Внутренняя модель
В теории множеств , разделе математической логики , внутренней модели. [1] для теории T — это подструктура модели M , теории множеств которая одновременно является моделью T и содержит все ординалы M .
Определение [ править ]
Пусть L = ⟨ا⟩ — язык теории множеств. Пусть S — конкретная теория множеств, например аксиомы ZFC , и пусть T (возможно, то же самое, что S ) также является теорией в L.
Если M — модель S, а N — L -структура такая, что
- N является подструктурой M, т. е. интерпретация ∈ N из ∈ в N равна ∈ M ∩ N 2
- N — модель Т
- область определения N является транзитивным M классом
- N содержит все порядковые номера из M
тогда мы говорим, что N является внутренней моделью T ( в M ). [2] Обычно T будет равно (или включать в себя) , так что N является моделью для S «внутри» модели M для S. S
Если выполняются только условия 1 и 2, N называется стандартной моделью T ( в M ), стандартной подмоделью T ( если S = T и N является множеством в M. ) Модель N группы T в M называется транзитивной , если она стандартна и выполняется условие 3. Если аксиома основания не предполагается (то есть ее нет в S ), всем трем этим понятиям дается дополнительное условие того, что N является хорошо обоснованным . Следовательно, внутренние модели транзитивны, транзитивные модели являются стандартными, а стандартные модели хорошо обоснованы.
Предположение о существовании стандартной подмодели ZFC (в данной вселенной) сильнее, чем предположение о существовании модели. Фактически, если существует стандартная подмодель, то существует и наименьшая стандартная подмодель. называется минимальной моделью, содержащейся во всех стандартных подмоделях. Минимальная подмодель не содержит стандартной подмодели (поскольку она минимальна), но (при условии согласованности ZFC) содержитнекоторая модель ZFC по теореме Гёделя о полноте . Эта модель не обязательно является хорошо обоснованной, иначе ее коллапс Мостовского был бы стандартной подмоделью. (Это не вполне обоснованное отношение во Вселенной, хотя иудовлетворяет аксиоме обоснованности , поэтому является «внутренне» обоснованным. Быть хорошо обоснованным не является абсолютным свойством. [3] )В частности, в минимальной подмодели есть модель ZFC, но нет стандартной подмодели ZFC.
Используйте [ править ]
Обычно, когда кто-то говорит о внутренних моделях теории, обсуждается теория ZFC или какое-то расширение ZFC (например, ZFC + « существует измеримый кардинал »). Когда теория не упоминается, обычно предполагается, что обсуждаемая модель является внутренней моделью ZFC. Однако нередко говорят о внутренних моделях подтеорий ZFC (таких как ZF или KP и ).
Связанные идеи [ править ]
Курт Гёдель доказал, что любая модель ZF имеет наименьшую внутреннюю модель ZF, конструктивной вселенной , которая также является внутренней моделью ZFC + GCH .
Существует раздел теории множеств, называемый теорией внутренних моделей , который изучает способы построения наименьших внутренних моделей теорий, расширяющих ZF. Теория внутренней модели привела к открытию точной силы согласованности многих важных теоретических свойств.
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Шепердсон, Дж. К. (1951–53). «Внутренние модели теории множеств» (Документ). Журнал символической логики.
- ^ Джех, Томас (2002). Теория множеств . Берлин: Springer Verlag . ISBN 3-540-44085-2 .
- ^ Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств . Амстердам: Паб Северной Голландии. компании ISBN 0-444-86839-9 . , Страница 117