Спектральная теорема Фрейденталя

В математике является спектральная теорема Фрейденталя результатом теории пространств Рисса, доказанной Гансом Фройденталем в 1936 году. Она грубо утверждает, что любой элемент, в котором доминирует положительный элемент в пространстве Рисса с главным свойством проекции, может быть в некотором смысле равномерно аппроксимирован простыми функции .

Многочисленные хорошо известные результаты могут быть получены из спектральной теоремы Фрейденталя. известная теорема Радона-Никодима , справедливость формулы Пуассона и спектральная теорема из теории нормальных операторов Можно показать, что являются частными случаями спектральной теоремы Фрейденталя.

Заявление

Пусть e любой положительный элемент в пространстве Рисса E. — Положительный элемент p в E называется компонентой e, если $p\wedge (e-p)=0$. Если $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$ являются попарно непересекающимися компонентами e , любой действительной линейной комбинацией $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$ называется е -простой функцией.

Спектральная теорема Фрейденталя гласит: Пусть E — любое пространство Рисса со свойством главного проецирования, а — любой положительный элемент в E. e Тогда для любого элемента f в главном идеале, порожденном e , существуют последовательности $\{s_{n}\}$ и $\{t_{n}\}$ -простых функций e , таких что $\{s_{n}\}$ монотонно возрастает и сходится e -равномерно к f , а $\{t_{n}\}$ монотонно убывает и сходится e- равномерно к f .

Связь с теоремой Радона – Никодима.

Позволять $(X,\Sigma )$ быть пространством меры и $M_{\sigma }$ реальное пространство подписано $\sigma$-дополнительные меры по $(X,\Sigma )$. Можно показать, что $M_{\sigma }$ является дедекиндовой полной банаховой решеткой с полной вариационной нормой и, следовательно, обладает свойством главного проектирования . Для любой положительной меры $\mu$, $\mu$-простые функции (как определено выше) могут быть показаны как точно соответствующие $\mu$-измеримые простые функции на $(X,\Sigma )$ (в обычном понимании). Более того, поскольку по спектральной теореме Фрейденталя любая мера $\nu$ в созданной полосе , $\mu$ может быть монотонно аппроксимировано снизу выражением $\mu$-измеримые простые функции на $(X,\Sigma )$, по теореме о монотонной сходимости Лебега $\nu$ можно показать, что это соответствует $L^{1}(X,\Sigma ,\mu )$ и устанавливает изометрический решеточный изоморфизм между полосой, порожденной $\mu$ и банахова решетка $L^{1}(X,\Sigma ,\mu )$.

См. также

• Теорема Радона–Никодима

Ссылки

• Заанен, Адриан К. (1996), Введение в теорию операторов в пространствах Рисса , Springer , ISBN  3-540-61989-5
• Заанен, Адриан К.; Люксембург, WAJ (1971), пространства Рисса I , Северная Голландия , ISBN  0-7204-2451-8