Клубный набор

В математике , особенно в математической логике и теории множеств , клубное множество — это подмножество предельного ординала , замкнутое в топологии порядка и неограниченное (см. ниже) относительно предельного ординала. Название клуба представляет собой сокращение от слова «закрытый и неограниченный».

Формальное определение

Формально, если $\kappa$ является предельным порядковым номером, то множество $C\subseteq \kappa$ закрыт ​ в $\kappa$ тогда и только тогда, когда для каждого $\alpha <\kappa ,$ если $\sup(C\cap \alpha )=\alpha \neq 0,$ затем $\alpha \in C.$ Таким образом, если предел некоторой последовательности из $C$ меньше, чем $\kappa ,$ тогда предел тоже есть $C.$

Если $\kappa$ является предельным порядковым номером и $C\subseteq \kappa$ затем $C$ неограничен ​ в $\kappa$ если для любого $\alpha <\kappa ,$ есть некоторые $\beta \in C$ такой, что $\alpha <\beta .$

Если множество одновременно замкнуто и неограниченно, то оно является клубным . Интерес представляют также закрытые собственные классы (каждый собственный класс ординалов неограничен в классе всех ординалов).

Например, множество всех счетных предельных ординалов является клубным множеством по отношению к первому неисчисляемому порядковому номеру ; но это не набор треф относительно какого-либо более высокого предельного порядкового номера, поскольку он не является ни замкнутым, ни неограниченным.Если $\kappa$ неисчисляемый начальный ординал , то множество всех предельных ординалов $\alpha <\kappa$ замкнуто неограниченно в $\kappa .$ Фактически клюшка — это не что иное, как диапазон нормальной функции (т. е. возрастающей и непрерывной).

В более общем смысле, если $X$ является непустым множеством и $\lambda$ кардинал то , $C\subseteq [X]^{\lambda }$ (множество подмножеств $X$ мощности $\lambda$) является клубом , если каждое объединение подмножества $C$ находится в $C$ и каждое подмножество $X$ мощности меньше $\lambda$ содержится в некотором элементе $C$ (см. стационарный набор ).

Закрытый неограниченный фильтр

Основная статья: Клубный фильтр

Позволять $\kappa \,$ быть предельным ординалом несчетной конфинальности $\lambda \,.$ Для некоторых $\alpha <\lambda \,$, позволять $\langle C_{\xi }:\xi <\alpha \rangle \,$ быть последовательностью замкнутых неограниченных подмножеств $\kappa \,.$ Затем $\bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }\,$ также замкнуто неограниченно. Чтобы убедиться в этом, можно заметить, что пересечение замкнутых множеств всегда замкнуто, поэтому нам просто нужно показать, что это пересечение неограничено. Так что исправьте любой $\beta _{0}<\kappa \,,$ и для каждого n < ω выбирать из каждого $C_{\xi }\,$ элемент $\beta _{n+1}^{\xi }>\beta _{n}\,,$ что возможно, поскольку каждое из них неограничено. Поскольку это коллекция из менее чем $\lambda \,$ порядковые номера, все меньше $\kappa \,,$ их наименьшая верхняя граница также должна быть меньше, чем $\kappa \,,$ так что мы можем назвать это $\beta _{n+1}\,.$ Этот процесс порождает счетную последовательность $\beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\ldots \,.$ Предел этой последовательности фактически должен быть также пределом последовательности $\beta _{0}^{\xi },\beta _{1}^{\xi },\beta _{2}^{\xi },\ldots \,,$ и поскольку каждый $C_{\xi }\,$ закрыт и $\lambda \,$ несчетно, этот предел должен быть в каждом $C_{\xi }\,,$ и поэтому этот предел является элементом пересечения, находящегося выше $\beta _{0}\,,$ что показывает, что пересечение неограничено. КЭД.

Отсюда видно, что если $\kappa \,$ является регулярным кардиналом , то $\{S\subseteq \kappa :\exists C\subseteq S{\text{ such that }}C{\text{ is closed unbounded in }}\kappa \}$ является неосновным $\kappa \,$-полный правильный фильтр на съемочной площадке $\kappa$ (то есть на помножестве $(\wp (\kappa ),\subseteq )$).

Если $\kappa \,$ является правильным кардиналом, то клубные множества также замкнуты относительно диагонального пересечения .

Фактически, если $\kappa \,$ является регулярным и ${\mathcal {F}}\,$ включен ли какой-либо фильтр $\kappa \,,$ замкнутый при диагональном пересечении, содержащий все множества вида $\{\xi <\kappa :\xi \geq \alpha \}\,$ для $\alpha <\kappa \,,$ затем ${\mathcal {F}}\,$ должен включать все комплекты клюшек.

См. также

• Клубная масть - в теории множеств, комбинаторный принцип, согласно которому для каждого стационарного 𝑆⊂ω₁ существует последовательность множеств 𝐴_𝛿 (𝛿ا𝑆) такая, что 𝐴_𝛿 является конфинальным подмножеством 𝛿 и каждое неограниченное подмножество ω₁ содержится в некотором 𝐴_𝛿 Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта
• Фильтр (математика) – в математике особое подмножество частично упорядоченного множества.
• Фильтры в топологии . Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Стационарный набор - теоретико-множественная концепция

Ссылки

• Джех, Томас , 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Спрингер. ISBN   3-540-44085-2 .
• Леви, Азриэль (1979) Теория базовых множеств , Перспективы математической логики, Springer-Verlag. Перепечатано в 2002 г., Дувр. ISBN   0-486-42079-5
• В эту статью включены материалы Club on PlanetMath , которые доступны под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .