях множеств.

Коэн показал, что CH нельзя доказать с помощью аксиом ZFC, завершив общее доказательство независимости. Чтобы доказать свой результат, Коэн разработал метод принуждения , который стал стандартным инструментом в теории множеств. По сути, этот метод начинается с модели ZF, в которой выполняется CH, и строит другую модель, которая содержит больше наборов, чем исходная, таким образом, что CH не выполняется в новой модели. Коэн был награжден медалью Филдса За свои доказательства в 1966 году.

Только что описанное доказательство независимости показывает, что CH не зависит от ZFC. Дальнейшие исследования показали, что CH не зависит от всех известных больших кардинальных аксиом в контексте ZFC. Более того, было показано, что мощность континуума может быть любой кардинальной, согласующейся с теоремой Кёнига . Результат Соловея, доказанный вскоре после результата Коэна о независимости гипотезы континуума, показывает, что в любой модели ZFC, если $\kappa$ является кардиналом несчетной конфинальности , то существует вынуждающее расширение, в котором $2^{\aleph _{0}}=\kappa$. Однако, согласно теореме Кенига, несовместимо предполагать $2^{\aleph _{0}}$ является $\aleph _{\omega }$ или $\aleph _{\omega _{1}+\omega }$ или любой кардинал с конфинальностью $\omega$.

Гипотеза континуума тесно связана со многими утверждениями в анализе , топологии множества точек и теории меры . В результате его независимости впоследствии было показано, что многие существенные гипотезы в этих областях также независимы.

Независимость от ZFC означает, что доказать или опровергнуть CH внутри ZFC невозможно. Однако отрицательные результаты Гёделя и Коэна не общепризнаны как исключающие всякий интерес к гипотезе континуума. Гипотеза континуума остается активной темой исследований; увидеть Вудина и Питер Келлнер для обзора текущего статуса исследований.

Гипотеза континуума и аксиома выбора были одними из первых истинно математических утверждений, которые оказались независимыми от теории множеств ZF. Хотя существование некоторых утверждений, независимых от ZFC, было известно уже более двух десятилетий назад: например, при условии хороших свойств корректности и непротиворечивости ZFC, теоремы Гёделя о неполноте , опубликованные в 1931 году, устанавливают, что существует формальное утверждение (одно для каждой соответствующей схемы нумерации Гёделя ), выражающей непротиворечивость ZFC, которая также не зависит от нее. Последний результат независимости действительно справедлив для многих теорий.

гипотезы

Гёдель считал, что CH ложно, и что его доказательство того, что CH совместимо с ZFC, показывает только то, что аксиомы Цермело – Френкеля не адекватно характеризуют вселенную множеств. Гёдель был платоником и поэтому не имел проблем с утверждением истинности и ложности утверждений независимо от их доказуемости. Коэн, хоть и формалист , также склонялся к отказу от CH.

Исторически сложилось так, что математики, которые выступали за «богатую» и «большую» вселенную множеств, были против CH, в то время как те, кто выступал за «аккуратную» и «управляемую» вселенную, выступали за CH. Параллельно приводились аргументы за и против аксиомы конструктивности , из которой следует CH. Совсем недавно Мэтью Форман отметил, что онтологический максимализм на самом деле может быть использован для аргументации в пользу CH, потому что среди моделей, имеющих одинаковые действительные числа, модели с «большим» набором действительных чисел имеют больше шансов удовлетворить CH.

Другая точка зрения состоит в том, что концепция множества недостаточно конкретна, чтобы определить, является ли CH истинным или ложным. еще в 1923 году Эта точка зрения была выдвинута Сколемом , еще до появления первой теоремы Гёделя о неполноте. Скулем аргументировал это на основе того, что сейчас известно как парадокс Скулема , и позже это было подтверждено независимостью CH от аксиом ZFC, поскольку этих аксиом достаточно, чтобы установить элементарные свойства множеств и мощностей. Чтобы опровергнуть эту точку зрения, достаточно было бы продемонстрировать новые, подкрепленные интуицией аксиомы и разрешить СН в ту или иную сторону. Хотя аксиома конструктивности действительно разрешает CH, она обычно не считается интуитивно истинной, так же как CH обычно не считается ложной.

Были предложены по крайней мере две другие аксиомы, которые имеют значение для гипотезы континуума, хотя эти аксиомы в настоящее время не нашли широкого признания в математическом сообществе. В 1986 году Крис Фрейлинг представил аргумент против CH, показав, что отрицание CH эквивалентно аксиоме симметрии Фрейлинга , утверждению, полученному на основе конкретных интуиций о вероятностях . Фрейлинг считает, что эта аксиома «интуитивно ясна». но другие не согласились.

