Общая вариация

Не путать с общим расстоянием вариации вероятностных мер .

В математике полная вариация несколько несколько разных понятий, связанных с ( локальной или глобальной) структурой кодомена функции идентифицирует или меры . Для действительной непрерывной функции f , определенной на интервале [ a , b ] ⊂ R , ее полная вариация на интервале определения является мерой одномерной длины дуги кривой с параметрическим уравнением x ↦ f ( x ) , для x ∈ [ a , b ]. Функции, полная вариация которых конечна, называются функциями ограниченной вариации .

Историческая справка

Понятие полной вариации функций одной действительной переменной было впервые введено Камиллой Жорданом в работе ( Джордан, 1881 ). Он использовал новую концепцию, чтобы доказать теорему о сходимости рядов Фурье разрывных изменение периодических функций, которых ограничено . Однако распространение этой концепции на функции более чем одной переменной является непростой задачей по разным причинам.

Определения

Полная вариация функций одной действительной переменной

Определение 1.1. Полная вариация действительной . (или, в более общем плане, комплексной ) функции $f$, определенный на интервале $[a,b]\subset \mathbb {R}$ это количество

$V_{a}^{b}(f)=\sup _{\mathcal {P}}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|,$

где верхняя грань проходит по множеству всех разделов ${\mathcal {P}}=\left\{P=\{x_{0},\dots ,x_{n_{P}}\}\mid P{\text{ is a partition of }}[a,b]\right\}$ заданного интервала . Это означает, что $a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n_{P}}=b$.

Полная вариация функций от n > 1 действительных переменных

Определение 1.2. Пусть Ω — открытое подмножество R ^н . Дана функция f, принадлежащая L ¹ ( Ω , полная вариация f Ω в ) определяется как

$V(f,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }f(x)\operatorname {div} \phi (x)\,\mathrm {d} x\colon \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert \phi \Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\},$

где

• $C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ — множество вектор непрерывно дифференцируемых -функций компактного носителя, содержащихся в $\Omega$,
• $\Vert \;\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}$ является существенной высшей нормой , и
• $\operatorname {div}$ — оператор дивергенции .

Это определение не требует, чтобы домен $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ данной функции — ограниченное множество .

Полное изменение теории меры

Классическое определение полной вариации

Следуя Саксу (1937 , стр. 10), рассмотрим знаковую меру $\mu$ на измеримом пространстве $(X,\Sigma )$: тогда можно определить две функции множества ${\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )$ и ${\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )$, соответственно называемые верхней вариацией и нижней вариацией , следующим образом

${\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)=\sup \left\{\mu (A)\mid A\in \Sigma {\text{ and }}A\subset E\right\}\qquad \forall E\in \Sigma$

${\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)=\inf \left\{\mu (A)\mid A\in \Sigma {\text{ and }}A\subset E\right\}\qquad \forall E\in \Sigma$

четко

${\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)\geq 0\geq {\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)\qquad \forall E\in \Sigma$

Определение 1.3. Вариация ) (также называемая абсолютной вариацией знаковой меры $\mu$ это заданная функция

$|\mu |(E)={\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)+\left|{\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)\right|\qquad \forall E\in \Sigma$

а его полная вариация определяется как значение этой меры на всем пространстве определения, т. е.

$\|\mu \|=|\mu |(X)$

Современное определение общей вариационной нормы

Сакс (1937 , стр. 11) использует верхнюю и нижнюю вариации для доказательства разложения Хана–Жордана : согласно его версии этой теоремы верхняя и нижняя вариация являются соответственно неотрицательной и неположительной мерой . Используя более современные обозначения, определим

$\mu ^{+}(\cdot )={\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )\,,$

$\mu ^{-}(\cdot )=-{\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )\,,$

Затем $\mu ^{+}$ и $\mu ^{-}$ две неотрицательные меры такие, что

$\mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}$

$|\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}$

Последнюю меру иногда называют, злоупотребляя обозначениями , мерой полной вариации .

