Локально выпуклая векторная решетка

В математике, особенно в теории порядка и функциональном анализе , локально выпуклая векторная решетка (LCVL) представляет собой топологическую векторную решетку , которая также является локально выпуклым пространством. LCVL важны в теории топологических векторных решеток .

Решетчатые полунормы

Функционал Минковского выпуклого, поглощающего и твердого множества называется решеточной полунормой . То есть это полунорма $p$ такой, что $|y|\leq |x|$ подразумевает $p(y)\leq p(x).$ Топология локально выпуклой векторной решетки порождается семейством всех непрерывных решеточных полунорм.

Свойства

Любая локально-выпуклая векторная решетка имеет в начале координат базу окрестностей, состоящую из выпуклых сбалансированных твердых поглощающих множеств.

Сильная двойственная локально выпуклая векторная решетка $X$ представляет собой порядково полную локально выпуклую векторную решетку (при ее каноническом порядке) и твердое подпространство порядка , двойственного к $X$; более того, если $X$ является бочкообразным пространством , то непрерывное двойственное пространство $X$ представляет собой полосу в порядке, двойственном к $X$ и сильный дуал $X$ является полной локально выпуклой TVS.

Если локально выпуклая векторная решетка является бочоночной , то ее сильное двойственное пространство является полным (это не обязательно верно, если пространство представляет собой просто локально выпуклое бочкообразное пространство, а не локально выпуклую векторную решетку).

Если локально выпуклая векторная решетка $X$ полурефлексивно , то оно порядково полно и $X_{b}$ (то есть, $\left(X,b\left(X,X^{\prime }\right)\right)$) — полноценный ТВС; при этом, если к тому же каждый положительный линейный функционал на $X$ является непрерывным, тогда $X$ имеет $X$ имеет минимальный тип , топология порядка $\tau _{\operatorname {O} }$ на $X$ равно топологии Макки $\tau \left(X,X^{\prime }\right),$ и $\left(X,\tau _{\operatorname {O} }\right)$ является рефлексивным . Каждая рефлексивная локально выпуклая векторная решетка является порядково полной и полной локально выпуклой TVS, сильным двойственным которой является бочкообразная рефлексивная локально выпуклая TVS, которую можно отождествить при каноническом отображении оценки с сильным бидуальным (то есть сильным двойственным сильному двойственному) .

Если локально выпуклая векторная решетка $X$ является инфраствольной TVS, то ее можно отождествить по оценочному отображению с топологической векторной подрешеткой ее сильного бидуала, которая является порядково полной локально выпуклой векторной решеткой при ее каноническом порядке.

Если $X$ — сепарабельное метризуемое локально выпуклое упорядоченное топологическое векторное пространство , положительный конус которого $C$ представляет собой полное и абсолютное подмножество $X,$ то множество квазивнутренних точек $C$ плотный в $C.$

Теорема — Предположим, что $X$ представляет собой порядково полную локально выпуклую векторную решетку с топологией $\tau$ и наделить бидуальным $X^{\prime \prime }$ из $X$ со своей естественной топологией (т. е. топологией равномерной сходимости на равнонепрерывных подмножествах $X^{\prime }$) и канонический порядок (при котором он становится порядково полной локально выпуклой векторной решеткой). Следующие действия эквивалентны:

1. Карта оценки $X\to X^{\prime \prime }$ индуцирует изоморфизм $X$ с порядковой полной подрешеткой $X^{\prime \prime }.$
2. Для каждого мажорированного и направленного подмножества $S$ из $X,$ фильтр раздела $S$ сходится в $(X,\tau )$ (в этом случае оно обязательно сходится к $\sup S$).
3. фильтр каждого Сходящийся порядка в $X$ сходится в $(X,\tau )$ (в этом случае он обязательно сходится к пределу своего порядка).

Следствие - Позволять $X$ — порядково полная векторная решетка с регулярным порядком . Следующие действия эквивалентны:

1. $X$ имеет минимальный тип .
2. Для каждого мажорированного и прямого подмножества $S$ из $X,$ фильтр раздела $S$ сходится в $X$ когда $X$ наделен порядковой топологией .
3. фильтр каждого Сходящийся порядка в $X$ сходится в $X$ когда $X$ наделен порядковой топологией .

Более того, если $X$ имеет минимальный тип, то топология порядка на $X$ является наилучшей локально выпуклой топологией на $X$ для которого сходится любой сходящийся по порядку фильтр.

Если $(X,\tau )$ — локально выпуклая векторная решетка, борнологическая и секвенциально полная , то существует семейство компактов $\left(X_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}$ и семья $A$-индексированные векторные вложения в решетку $f_{\alpha }:C_{\mathbb {R} }\left(K_{\alpha }\right)\to X$ такой, что $\tau$ является наилучшей локально выпуклой топологией на $X$ делая каждый $f_{\alpha }$ непрерывный.

Примеры

Каждая банахова решетка , нормированная решетка и решетка Фреше является локально выпуклой векторной решеткой.

См. также

• Банахова решетка - банахово пространство с совместимой структурой решетки.
• Решетка Фреше - Топологическая векторная решетка
• Нормированная решетка
• Векторная решетка — частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное в виде решетки. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.

Библиография

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .