Измеримый кардинал

В математике измеримое кардинальное число — это определенный вид большого кардинального числа. Чтобы определить концепцию, вводится двузначная мера на кардинале κ или, в более общем смысле, на любом множестве. Для кардинала κ его можно описать как подразделение всех его подмножеств на большие и малые множества, такое, что само κ велико, ∅ и все одиночные элементы { α } (с α ∈ κ ) малы, дополнения к маленьким наборам равны большой и наоборот. Пересечение менее чем κ больших множеств снова велико. ^[1]

Оказывается, несчетные кардиналы, наделенные двузначной мерой, — это большие кардиналы, существование которых невозможно доказать с помощью ZFC . ^[2]

Понятие измеримого кардинала было введено Станиславом Уламом в 1930 году. ^[3]

Определение [ править ]

Формально измеримый кардинал — это несчетное кардинальное число κ такое, что существует κ -аддитивная нетривиальная 0-1-значная мера µ на множестве степеней κ .

Здесь κ-аддитивность означает: для любого λ < κ и любого λ -размерного множества { A _β } _{β < λ} попарно непересекающихся подмножеств A _β ⊆ κ имеем

μ (⋃ _{β < λ} А _β ) знак равно Σ _{β < λ} μ ( А _β ).

Эквивалентно, что κ означает, что это критическая точка нетривиального элементарного вложения вселенной V M в транзитивный класс измеримо , . Эта эквивалентность принадлежит Джерому Кейслеру и Дане Скотт и использует конструкцию сверхмощности из теории моделей . Поскольку V — это правильный класс , необходимо решить техническую проблему, которая обычно не возникает при рассмотрении сверхспособностей, с помощью того, что сейчас называется трюком Скотта .

Эквивалентно, κ является измеримым кардиналом тогда и только тогда, когда это несчетный кардинал с κ -полным неглавным ультрафильтром . Опять же, это означает, что пересечение любых множеств в ультрафильтре, строго меньших, чем κ -много, также находится в ультрафильтре.

Свойства [ править ]

Тривиально заметить, что если κ допускает нетривиальную κ -аддитивную меру, то κ должна быть регулярной. (По нетривиальности и κ -аддитивности любое подмножество мощности меньше κ должно иметь меру 0, а затем снова по κ -аддитивности это означает, что все множество не должно быть объединением менее κ множеств мощности меньше κ ) Наконец, если λ < κ, то не может быть так, чтобы κ ⩽ 2. ^л. Если бы это было так, мы могли бы отождествить κ с некоторым набором последовательностей 0–1 длины λ. Для каждой позиции в последовательности либо подмножество последовательностей с 1 в этой позиции, либо подмножество с 0 в этой позиции должно иметь меру 1. Таким образом, пересечение этих λ -многих подмножеств с мерой 1 также должно иметь меру 1. , но в нем содержалась бы ровно одна последовательность, что противоречило бы нетривиальности меры. Таким образом, приняв аксиому выбора, мы можем сделать вывод, что κ — сильный предельный кардинал, что завершает доказательство ее недостижимости.

Хотя из ZFC следует , что каждый измеримый кардинал недоступен (и невыразим , Рэмси и т. д.), это согласуется с ZF , что измеримый кардинал может быть кардиналом-преемником . следует Из ZF + AD , что ω ₁ измеримо, ^[4] и что каждое подмножество ω ₁ содержит замкнутое и неограниченное подмножество или не пересекается с ним.

Улам показал, что наименьший кардинал κ , допускающий нетривиальную счетно-аддитивную двузначную меру, на самом деле должен допускать κ -аддитивную меру. (Если бы существовала некоторая коллекция, содержащая менее κ подмножеств с мерой 0, объединение которых было бы κ, то индуцированная мера в этом наборе была бы контрпримером к минимальности κ. ) Отсюда можно доказать (с помощью аксиомы выбора) что малейший такой кардинал должен быть недоступен.

Если κ измеримо и p ∈ V _κ и M (ультрастепень V ) удовлетворяет ψ ( κ, p ), то множество α < κ такое, что V удовлетворяет ψ ( α, p ), стационарно в κ (фактически множество меры 1). В частности, если ψ является формулой Π ₁ и V удовлетворяет ψ ( κ, p ), то M удовлетворяет ей и, таким образом, V удовлетворяет ψ ( α, p ) для стационарного набора α < κ. Это свойство можно использовать, чтобы показать, что κ является пределом для большинства типов больших кардиналов, которые слабее измеримых. Обратите внимание, что ультрафильтр или мера, свидетельствующая об κ, измеримости не может находиться в M, поскольку наименьший такой измеримый кардинал должен был бы иметь под собой другой такой же, что невозможно.