Суммарная норма вариации комплексных мер

Если мера $\mu$ является комплексной мерой , ее верхняя и нижняя вариация не могут быть определены , а теорема о разложении Хана – Жордана может быть применена только к ее действительной и мнимой частям. Однако можно, следуя Рудину (1966 , с. 137–139), определить полную вариацию комплексной меры $\mu$ следующее

Определение 1.4. Вариация меры комплексной $\mu$ это заданная функция

$|\mu |(E)=\sup _{\pi }\sum _{A\in \pi }|\mu (A)|\qquad \forall E\in \Sigma$

где верхняя граница берется по всем разделам $\pi$ множества измеримого $E$ на счетное число непересекающихся измеримых подмножеств.

Это определение совпадает с приведенным выше определением. $|\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}$ для случая вещественных знаковых мер.

Суммарная норма вариации векторных мер

Определенная таким образом вариация является положительной мерой (см. Рудин (1966 , с. 139)) и совпадает с той, которая определяется формулой 1.3, когда $\mu$ является знаковой мерой : ее полная вариация определяется, как указано выше. Это определение работает также, если $\mu$ является векторной мерой : тогда вариация определяется по следующей формуле

$|\mu |(E)=\sup _{\pi }\sum _{A\in \pi }\|\mu (A)\|\qquad \forall E\in \Sigma$

где верхняя грань такая же, как указано выше. Это определение несколько более общее, чем определение, данное Рудиным (1966 , с. 138), поскольку оно требует рассмотрения только конечных разбиений пространства. $X$: это означает, что его можно использовать также для определения полной вариации конечно-аддитивных мер .

Полная вариация вероятностных мер

Основная статья: Общее расстояние вариации вероятностных мер

Полная вариация любой вероятностной меры равна ровно единице, поэтому она не представляет интереса как средство исследования свойств таких мер. Однако, когда µ и ν являются вероятностными мерами , общее расстояние вариации вероятностных мер можно определить как $\|\mu -\nu \|$ где норма – суммарная норма вариации знаковых мер. Используя свойство, которое $(\mu -\nu )(X)=0$, мы в конечном итоге придем к эквивалентному определению

$\|\mu -\nu \|=|\mu -\nu |(X)=2\sup \left\{\,\left|\mu (A)-\nu (A)\right|:A\in \Sigma \,\right\}$

и его значения нетривиальны. Фактор $2$ выше обычно опускается (как и в статье, принятое в статье, общее расстояние вариации вероятностных мер ). Неформально это самая большая возможная разница между вероятностями, которые два распределения вероятностей могут приписать одному и тому же событию. Для категориального распределения общее расстояние вариации можно записать следующим образом:

$\delta (\mu ,\nu )=\sum _{x}\left|\mu (x)-\nu (x)\right|\;.$

Его также можно нормализовать к значениям в $[0,1]$ разделив пополам предыдущее определение следующим образом

$\delta (\mu ,\nu )={\frac {1}{2}}\sum _{x}\left|\mu (x)-\nu (x)\right|$

Основные свойства

Полная вариация дифференцируемых функций

Полная вариация $C^{1}({\overline {\Omega }})$ функция $f$ может быть выражена , а как интеграл, данную функцию не как верхняя грань функционалов включающий определений 1.1 и 1.2 .

Вид полной вариации дифференцируемой функции одной переменной

Теорема 1. Полная вариация функции дифференцируемой $f$, определенный на интервале $[a,b]\subset \mathbb {R}$, имеет следующее выражение, если $f'$ интегрируема ли Римана

$V_{a}^{b}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|\mathrm {d} x$

Если $f$ дифференцируемо и монотонно , то вышесказанное упрощается до

$V_{a}^{b}(f)=|f(a)-f(b)|$

Для любой дифференцируемой функции $f$, мы можем разложить интервал домена $[a,b]$, на подинтервалы $[a,a_{1}],[a_{1},a_{2}],\dots ,[a_{N},b]$ (с $a<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{N}<b$) в котором $f$ локально монотонна, то полная вариация $f$ над $[a,b]$ можно записать как сумму локальных вариаций на этих подинтервалах:

${\begin{aligned}V_{a}^{b}(f)&=V_{a}^{a_{1}}(f)+V_{a_{1}}^{a_{2}}(f)+\,\cdots \,+V_{a_{N}}^{b}(f)\\[0.3em]&=|f(a)-f(a_{1})|+|f(a_{1})-f(a_{2})|+\,\cdots \,+|f(a_{N})-f(b)|\end{aligned}}$

Вид полной вариации дифференцируемой функции многих переменных

Теорема 2. Учитывая $C^{1}({\overline {\Omega }})$ функция $f$ определенный на ограниченном открытом множестве $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$, с $\partial \Omega$ класса $C^{1}$, общее изменение $f$ имеет следующее выражение

$V(f,\Omega )=\int _{\Omega }\left|\nabla f(x)\right|\mathrm {d} x$ .

Доказательство

Первым шагом в доказательстве является доказательство равенства, следующего из теоремы Гаусса–Остроградского .

Лемма

В условиях теоремы имеет место равенство:

$\int _{\Omega }f\operatorname {div} \varphi =-\int _{\Omega }\nabla f\cdot \varphi$

Доказательство леммы

Из теоремы Гаусса–Остроградского :

$\int _{\Omega }\operatorname {div} \mathbf {R} =\int _{\partial \Omega }\mathbf {R} \cdot \mathbf {n}$

заменив $\mathbf {R} :=f\mathbf {\varphi }$, у нас есть:

$\int _{\Omega }\operatorname {div} \left(f\mathbf {\varphi } \right)=\int _{\partial \Omega }\left(f\mathbf {\varphi } \right)\cdot \mathbf {n}$

где $\mathbf {\varphi }$ равен нулю на границе $\Omega$ по определению:

$\int _{\Omega }\operatorname {div} \left(f\mathbf {\varphi } \right)=0$

$\int _{\Omega }\partial _{x_{i}}\left(f\mathbf {\varphi } _{i}\right)=0$

$\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } _{i}\partial _{x_{i}}f+f\partial _{x_{i}}\mathbf {\varphi } _{i}=0$

$\int _{\Omega }f\partial _{x_{i}}\mathbf {\varphi } _{i}=-\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } _{i}\partial _{x_{i}}f$

$\int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } =-\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f$

Доказательство равенства

В условиях теоремы из леммы имеем:

$\int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } =-\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f\leq \left|\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f\right|\leq \int _{\Omega }\left|\mathbf {\varphi } \right|\cdot \left|\nabla f\right|\leq \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|$

в последней части $\mathbf {\varphi }$ можно опустить, поскольку по определению его существенная верхняя граница не более чем одна.

С другой стороны, мы считаем $\theta _{N}:=-\mathbb {I} _{\left[-N,N\right]}\mathbb {I} _{\{\nabla f\neq 0\}}{\frac {\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}$ и $\theta _{N}^{*}$ что предстоит $\varepsilon$ приближение $\theta _{N}$ в $C_{c}^{1}$ с тем же интегралом. Мы можем сделать это, поскольку $C_{c}^{1}$ плотный в $L^{1}$. Теперь снова подставляя в лемму:

${\begin{aligned}&\lim _{N\to \infty }\int _{\Omega }f\operatorname {div} \theta _{N}^{*}\\[4pt]&=\lim _{N\to \infty }\int _{\{\nabla f\neq 0\}}\mathbb {I} _{\left[-N,N\right]}\nabla f\cdot {\frac {\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}\\[4pt]&=\lim _{N\to \infty }\int _{\left[-N,N\right]\cap {\{\nabla f\neq 0\}}}\nabla f\cdot {\frac {\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}\\[4pt]&=\int _{\Omega }\left|\nabla f\right|\end{aligned}}$

Это означает, что мы имеем сходящуюся последовательность ${\textstyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } }$ это имеет тенденцию ${\textstyle \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}$ насколько мы это знаем ${\textstyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } \leq \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}$. КЭД

Из доказательства видно, что верхняя грань достигается, когда

$\varphi \to {\frac {-\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}.$

Функция ​ $f$ называется ограниченной вариацией , если ее полная вариация конечна.

