Периодическая функция

Периодическая функция или циклическая функция , также называемая периодической формой волны (или просто периодической волной ), — это функция , которая повторяет свои значения через регулярные промежутки времени или периоды . Повторяемая часть функции или сигнала называется циклом . ^[1] Например, тригонометрические функции , которые повторяются с интервалом $2\pi$ радианы — периодические функции. Периодические функции используются в науке для описания колебаний , волн и других явлений, проявляющих периодичность . Любая функция, не являющаяся периодической, называется апериодической .

Определение [ править ]

Функция $f$ называется периодической , если для некоторой ненулевой константы $P$ выполняется условие

f(x+P)=f(x)

для всех значений $x$ в области. Ненулевая константа $P$ , для которой это имеет место, называется периодом функции. Если существует наименьшее положительное ^[2]константа $P$ , обладающая этим свойством, называется фундаментальным периодом (также примитивным периодом , базовым периодом или простым периодом ). Часто «период» функции используется для обозначения ее фундаментального периода. Функция с периодом $P$ будет повторяться на интервалах длины $P$ , и эти интервалы иногда также называют периодами функции.

Геометрически периодическую функцию можно определить как функцию, график которой демонстрирует трансляционную симметрию , т.е. функция $f$ является периодической с периодом $P$ если график $f$ инвариантен , при сдвиге в $направлении x$ расстояние $P.$ на Это определение периодичности можно распространить на другие геометрические формы и узоры, а также обобщить на более высокие измерения, такие как периодические мозаики плоскости. Последовательность натуральных также можно рассматривать как функцию, определенную на числах , и для периодической последовательности эти понятия определяются соответствующим образом.

Примеры [ править ]

График синусоидальной функции, показывающий два полных периода.

Примеры действительных чисел [ править ]

Синусоидальная функция периодическая с периодом $2\pi$ , с

\sin(x+2\pi )=\sin x

для всех значений $x$ . Эта функция повторяется на интервалах длиной $2\pi$ (см. график справа).

Можно увидеть повседневные примеры, когда переменной является время ; например, стрелки часов или фазы луны демонстрируют периодическое поведение. Периодическое движение — это движение, при котором положение(я) системы выражаются как периодические функции, имеющие одинаковый период .

Для функции действительных чисел или целых чисел это означает, что весь граф может быть сформирован из копий одной конкретной части, повторяющихся через равные промежутки времени.

Простым примером периодической функции является функция $f$ это дает « дробную часть » его аргумента. Его период равен 1. В частности,

f(0.5)=f(1.5)=f(2.5)=\cdots =0.5

График функции $f$ это пилообразная волна .

Тригонометрические функции синус и косинус являются обычными периодическими функциями с периодом $2\pi$ (см. рисунок справа). Тема рядов Фурье исследует идею о том, что «произвольная» периодическая функция представляет собой сумму тригонометрических функций с совпадающими периодами.

Согласно приведенному выше определению, некоторые экзотические функции, например функция Дирихле , также являются периодическими; в случае функции Дирихле любое ненулевое рациональное число является периодом.

Примеры комплексных чисел [ править ]

Используя комплексные переменные, мы имеем общую функцию периода:

e^{ikx}=\cos kx+i\,\sin kx.

Поскольку функции косинуса и синуса являются периодическими с периодом $2\pi$ , комплексная экспонента состоит из косинуса и синусоид. Это означает, что формула Эйлера (см. выше) обладает таким свойством, что если $L$ – период функции, тогда

L={\frac {2\pi }{k}}.

Двойно-периодические функции [ править ]

Функция, областью определения которой являются комплексные числа, может иметь два несоизмеримых периода, не будучи постоянной. К таким функциям относятся эллиптические функции . («Несоизмеримые» в этом контексте означает, что они не кратны друг другу.)

Свойства [ править ]

Периодические функции могут принимать значения много раз. Точнее, если функция $f$ является периодическим с периодом $P$ , то для всех $x$ в области $f$ и все положительные целые числа $n$ ,

f(x+nP)=f(x)

Если $f(x)$ это функция с периодом $P$ , затем $f(ax)$ , где $a$ — ненулевое действительное число такое, что $ax$ находится в пределах домена $f$ , является периодическим с периодом ${\textstyle {\frac {P}{a}}}$ . Например, $f(x)=\sin(x)$ имеет период $2\pi$ и поэтому, $\sin(5x)$ будет период ${\textstyle {\frac {2\pi }{5}}}$ .

Некоторые периодические функции можно описать рядами Фурье . Например, для Л ²функций , теорема Карлесона утверждает, что они имеют поточечный ( Лебега ) почти всюду сходящийся ряд Фурье . Ряды Фурье можно использовать только для периодических функций или для функций на ограниченном (компактном) интервале. Если $f$ — периодическая функция с периодом $P$ который можно описать рядом Фурье, коэффициенты этого ряда можно описать интегралом на интервале длины $P$ .

Периодической (с периодом равным или меньшим) является также любая функция, состоящая только из периодических функций с одинаковым периодом, в том числе:

сложение, вычитание, умножение и деление периодических функций и
возведение в степень или корень периодической функции (при условии, что она определена для всех $x$ ).