Если начать с элементарного вложения j ₁ из V в M ₁ с критической точкой κ, то можно определить ультрафильтр U на κ как { S ⊆ κ | κ ∈ j ₁ ( S ) }. Тогда, взяв ультрастепень V над U, можем получить еще одно элементарное вложение j ₂ V мы в M ₂ . Однако важно помнить, что j ₂ ≠ j ₁ . Таким образом, другие типы больших кардиналов, такие как сильные кардиналы, также могут быть измеримы, но не с использованием того же вложения. Можно показать, что сильный кардинал κ измерим, а также имеет κ -много измеримых кардиналов под ним.

Каждый измеримый кардинал κ является 0- огромным кардиналом , поскольку ^МистерM ⊆ M , то есть каждая функция из κ в M находится M. в Следовательно, V _{κ +1} ⊆ M .

существования Последствия

Если существует измеримый кардинал, то каждое Σ ¹
₂ (относительно Analytical_hierarchy ) множество действительных чисел имеет меру Лебега . ^[4] В частности, любой неизмеримый набор действительных чисел не должен быть Σ ¹
₂.

Реальное измеримое [ править ]

Кардинал κ называется вещественно-измеримым, если существует κ -аддитивная вероятностная мера на множестве степеней κ , которая обращается в нуль на одиночных элементах. Измеримые кардиналы с действительными значениями были введены Стефаном Банахом ( 1930 ). Банах и Куратовски (1929) показали, что гипотеза континуума подразумевает, что 𝔠 не измеримо в реальном значении. Станислав Улам ( 1930 ) показал (части доказательства Улама см. ниже), что действительнозначные измеримые кардиналы слабо недоступны (на самом деле они слабо Мало ). Все измеримые кардиналы измеримы с действительным знаком, а измеримый кардинал κ с действительным знаком измерим тогда и только тогда, когда κ больше 𝔠. Таким образом, кардинал измерим тогда и только тогда, когда он действительно измерим и строго недоступен. Измеримый кардинал с действительным значением, меньший или равный 𝔠, существует тогда и только тогда, когда существует счетно-аддитивное расширение меры Лебега на все множества действительных чисел тогда и только тогда, когда существует безатомная вероятностная мера на множестве степеней некоторого не- пустой набор.

Соловей (1971) показал, что существование измеримых кардиналов в ZFC, вещественнозначных измеримых кардиналов в ZFC и измеримых кардиналов в ZF эквисогласовано .

действительных измеримых Слабая недоступность кардиналов

Скажем, что кардинальное число α является числом Улама, если ^[5]^{[номер 1]}

в любое время

µ — внешняя мера на множестве X ,

( 1 )

ц ( Икс ) < ∞,

( 2 )

µ ({ x }) = 0 для каждого x ∈ X,

( 3 )

все A ⊂ X -измеримы µ ,

( 4 )

затем

если | Х | ≤ α , то µ ( X ) = 0.

Эквивалентно, кардинальное число α является числом Улама, если

в любое время

ν — внешняя мера множества Y, а F — множество попарно непересекающихся подмножеств множества Y,
ν (⋃ F ) < ∞,
ν ( A ) = 0 для A ∈ F,
⋃ G -измерима ν для любого G ⊂ F,

затем

если | Ф | ≤ α , то ν (⋃ F ) = 0.

Наименьший бесконечный кардинал ℵ ₀ является числом Улама. Класс чисел Улама замыкается относительно кардинальной операции-преемника . ^[6] Если бесконечный кардинал β имеет непосредственный предшественник α , который является числом Улама, предположим, что µ удовлетворяет свойствам ( 1 )–( 4 ) с X = β. В модели фон Неймана ординалов и кардиналов для каждого x ∈ β выберите инъективную функцию

ж _х : х → α

и определим множества

U ( б, а ) знак равно { Икс ∈ β | ж _Икс ( б ) знак равно а }

Поскольку f _x взаимно однозначны, множества

{ U ( б, а ) | b ∈ β } с a ∈ α фиксированным

{ U ( б, а ) | a ∈ α } с b ∈ β фиксированным

попарно не пересекаются. По свойству ( 2 ) функции µ множество

{ б € β | µ ( U ( б, а )) > 0 }

счетно , , и, следовательно

|{ ( б, а ) ∈ β × α | µ ( U ( б, а )) > 0 }| ≤ ℵ ₀ ⋅ а.

