Формула Эйлера

Формула Эйлера , названная в честь Леонарда Эйлера , — математическая формула комплексного анализа , устанавливающая фундаментальную связь между тригонометрическими функциями и комплексной показательной функцией . Формула Эйлера гласит, что для любого действительного числа $x$ имеется $e^{ix}=\cos x+i\sin x,$ где $e$ — основание натурального логарифма , $i$ — мнимая единица , а $cos$ и $sin$ — тригонометрические функции косинус и синус соответственно. Эту сложную экспоненциальную функцию иногда обозначают $cis x$ («косинус плюс i синус»). Формула по-прежнему действительна, если $x$ — комплексное число ее также называют формулой Эйлера . , и в этом более общем случае ^{[ 1 ]}

Формула Эйлера повсеместно используется в математике, физике, химии и технике. Физик Ричард Фейнман назвал это уравнение «нашей драгоценностью» и «самой замечательной формулой математики». ^{[ 2 ]}

Когда $x = π$ , формулу Эйлера можно переписать как $e яπ + 1 = 0$ или $е яπ = -1$ , что известно как тождество Эйлера .

История

В 1714 году английский математик Роджер Коутс представил геометрический аргумент, который можно интерпретировать (после исправления неуместного коэффициента ${\sqrt {-1}}$ ) как: ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} $ix=\ln(\cos x+i\sin x).$ Возведение этого уравнения в степень дает формулу Эйлера. Обратите внимание, что логарифмическое утверждение не является универсально правильным для комплексных чисел, поскольку комплексный логарифм может иметь бесконечное количество значений, отличающихся кратно $2 πi$ .

Около 1740 года Леонард Эйлер обратил свое внимание на показательную функцию и вывел уравнение, названное в его честь, путем сравнения разложений в ряд показательных и тригонометрических выражений. ^{[ 6 ]}^{[ 4 ]} Формула была впервые опубликована в 1748 году в его основополагающем труде « Introductio in analysin infinitorum» . ^{[ 7 ]}

Иоганн Бернулли обнаружил, что ^{[ 8 ]} ${\frac {1}{1+x^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1-ix}}+{\frac {1}{1+ix}}\right).$

И поскольку $\int {\frac {dx}{1+ax}}={\frac {1}{a}}\ln(1+ax)+C,$ приведенное выше уравнение говорит нам кое-что о комплексных логарифмах , связывая натуральные логарифмы с мнимыми (комплексными) числами. Бернулли, однако, не вычислил интеграл.

Переписка Бернулли с Эйлером (который также знал приведенное выше уравнение) показывает, что Бернулли не до конца понимал комплексные логарифмы . Эйлер также предположил, что комплексные логарифмы могут иметь бесконечное множество значений.

Представление о комплексных числах как о точках на комплексной плоскости было описано примерно 50 лет спустя Каспаром Весселем .

Определения комплексного возведения в степень

Показательная функция $e х$ для действительных значений $x$ можно определить несколькими различными эквивалентными способами (см. Характеристики экспоненциальной функции ). Некоторые из этих методов могут быть напрямую расширены для определения $e С$ для комплексных значений $z,$ просто подставив $z$ вместо $x$ и используя сложные алгебраические операции. В частности, мы можем использовать любое из трех следующих определений, которые эквивалентны. из этих определений можно интерпретировать как дающее уникальное аналитическое продолжение e $С более продвинутой точки зрения каждое х$ на комплексную плоскость.

Определение дифференциального уравнения

Показательная функция $f(z)=e^{z}$ — единственная дифференцируемая функция комплексной переменной , у которой производная равна функции ${\frac {df}{dz}}=f$ и $f(0)=1.$

Определение степенного ряда

Для комплексного $z$ $e^{z}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$

Используя тест на соотношение , можно показать, что этот степенной ряд имеет бесконечный радиус сходимости и, таким образом, определяет $e С$ для всех комплексных $z$ .

Определение предела

Для комплексного $z$ $e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.$

Здесь $n$ ограничено целыми положительными числами , поэтому не возникает вопросов о том, что означает степень с показателем $n$ .

Доказательства

Возможны различные доказательства формулы.

Использование дифференциации

Это доказательство показывает, что частное тригонометрического и показательного выражений является постоянной функцией, поэтому они должны быть равны (показательная функция никогда не равна нулю, ^{[ 9 ]} так что это разрешено). ^{[ 10 ]}

Рассмотрим функцию $f (θ)$ $f(\theta )={\frac {\cos \theta +i\sin \theta }{e^{i\theta }}}=e^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)$ для реального $θ$ . Дифференциация подарков по правилу продукта $f'(\theta )=e^{-i\theta }\left(i\cos \theta -\sin \theta \right)-ie^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=0$ Таким образом, $f (θ)$ является константой. Поскольку $f (0) = 1$ , то $f (θ) = 1$ для всех действительных $θ$ , и, таким образом, $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .$

Использование степенного ряда

Каждый последующий член ряда поворачивается на 90 градусов против часовой стрелки. Члены четной степени действительны и, следовательно, параллельны действительной линии, а члены нечетной степени являются мнимыми и, следовательно, параллельны мнимой оси. Построение каждого члена в виде векторов на комплексной плоскости, лежащих встык (сложение векторов), приводит к образованию кусочно-линейной спирали, начинающейся от начала координат и сходящейся к точке (cos 2, sin 2) на единичной окружности. — График первых нескольких членов ряда Тейлора $e это$ для $т = 2$ .

Вот доказательство формулы Эйлера с использованием разложения в степенной ряд , а также основные факты о степенях $i$ : ^{[ 11 ]} ${\begin{aligned}i^{0}&=1,&i^{1}&=i,&i^{2}&=-1,&i^{3}&=-i,\\i^{4}&=1,&i^{5}&=i,&i^{6}&=-1,&i^{7}&=-i\\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{aligned}}$

Используя теперь приведенное выше определение степенного ряда, мы видим, что для реальных значений $x$ ${\begin{aligned}e^{ix}&=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&=\cos x+i\sin x,\end{aligned}}$ где на последнем этапе мы признаем, что эти два члена представляют собой ряд Маклорена для $cos x$ и $sin x$ . Перестановка членов оправдана, поскольку каждый ряд абсолютно сходится .

Использование полярных координат

Еще одно доказательство ^{[ 12 ]} основано на том, что все комплексные числа могут быть выражены в полярных координатах . Следовательно, для некоторых $r$ и $θ,$ зависящих от $x$ , $e^{ix}=r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right).$ не делается $Никаких предположений относительно r$ и $θ$ ; они будут определены в ходе доказательства. Из любого определения показательной функции можно показать, что производная $e ix$ это $то есть ix$ . Следовательно, дифференцирование обеих сторон дает $ie^{ix}=\left(\cos \theta +i\sin \theta \right){\frac {dr}{dx}}+r\left(-\sin \theta +i\cos \theta \right){\frac {d\theta }{dx}}.$ Подставив $r (cos θ + i sin θ)$ вместо $e ix$ и приравнивание действительной и мнимой частей в этой формуле дает $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ dr / dx ⁠ = 0$ и $⁠ dθ / dx ⁠ знак равно 1$ . Таким образом, $r$ — константа, а $θ$ — это $x + C$ для некоторой $C.$ константы Начальные значения $r (0) = 1$ и $θ (0) = 0$ берутся из $e 0 я знак равно 1$ , что дает $r знак равно 1$ и $θ знак равно x$ . Это доказывает формулу $e^{i\theta }=1(\cos \theta +i\sin \theta )=\cos \theta +i\sin \theta .$

Приложения

Приложения в теории комплексных чисел

Интерпретация формулы

Эту формулу можно интерпретировать так: функция $e iφ$ — единичное комплексное число , т. е. оно очерчивает единичный круг на комплексной плоскости , когда $φ$ проходит через действительные числа. Здесь $φ$ — угол , который линия, соединяющая начало координат с точкой на единичной окружности, образует с положительной вещественной осью , измеренный против часовой стрелки и в радианах .

Оригинальное доказательство основано на в ряд Тейлора разложении показательной функции $e С$ (где $z$ — комплексное число), а также $sin x$ и $cos x$ для действительных чисел $x$ ( см. выше ). Фактически, то же доказательство показывает, что формула Эйлера справедлива даже для всех комплексных чисел $x$ .

Точку на комплексной плоскости можно представить комплексным числом, записанным в декартовых координатах . Формула Эйлера обеспечивает средство преобразования декартовых координат в полярные координаты . Полярная форма упрощает математику при использовании при умножении или степенях комплексных чисел. Любое комплексное число $z = x + iy$ и его комплексно-сопряженное число $z = x - iy$ можно записать как ${\begin{aligned}z&=x+iy=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi },\\{\bar {z}}&=x-iy=|z|(\cos \varphi -i\sin \varphi )=re^{-i\varphi },\end{aligned}}$ где

$x = Re z$ – действительная часть,
$y = Im z$ – мнимая часть,
$р = | г | = \sqrt х 2 + и 2$ - величина z $$ и
$φ знак равно arg z знак равно atan2 (y, x)$ .

$φ$ — это аргумент z $, измеренный$ , т. е. угол между осью x и вектором z против часовой стрелки в радианах , который определяется с точностью до сложения $2 π$ . Во многих текстах пишут $φ = tan -1 ⁠ y / x ⁠$ вместо $φ = atan2(y, x)$ , но первое уравнение требует корректировки, когда $x \leq 0$ . Это связано с тем, что для любых действительных $x$ и $y$ , а не нуля, углы векторов $(x, y)$ и $(- x, - y)$ различаются на $π$ радиан, но имеют одинаковое значение $tan φ = ⁠ y / x ⁠$ .

Использование формулы для определения логарифма комплексных чисел

Теперь, взяв эту производную формулу, мы можем использовать формулу Эйлера для определения логарифма комплексного числа. Для этого воспользуемся также определением логарифма (как обратного оператора возведения в степень): $a=e^{\ln a},$ и это $e^{a}e^{b}=e^{a+b},$ оба действительны для любых комплексных чисел $a$ и $b$ . Следовательно, можно написать: $z=\left|z\right|e^{i\varphi }=e^{\ln \left|z\right|}e^{i\varphi }=e^{\ln \left|z\right|+i\varphi }$ для любого $z \neq 0$ . Логарифмирование обеих частей показывает, что $\ln z=\ln \left|z\right|+i\varphi ,$ и фактически это можно использовать как определение комплексного логарифма . Таким образом, логарифм комплексного числа является многозначной функцией , поскольку $φ$ многозначна.

Наконец, другой экспоненциальный закон $\left(e^{a}\right)^{k}=e^{ak},$ которое, как можно видеть, справедливо для всех целых чисел $k$ , вместе с формулой Эйлера подразумевает несколько тригонометрических тождеств , а также формулу де Муавра .

Связь с тригонометрией

Формулы Эйлера, определений тригонометрических функций и стандартных тождеств для экспонент достаточно, чтобы легко вывести большинство тригонометрических тождеств. Он обеспечивает мощную связь между анализом и тригонометрией и обеспечивает интерпретацию функций синуса и косинуса как взвешенных сумм экспоненциальной функции: ${\begin{aligned}\cos x&=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\\\sin x&=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.\end{aligned}}$

Два приведенных выше уравнения можно получить путем сложения или вычитания формул Эйлера: ${\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x,\\e^{-ix}&=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\end{aligned}}$ и решение для косинуса или синуса.

Эти формулы могут даже служить определением тригонометрических функций для комплексных аргументов $x$ . Например, полагая $x = iy$ , мы имеем: ${\begin{aligned}\cos iy&={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\cosh y,\\\sin iy&={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}={\frac {e^{y}-e^{-y}}{2}}i=i\sinh y.\end{aligned}}$

Кроме того ${\begin{aligned}\cosh ix&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}=\cos x,\\\sinh ix&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2}}=i\sin x.\end{aligned}}$

Сложные экспоненты могут упростить тригонометрию, поскольку ими легче манипулировать, чем их синусоидальными компонентами. Один из методов — просто преобразовать синусоиды в эквивалентные выражения в терминах экспоненты. После манипуляций упрощенный результат по-прежнему имеет реальное значение. Например:

${\begin{aligned}\cos x\cos y&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\cdot {\frac {e^{iy}+e^{-iy}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}}+{\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}}{\bigg )}\\&={\frac {1}{2}}\left(\cos(x+y)+\cos(x-y)\right).\end{aligned}}$

Другой метод состоит в том, чтобы представить синусоиды как действительную часть сложного выражения и выполнить манипуляции с этим сложным выражением. Например: ${\begin{aligned}\cos nx&=\operatorname {Re} \left(e^{inx}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\right)\\&=\operatorname {Re} {\Big (}e^{i(n-1)x}\cdot {\big (}\underbrace {e^{ix}+e^{-ix}} _{2\cos x}-e^{-ix}{\big )}{\Big )}\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos x-e^{i(n-2)x}\right)\\&=\cos[(n-1)x]\cdot [2\cos x]-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}$

Эта формула используется для рекурсивной генерации $cos nx$ для целых значений $n$ и произвольного $x$ (в радианах).

Учитывая, $что cos x$ является параметром в приведенном выше уравнении, получаем рекурсивную формулу для полиномов Чебышева первого рода.

Топологическая интерпретация

На языке топологии формула Эйлера гласит, что мнимая показательная функция $t\mapsto e^{it}$ является ( сюръективным ) морфизмом топологических групп вещественной прямой $\mathbb {R}$ к единичному кругу $\mathbb {S} ^{1}$ . Фактически это демонстрирует $\mathbb {R}$ как прикрытие пространства $\mathbb {S} ^{1}$ . Точно так же тождество Эйлера говорит, что ядром этого отображения является $\tau \mathbb {Z}$ , где $\tau =2\pi$ . Эти наблюдения можно объединить и обобщить в коммутативной диаграмме ниже:

Другие приложения

В дифференциальных уравнениях функция $e ix$ часто используется для упрощения решений, даже если окончательный ответ представляет собой действительную функцию, включающую синус и косинус. Причина этого в том, что показательная функция является собственной функцией операции дифференцирования .

В электротехнике , обработке сигналов и подобных областях сигналы, которые периодически изменяются во времени, часто описываются как комбинация синусоидальных функций (см. Анализ Фурье ), и их удобнее выражать как сумму экспоненциальных функций с мнимыми показателями степени, используя формулу Эйлера. формула. Кроме того, векторный анализ цепей может включать формулу Эйлера для представления импеданса конденсатора или катушки индуктивности.

В четырехмерном кватернионов единиц существует сфера мнимых . пространстве Для любой точки $r$ на этой сфере и $x —$ действительного числа применима формула Эйлера: $\exp xr=\cos x+r\sin x,$ и элемент называется версором в кватернионах. Совокупность всех версоров образует 3-сферу в 4-пространстве.

Другие особые случаи

Особые случаи , которые оцениваются в единицах, иллюстрируют вращение вокруг комплексного единичного круга:

$х$	$и ix$
$0 + 2 пн$	$1$
$π + / 2 ⁠ 2 πn$	$я$
$π + 2 πn$	$-1$
$⁠ 3п / 2 ⁠ + 2 пн$	$- я$

Особый случай при $x = τ$ (где $τ = 2 π$ , один оборот ) дает $e это = 1 + 0$ . Также утверждается, что это связывает пять фундаментальных констант с тремя основными арифметическими операциями, но, в отличие от тождества Эйлера, без перестановки слагаемых из общего случая: ${\begin{aligned}e^{i\tau }&=\cos \tau +i\sin \tau \\&=1+0\end{aligned}}$ Интерпретация упрощенной формы $e это = 1$ означает, что вращение на полный оборот является тождественной функцией . ^{[ 13 ]}