Сложный аргумент против CH, разработанный У. Хью Вудином, привлек значительное внимание с 2000 года. Форман не отвергает категорически аргументы Вудина, но призывает к осторожности. Вудин предложил новую гипотезу, которую он назвал «(*)-аксиомой» или «Звездной аксиомой». Аксиома Звезды подразумевала бы, что $2^{\aleph _{0}}$ является $\aleph _{2}$, тем самым фальсифицируя CH. Аксиома Звезды была подкреплена независимым доказательством в мае 2021 года, показывающим, что аксиому Звезды можно вывести из вариации максимума Мартина . Однако в 2010-х годах Вудин заявил, что теперь вместо этого он верит в истинность CH, основываясь на своей вере в свою новую гипотезу «окончательного L».

Соломон Феферман утверждал, что CH не является определенной математической проблемой. Он предложил теорию «определенности», используя полуинтуиционистскую подсистему ZF, которая принимает классическую логику для ограниченных кванторов, но использует интуиционистскую логику для неограниченных, и предположил, что утверждение $\phi$ является математически «определенным», если полуинтуиционистская теория может доказать $(\phi \lor \neg \phi )$. Он предположил, что CH не является определенным в соответствии с этим понятием, и предположил, что поэтому следует считать, что CH не имеет истинностного значения. Питер Келлнер написал критический комментарий к статье Фефермана.

Джоэл Дэвид Хэмкинс предлагает подход к теории множеств, основанный на мультивселенной , и утверждает, что «гипотеза континуума основывается на представлении о мультивселенной благодаря нашим обширным знаниям о том, как она ведет себя в мультивселенной, и, как следствие, она больше не может быть решена таким способом, как раньше надеялись». В том же духе Сахарон Шелах писал, что он «не согласен с чисто платоническим взглядом на то, что интересные проблемы теории множеств могут быть решены, что нам просто нужно открыть дополнительную аксиому. Моя мысленная картина такова, что у нас есть много возможных множеств. теории, все соответствующие ZFC».

континуума

Обобщенная гипотеза континуума (GCH) утверждает, что если мощность бесконечного набора находится между мощностью бесконечного набора S и мощностью набора мощности ${\mathcal {P}}(S)$ S и , то он имеет ту же мощность, что S или ${\mathcal {P}}(S)$. То есть для любого бесконечного кардинала $\lambda$ кардинала нет $\kappa$ такой, что $\lambda <\kappa <2^{\lambda }$. GCH эквивалентен:

$\aleph _{\alpha +1}=2^{\aleph _{\alpha }}$ для каждого порядкового номера $\alpha$ (иногда называемую гипотезой алефа Кантора ).

Числа Бет предоставляют альтернативное обозначение этого условия: $\aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }$ для каждого порядкового номера $\alpha$. Гипотеза континуума представляет собой частный случай порядкового порядка. $\alpha =1$. GCH был впервые предложен Филипом Журденом . О ранней истории GCH см. Мур.

Как и CH, GCH также независим от ZFC, но Серпинский доказал, что ZF + GCH подразумевает аксиому выбора (AC) (и, следовательно, отрицание аксиомы детерминированности AD), поэтому выбор и GCH не независимы в ZF; нет моделей ZF, в которых ГЧ держится, а АС выходит из строя. Чтобы доказать это, Серпинский показал, что GCH подразумевает, что каждая мощность n меньше некоторого числа алефа и, следовательно, может быть упорядочена. Это делается путем демонстрации того, что n меньше, чем $2^{\aleph _{0}+n}$ которое меньше собственного числа Хартогса — при этом используется равенство $2^{\aleph _{0}+n}\,=\,2\cdot \,2^{\aleph _{0}+n}$; полное доказательство см. у Гиллмана.

Курт Гёдель показал, что GCH является следствием ZF + V=L (аксиомы, согласно которой каждое множество можно построить относительно ординалов), и, следовательно, согласуется с ZFC. Поскольку GCH подразумевает CH, модель Коэна, в которой CH терпит неудачу, является моделью, в которой GCH терпит неудачу, и, следовательно, GCH не доказуема с помощью ZFC. У. Б. Истон использовал метод принуждения, разработанный Коэном, для доказательства теоремы Истона , которая показывает, что она согласуется с ZFC для сколь угодно больших кардиналов. $\aleph _{\alpha }$ не удовлетворить $2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}$. Намного позже Форман и Вудин доказали, что (в предположении непротиворечивости очень больших кардиналов) справедливо то, что $2^{\kappa }>\kappa ^{+}$ справедливо для любого бесконечного кардинала $\kappa$. Позже Вудин расширил это, показав непротиворечивость $2^{\kappa }=\kappa ^{++}$ для каждого $\kappa$. Карми Меримович показал, что для каждого n ≥ 1 согласуется с ZFC, что для каждого κ, 2 ^К является n- м преемником κ. С другой стороны, Ласло Патай доказал, что если γ — ординал и для каждого бесконечного кардинала κ, 2 ^К является γ-м преемником κ, то γ конечен.