Общая вариация меры

Полная вариация — это норма, определенная в пространстве мер ограниченной вариации. Пространство мер на σ-алгебре множеств является банаховым пространством , называемым ca-пространством , относительно этой нормы. Он содержится в большем банаховом пространстве, называемом пространством ba , состоящем из конечно-аддитивных (в отличие от счетно-аддитивных) мер, также с той же нормой. Функция расстояния , связанная с нормой, приводит к общему расстоянию вариаций между двумя мерами µ и ν .

Для конечных мер на R связь между полной вариацией меры µ и полной вариацией функции, как описано выше, происходит следующим образом. Учитывая µ , определите функцию $\varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ к

$\varphi (t)=\mu ((-\infty ,t])~.$

Тогда полная вариация знаковой меры ц равна полной вариации в указанном смысле функции $\varphi$. В общем, полную вариацию знаковой меры можно определить с помощью теоремы Джордана о разложении по формуле

$\|\mu \|_{TV}=\mu _{+}(X)+\mu _{-}(X)~,$

для любой знаковой меры µ на ​​измеримом пространстве $(X,\Sigma )$.

Приложения

Полную вариацию можно рассматривать как неотрицательный вещественнозначный определенный функционал, на пространстве вещественных функций (в случае функций одной переменной) или в пространстве интегрируемых функций (в случае функций нескольких переменных). . Как функционал, полная вариация находит применение в нескольких областях математики и техники, таких как оптимальное управление , численный анализ и вариационное исчисление , где решение определенной проблемы должно минимизировать ее ценность. Например, использование функционала полной вариации часто встречается в следующих двух типах задач.

• Численный анализ дифференциальных уравнений : это наука о поиске приближенных решений дифференциальных уравнений . Применение полной вариации к этим задачам подробно описано в статье « Уменьшение полной вариации ».
• Удаление шума изображения : при обработке изображений шумоподавление представляет собой набор методов, используемых для уменьшения шума в изображении , восстановленном на основе данных, полученных с помощью электронных средств, например передачи данных или зондирования . « Полное вариационное шумоподавление » — это название применения общего вариационного шумоподавления для уменьшения шума изображения; Более подробную информацию можно найти в статьях ( Рудин, Ошер и Фатеми, 1992 г. ) и ( Каселлес, Шамболь и Новага, 2007 г. ). Разумное расширение этой модели на цветные изображения, называемое цветным телевидением, можно найти в ( Blomgren & Chan 1998 ).

См. также

• Ограниченная вариация
• p-вариация
• Общая вариация уменьшается
• Полное шумоподавление вариаций
• Квадратичная вариация
• Общее расстояние вариации вероятностных мер
• Kolmogorov–Smirnov test
• Анизотропная диффузия

Исторические справки

• Арсела, Чезаре (7 мая 1905 г.), «О функциях двух переменных ограниченной вариации» , Отчет о сессиях Королевской академии наук Болонского института , Новая серия (на итальянском языке), IX (4): 100– 107, JFM   36.0491.02 , заархивировано из оригинала 7 августа 2007 г.
• Голубов, Борис И. (2001) [1994], «Вариация Арзела» , Математическая энциклопедия , EMS Press .
• Голубов, Борис И. (2001) [1994], «Вариация Фреше» , Энциклопедия математики , EMS Press .
• Голубов, Борис И. (2001) [1994], «Вариация Харди» , Математическая энциклопедия , EMS Press .
• Голубов, Борис И. (2001) [1994], «Вариация Пьерпона» , Энциклопедия математики , EMS Press .
• Голубов, Борис И. (2001) [1994], «Вариация Виталия» , Энциклопедия Математики , EMS Press .
• Голубов, Борис И. (2001) [1994], «Вариация плоскости Тонелли» , Энциклопедия математики , EMS Press .
• Голубов Борис И.; Витушкин, Анатолий Григорьевич (2001) [1994], «Вариация функции» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Джордан, Камилла (1881), «О ряде Фурье» , Еженедельные отчеты сессий Академии наук (на французском языке), 92 : 228–230, JFM   13.0184.01 (доступно в Галлике ). По словам Бориса Голубова, это первая статья о функциях ограниченной вариации.
• Хан, Ганс (1921), Теория действительных функций (на немецком языке), Берлин: Springer Verlag, стр. VII + 600, JFM   48.0261.09 .
• Витали, Джузеппе (1908) [17 декабря 1907 г.], «О группах точек и функциях действительных переменных» , Труды Туринской академии наук (на итальянском языке), 43 : 75–92, JFM   39.0101.05 , заархивировано из оригинал от 31 марта 2009 г. Статья, содержащая первое доказательство теоремы Витали о покрытии .