См. также

Ссылки

^ Московиц, Мартин А. (2002). Курс комплексного анализа по одной переменной . Всемирная научная издательская компания с. 7. ISBN 981-02-4780-Х .
^ Фейнман, Ричард П. (1977). Фейнмановские лекции по физике, том. Я. Аддисон-Уэсли. п. 22-10. ISBN 0-201-02010-6 .
^
Котес писал: «Ибо, если каждая дуга квадранта круга, описываемая радиусом CE , имеет синус CX и синус дополнения к квадранту XE ; принимая радиус CE в качестве модуля, дуга соотношение будет между $EX+XC{\sqrt {-1}}$ и меры CE , принятые в ${\sqrt {-1}}$ (Таким образом , если какая-либо дуга квадранта окружности, описываемая радиусом CE , имеет синус CX и синус дополнения к квадранту XE ; принимая радиус CE в качестве модуля, дуга будет мерой отношения между $EX+XC{\sqrt {-1}}$ $EX+XC{\sqrt {-1}}$ & CE, умноженный на ${\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1}}$ .) То есть рассмотрим круг с центром E (в начале плоскости (x,y)) и радиусом CE . Рассмотрим угол θ с вершиной в точке E, имеющий положительную ось x в качестве одной стороны и радиус CE в качестве другой стороны. Перпендикуляр из точки C на окружности к оси X является «синусом» CX ; круга линия между центром E и точкой X у основания перпендикуляра — это XE , которая является «синусом дополнения к квадранту» или «косинусом». Соотношение между $EX+XC{\sqrt {-1}}$ $EX+XC{\sqrt {-1}}$ и CE , таким образом, $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \$ $\cos \theta + {\sqrt {-1}} \sin \theta \$ . В терминологии Котеса «мерой» величины является ее натуральный логарифм, а «модуль» — это коэффициент преобразования, преобразующий меру угла в длину дуги окружности (здесь модуль — это радиус ( CE ) окружности. ). По Котесу, произведение модуля и меры (логарифма) отношения, умноженное на ${\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1}}$ , равна длине дуги окружности, опирающейся на θ , которая для любого угла, измеряемого в радианах, равна CE • θ . Таким образом, ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta + {\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ . В этом уравнении есть неуместный множитель: множитель ${\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1}}$ должно находиться в правой части уравнения, а не в левой. Если изменение масштаба на ${\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1}}$ производится, то после деления обеих частей на CE и возведения обеих частей в степень результат будет: $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }$ $\cos \theta +{\sqrt {-1}} \sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }$ , что является формулой Эйлера.
Видеть:
- Роджер Коутс (1714) «Логометрия», Философские труды Лондонского королевского общества , 29 (338): 5–45; особенно см. стр. 32. Доступно в Интернете по адресу: Hathi Trust.
- Роджер Коутс с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum ... (Кембридж, Англия: 1722 г.), глава: «Логометрия», стр. 28 .
- https://nrich.maths.org/1384
^ Jump up to: ^а ^б Джон Стиллвелл (2002). Математика и ее история . Спрингер. ISBN 9781441960528 .
^ Сандифер, К. Эдвард (2007), Лучшие хиты Эйлера , Математическая ассоциация Америки ISBN 978-0-88385-563-8
^ Леонард Эйлер (1748) Глава 8: О превышении величин, вытекающих из круга « Введение в анализ бесконечного» , страница 214, раздел 138 (перевод Яна Брюса, ссылка в формате pdf из математики 17 века).
^ Конвей и Гай, стр. 254–255.
^ Бернулли, Иоганн (1702). «Решение задачи по интегральному исчислению с некоторыми замечаниями, относящимися к этому вычислению». Мемуары Парижской королевской академии наук . 1702 : 289–297.
^ Апостол, Том (1974). Математический анализ . Пирсон. п. 20. ISBN 978-0201002881 . Теорема 1.42.
^ user02138 ( https://math.stackexchange.com/users/2720/user02138 ), Как доказать формулу Эйлера: $e^{i\varphi}=\cos(\varphi) +i\sin(\varphi)$ ?, URL-адрес (версия: 25 июня 2018 г.): https://math.stackexchange.com/q/8612
^ Рикардо, Генри Дж. (23 марта 2016 г.). Современное введение в дифференциальные уравнения . Эльзевир Наука. п. 428. ИСБН 9780123859136 .
^ Стрэнг, Гилберт (1991). Исчисление . Уэлсли-Кембридж. п. 389. ИСБН 0-9614088-2-0 . Второе доказательство на странице.
^ Хартл, Майкл (14 марта 2019 г.) [14 марта 2010 г.]. «Манифест Тау» . Архивировано из оригинала 28 июня 2019 года . Проверено 14 сентября 2013 г.

Дальнейшее чтение

Нахин, Пол Дж. (2006). Потрясающая формула доктора Эйлера: лечит многие математические недуги . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-11822-2 .
Уилсон, Робин (2018). Новаторское уравнение Эйлера: самая красивая теорема в математике . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-879492-9 . МР 3791469 .