Таким образом, существует b0 _такой , что

µ ( U ( b ₀ , a )) = 0 для каждого a ∈ α

подразумевая, что, поскольку α является числом Улама и используя второе определение (при ν = µ и выполнении условий ( 1 )–( 4 ),

μ (⋃ _{а ∈ α} U ( б ₀ , а )) знак равно 0.

Если b ₀ < x < β и f _x ( b ₀ ) = a _x , то x ∈ U ( b ₀ , a _x ). Таким образом

β знак равно б ₀ ∪ {б ₀ } ∪ ⋃ _{а ∈ α} U ( б ₀ , а )

По свойству ( 2 ) µ ({ b ₀ }) = 0, и поскольку | б ₀ | ≤ α , согласно ( 4 ), ( 2 ) и ( 3 ), µ ( b ₀ ) = 0. Отсюда следует, что µ ( β ) = 0. Вывод состоит в том, что β является числом Улама.

Есть похожее доказательство ^[7] что верхняя грань множества S чисел Улама с | С | число Улама снова является числом Улама. Вместе с предыдущим результатом это означает, что кардинал, не являющийся числом Улама, слабо недоступен .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Понятие в статье « Число Улама» другое.

Цитаты [ править ]

^ Мэдди 1988
^ Джек 2002
^ Блюдо 1930 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Т. Джек, « О дивный новый мир детерминированности » (загрузить в формате PDF). Бюллетень Американского математического общества, том. 5, номер 3, ноябрь 1981 г. (стр. 339–349).
^ Федерер 1996 , раздел 2.1.6.
^ Федерер 1996 , Вторая часть теоремы в разделе 2.1.6.
^ Федерер 1996 , Первая часть теоремы в разделе 2.1.6.

Ссылки [ править ]

Банах, Стефан (1930), «Об аддитивных функциях меры в абстрактных множествах» , Fundamenta Mathematicae , 15 : 97–101, doi : 10.4064/fm-15-1-97-101 , ISSN 0016-2736 .
Банах, Стефан ; Куратовский, Казимеж (1929), «Об одном обобщении проблемы измерения» , Fundamenta Mathematicae , 14 : 127–131, doi : 10.4064/fm-14-1-127-131 , ISSN 0016-2736 .
Дрейк, Франция (1974), Теория множеств: введение в большие кардиналы (исследования по логике и основам математики; т. 76) , Elsevier Science Ltd, ISBN 978-0-7204-2279-5 .
Федерер, Х. (1996) [1969], Геометрическая теория меры , Классика математики (1-е переиздание), Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer Verlag , ISBN 978-3540606567 .
Джех, Томас (2002), Теория множеств, издание третьего тысячелетия (переработанное и расширенное) , Springer, ISBN 3-540-44085-2 .
Канамори, Акихиро (2003), Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.), Springer, ISBN 3-540-00384-3 .
Мэдди, Пенелопа (1988), «Веря в аксиомы. II», Журнал символической логики , 53 (3): 736–764, doi : 10.2307/2274569 , JSTOR 2274569 , S2CID 16544090 . Копия частей I и II данной статьи с исправлениями доступна на веб-странице автора .
Соловей, Роберт М. (1971), «Вещественные измеримые кардиналы», Аксиоматическая теория множеств (Proc. Sympos. Pure Math., Том XIII, Часть I, Калифорнийский университет, Лос-Анджелес, Калифорния, 1967) , Провиденс , РИ: Амер. Математика. Соц., стр. 397–428, МР 0290961 .
Улам, Станислав (1930), «О теории меры в общей теории множеств» , Fundamenta Mathematicae , 16 : 140–150, doi : 10.4064/fm-16-1-140-150 , ISSN 0016-2736 .

[6] Понятие в статье « Число Улама» другое.

[1] Мэдди 1988

[2] Джек 2002

[3] Блюдо 1930 г.

[JechDeterminacy81-4] Перейти обратно: ^а ^б Т. Джек, « О дивный новый мир детерминированности » (загрузить в формате PDF). Бюллетень Американского математического общества, том. 5, номер 3, ноябрь 1981 г. (стр. 339–349).

[5] Федерер 1996 , раздел 2.1.6.

[7] Федерер 1996 , Вторая часть теоремы в разделе 2.1.6.

[8] Федерер 1996 , Первая часть теоремы в разделе 2.1.6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[номер 1]

[6]

[7]