Ссылки

• Адамс, К. Рэймонд; Кларксон, Джеймс А. (1933), «Об определениях ограниченной вариации функций двух переменных», Transactions of the American Mathematical Society , 35 (4): 824–854, doi : 10.1090/S0002-9947-1933-1501718- 2 , JFM   59.0285.01 , МР   1501718 , Збл   0008.00602 .
• Чезари, Ламберто (1936), «О функциях ограниченной вариации» , Annali della Scuola Normale Superiore , II (на итальянском языке), 5 (3–4): 299–313, JFM   62.0247.03 , MR   1556778 , Zbl   0014.29605 . Доступно в Намдаме .

• Леони, Джованни (2017), Первый курс по пространствам Соболева: второе издание , Аспирантура по математике, Американское математическое общество, стр. xxii+734, ISBN  978-1-4704-2921-8 .
• Сакс, Станислав (1937). Теория Интеграла . Монография Математическая. Том. 7 (2-е изд.). Варшава – Львов: GE Stechert & Co., стр. VI+347. ЖФМ   63.0183.05 . Збл   0017.30004 . . (доступно в Польской виртуальной научной библиотеке ). Английский перевод с французского оригинала Лоуренса Чизхолма Янга с двумя дополнительными примечаниями Стефана Банаха .
• Рудин, Уолтер (1966), Реальный и комплексный анализ , Серия МакГроу-Хилла по высшей математике (1-е изд.), Нью-Йорк: МакГроу-Хилл, стр. xi+412, MR   0210528 , Zbl   0142.01701 .

Внешние ссылки

Одна переменная

• « Полная вариация » на PlanetMath .

Одна и несколько переменных

• Функция ограниченной вариации в математической энциклопедии

Теория меры

• Роуленд, Тодд. «Тотальная вариация» . Математический мир . .
• Разложение Джордана в PlanetMath ..
• Разложение Джордана в Математической энциклопедии

Приложения

• Касельес, Висент; Шамболь, Антонен; Новага, Маттео (2007), Разрывное множество решений проблемы шумоподавления ТВ и некоторые расширения , SIAM , Многомасштабное моделирование и моделирование, том. 6 н. 3, заархивировано из оригинала 27 сентября 2011 г. (работа, посвященная применению полной вариации в задачах шумоподавления при обработке изображений ).

• Рудин Леонид Иванович; Ошер, Стэнли; Фатеми, Эмад (1992), «Алгоритмы удаления шума на основе нелинейных общих вариаций», Physica D: Nonlinear Phenomena , 60 (1–4), Physica D: Nonlinear Phenomena 60.1: 259–268: 259–268, Bibcode : 1992PhyD.. .60..259R , doi : 10.1016/0167-2789(92)90242-F .

• Бломгрен, Питер; Чан, Тони Ф. (1998), «Цветное телевидение: методы полной вариации для восстановления векторных изображений», IEEE Transactions on Image Processing , 7 (3), Image Processing, IEEE Transactions on, vol. 7, нет. 3: 304-309: 304, Бибкод : 1998ITIP....7..304B , doi : 10.1109/83.661180 , PMID   18276250 .

• Тони Ф. Чан и Джеки (Цзяньхун) Шен (2005), Обработка и анализ изображений — вариационные, PDE, вейвлет- и стохастические методы , SIAM , ISBN   0-89871-589-X (с подробным описанием и обширным применением Total Variations в современной обработке изображений, начатых Рудином, Ошером и Фатеми).