Обобщения [ править ]

Антипериодические функции [ править ]

Одним из подмножеств периодических функций являются антипериодические функции . Это функция $f$ такой, что $f(x+P)=-f(x)$ для всех $x$ . Например, функции синуса и косинуса: $\pi$ -антипериодические и $2\pi$ -периодический. В то время как $P$ -антипериодическая функция – это $2P$ -периодическая функция, обратное не обязательно верно. ^[3]

Блох-периодические функции [ править ]

Дальнейшее обобщение появляется в контексте теорем Блоха и теории Флоке , которые управляют решением различных периодических дифференциальных уравнений. В этом контексте решение (в одном измерении) обычно является функцией вида

f(x+P)=e^{ikP}f(x)~,

где $k$ — действительное или комплексное число ( волновой вектор Блоха или показатель Флоке ). функции такого вида иногда называют блоховскими В этом контексте . Периодическая функция – это частный случай $k=0$ , а антипериодическая функция является частным случаем $k=\pi /P$ . В любое время $kP/\pi$ рациональна, функция также периодична.

Факторпространства как домен [ править ]

При обработке сигналов вы сталкиваетесь с проблемой, что ряды Фурье представляют собой периодические функции и что ряды Фурье удовлетворяют теоремам о свертке (т.е. свертка рядов Фурье соответствует умножению представленной периодической функции и наоборот), но периодические функции не могут быть свернуты с помощью обычного определения, поскольку участвующие интегралы расходятся. Возможный выход — определить периодическую функцию в ограниченной, но периодической области. Для этого можно использовать понятие факторпространства :

{\mathbb {R} /\mathbb {Z} }=\{x+\mathbb {Z} :x\in \mathbb {R} \}=\{\{y:y\in \mathbb {R} \land y-x\in \mathbb {Z} \}:x\in \mathbb {R} \}

.

То есть каждый элемент в ${\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ — это класс эквивалентности действительных чисел , имеющих одну и ту же дробную часть . Таким образом, функция типа $f:{\mathbb {R} /\mathbb {Z} }\to \mathbb {R}$ является представлением 1-периодической функции.

Расчетный период [ править ]

Рассмотрим реальный сигнал, состоящий из наложенных друг на друга частот, выраженных в виде отношения к основной частоте f: F = 1 ⁄ f [f ₁ f ₂ f ₃ ... f _N ] где все ненулевые элементы ≥1 и хотя бы один из элементов набора равен 1. Чтобы найти период T, сначала найдите наименьший общий знаменатель всех элементов набора. Период можно найти как T = ЖК ⁄ ж . Учтите, что для простой синусоиды T = 1 ⁄ ж . Следовательно, ЖК-дисплей можно рассматривать как множитель периодичности.

Для набора, представляющего все ноты западной мажорной гаммы: [1 9 ⁄ 8 5 ⁄ 4 4 ⁄ 3 3 ⁄ 2 5 ⁄ 3 15 ⁄ 8 ] ЖК-дисплей равен 24, следовательно, T = 24 ⁄ f .
Для набора, представляющего все ноты мажорного трезвучия: [1 5 ⁄ 4 3 ⁄ 2 ] ЖК-дисплей равен 4, следовательно, T = 4 ⁄ f .
Для набора, представляющего все ноты минорного трезвучия: [1 6 ⁄ 5 3 ⁄ 2 ] ЖК-дисплей равен 10, следовательно, T = 10 ⁄ f .

Если бы не существовало наименьшего общего знаменателя, например, если бы один из вышеупомянутых элементов был иррациональным, то волна не была бы периодической. ^[4]

См. также [ править ]

Почти периодическая функция
Амплитуда
Непрерывная волна
Определенный шаг
Метод двойной сферы Фурье
Двоякопериодическая функция
Преобразование Фурье для вычисления периодичности в равномерно распределенных данных
Частота
Частотный спектр
Дифференциальное уравнение Хилла
Спектральный анализ методом наименьших квадратов для вычисления периодичности в неравномерно расположенных данных
Периодическая последовательность
Периодическое суммирование
Периодическая бегущая волна
Квазипериодическая функция
Сезонность
Светская вариация
Длина волны
Список периодических функций

Ссылки [ править ]

^ «МЭК 60050 — Подробности для номера МЭВ 103-05-08: «цикл» » . Международный электротехнический словарь . Проверено 20 ноября 2023 г.
^ Для некоторых функций, таких как постоянная функция или функция Дирихле ( индикаторная функция рациональных чисел ), наименьший положительный период может не существовать ( нижняя грань всех положительных периодов $P$ равна нулю).
^ Вайсштейн, Эрик В. «Антипериодическая функция» . mathworld.wolfram.com . Проверено 6 июня 2024 г.
^ Саммерсон, Саманта Р. (5 октября 2009 г.). «Периодичность, действительный ряд Фурье и преобразования Фурье» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 25 августа 2019 г. Проверено 24 марта 2018 г.

Экеланд, Ивар (1990). "Один". Методы выпуклости в гамильтоновой механике . Результаты по математике и смежным областям (3)]. Том 19. Берлин: Springer-Verlag. стр. х+247. ISBN 3-540-50613-6 . МР 1051888 .

Внешние ссылки [ править ]

[IEC-1] «МЭК 60050 — Подробности для номера МЭВ 103-05-08: «цикл» » . Международный электротехнический словарь . Проверено 20 ноября 2023 г.

[2] Для некоторых функций, таких как постоянная функция или функция Дирихле ( индикаторная функция рациональных чисел ), наименьший положительный период может не существовать ( нижняя грань всех положительных периодов $P$ равна нулю).

[3] Вайсштейн, Эрик В. «Антипериодическая функция» . mathworld.wolfram.com . Проверено 6 июня 2024 г.

[4] Саммерсон, Саманта Р. (5 октября 2009 г.). «Периодичность, действительный ряд Фурье и преобразования Фурье» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 25 августа 2019 г. Проверено 24 марта 2018 г.

[1]

[2]

[3]

[4]