Для любых бесконечных множеств A и B, если существует инъекция из A в B, то существует инъекция из подмножеств A в подмножества B. Таким образом, для любых бесконечных кардиналов A и B $A<B\to 2^{A}\leq 2^{B}$. Если A и B конечны, то более сильное неравенство $A<B\to 2^{A}<2^{B}$держит. GCH подразумевает, что это строгое и более сильное неравенство справедливо как для бесконечных, так и для конечных кардиналов.

Последствия GCH для кардинального

Хотя гипотеза обобщенного континуума напрямую относится только к кардинальному возведению в степень с 2 в качестве основания, из нее можно вывести значения кардинального возведения в степень $\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}$в любом случае. GCH подразумевает, что для ординалов α и β :

$\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\beta +1}$ когда α ≤ β +1;

$\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\alpha }$ когда β +1 < α и $\aleph _{\beta }<\operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })$, где cf – операция конфинальности ; и

$\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\alpha +1}$ когда β +1 < α и $\aleph _{\beta }\geq \operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })$.

Первое равенство (когда α ≤ β +1) следует из:

$\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\leq \aleph _{\beta +1}^{\aleph _{\beta }}=(2^{\aleph _{\beta }})^{\aleph _{\beta }}=2^{\aleph _{\beta }\cdot \aleph _{\beta }}=2^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\beta +1}$ , пока:

$\aleph _{\beta +1}=2^{\aleph _{\beta }}\leq \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}$ ;

Третье равенство (когда β +1 < α и $\aleph _{\beta }\geq \operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })$) следует из:

$\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\geq \aleph _{\alpha }^{\operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}>\aleph _{\alpha }$, по теореме Кенига , в то время как:

$\aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\leq \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\alpha }}\leq (2^{\aleph _{\alpha }})^{\aleph _{\alpha }}=2^{\aleph _{\alpha }\cdot \aleph _{\alpha }}=2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}$

Где для каждого γ GCH используется для уравнения $2^{\aleph _{\gamma }}$ и $\aleph _{\gamma +1}$; $\aleph _{\gamma }^{2}=\aleph _{\gamma }$ используется как эквивалент аксиомы выбора .

См. также

• Абсолютная бесконечность
• Число Бет
• Мощность
• Ω-логика
• Вторая гипотеза континуума
• Проблема Ветцеля

Ссылки

• Мэдди, Пенелопа (июнь 1988 г.). «Веря в аксиомы, [часть I]». Журнал символической логики . 53 (2). Ассоциация символической логики: 481–511. дои : 10.2307/2274520 . JSTOR   2274520 .

Источники

• Эта статья включает в себя материал из гипотезы обобщенного континуума по PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License . Архивировано 8 февраля 2017 г. в Wayback Machine.

Дальнейшее чтение

• Коэн, Пол Джозеф (2008) [1966]. Теория множеств и гипотеза континуума . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-46921-8 .
• Дейлс, ХГ; Вудин, WH (1987). Введение в независимость для аналитиков . Кембридж.
• Эндертон, Герберт (1977). Элементы теории множеств . Академическая пресса.
• Гёдель К.: Что такое проблема Кантора с континуумом? , перепечатано в сборнике Бенасеррафа и Патнэма « Философия математики» , 2-е изд., Cambridge University Press, 1983. Краткое изложение аргументов Гёделя против CH.
• Мартин, Д. (1976). «Первая проблема Гильберта: гипотеза континуума», в книге « Математические разработки, возникающие из проблем Гильберта», «Труды симпозиума по чистой математике XXVIII», Ф. Браудер, редактор. Американское математическое общество, 1976, стр. 81–92. ISBN   0-8218-1428-1
• Макгоф, Нэнси. «Гипотеза континуума» .
• Волчовер, Натали (15 июля 2021 г.). «Сколько существует чисел? Доказательство бесконечности приближает математику к ответу» .

Внешние ссылки

Цитаты, связанные с гипотезой континуума, в Wikiquote

• Судзик, Мэтью и Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза континуума» . Математический мир .