Внешние ссылки

Элементы алгебры

[1] Московиц, Мартин А. (2002). Курс комплексного анализа по одной переменной . Всемирная научная издательская компания с. 7. ISBN 981-02-4780-Х .

[2] Фейнман, Ричард П. (1977). Фейнмановские лекции по физике, том. Я. Аддисон-Уэсли. п. 22-10. ISBN 0-201-02010-6 .

[3] Котес писал: «Ибо, если каждая дуга квадранта круга, описываемая радиусом CE , имеет синус CX и синус дополнения к квадранту XE ; принимая радиус CE в качестве модуля, дуга соотношение будет между $EX+XC{\sqrt {-1}}$ и меры CE , принятые в ${\sqrt {-1}}$ (Таким образом , если какая-либо дуга квадранта окружности, описываемая радиусом CE , имеет синус CX и синус дополнения к квадранту XE ; принимая радиус CE в качестве модуля, дуга будет мерой отношения между $EX+XC{\sqrt {-1}}$ & CE, умноженный на ${\sqrt {-1}}$ .) То есть рассмотрим круг с центром E (в начале плоскости (x,y)) и радиусом CE . Рассмотрим угол θ с вершиной в точке E, имеющий положительную ось x в качестве одной стороны и радиус CE в качестве другой стороны. Перпендикуляр из точки C на окружности к оси X является «синусом» CX ; круга линия между центром E и точкой X у основания перпендикуляра — это XE , которая является «синусом дополнения к квадранту» или «косинусом». Соотношение между $EX+XC{\sqrt {-1}}$ и CE , таким образом, $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \$ . В терминологии Котеса «мерой» величины является ее натуральный логарифм, а «модуль» — это коэффициент преобразования, преобразующий меру угла в длину дуги окружности (здесь модуль — это радиус ( CE ) окружности. ). По Котесу, произведение модуля и меры (логарифма) отношения, умноженное на ${\sqrt {-1}}$ , равна длине дуги окружности, опирающейся на θ , которая для любого угла, измеряемого в радианах, равна CE • θ . Таким образом, ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ . В этом уравнении есть неуместный множитель: множитель ${\sqrt {-1}}$ должно находиться в правой части уравнения, а не в левой. Если изменение масштаба на ${\sqrt {-1}}$ производится, то после деления обеих частей на CE и возведения обеих частей в степень результат будет: $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }$ , что является формулой Эйлера.
Видеть:
Роджер Коутс (1714) «Логометрия», Философские труды Лондонского королевского общества , 29 (338): 5–45; особенно см. стр. 32. Доступно в Интернете по адресу: Hathi Trust.

Роджер Коутс с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum ... (Кембридж, Англия: 1722 г.), глава: «Логометрия», стр. 28 .

https://nrich.maths.org/1384

[4] Роджер Коутс (1714) «Логометрия», Философские труды Лондонского королевского общества , 29 (338): 5–45; особенно см. стр. 32. Доступно в Интернете по адресу: Hathi Trust.

[5] Роджер Коутс с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum ... (Кембридж, Англия: 1722 г.), глава: «Логометрия», стр. 28 .

[6] ttps://nrich.maths.org/1384

[Stillwell-4] Jump up to: ^а ^б Джон Стиллвелл (2002). Математика и ее история . Спрингер. ISBN 9781441960528 .

[5] Сандифер, К. Эдвард (2007), Лучшие хиты Эйлера , Математическая ассоциация Америки ISBN 978-0-88385-563-8

[6] Леонард Эйлер (1748) Глава 8: О превышении величин, вытекающих из круга « Введение в анализ бесконечного» , страница 214, раздел 138 (перевод Яна Брюса, ссылка в формате pdf из математики 17 века).

[7] Конвей и Гай, стр. 254–255.

[8] Бернулли, Иоганн (1702). «Решение задачи по интегральному исчислению с некоторыми замечаниями, относящимися к этому вычислению». Мемуары Парижской королевской академии наук . 1702 : 289–297.

[Apostol-9] Апостол, Том (1974). Математический анализ . Пирсон. п. 20. ISBN 978-0201002881 . Теорема 1.42.

[10] user02138 ( https://math.stackexchange.com/users/2720/user02138 ), Как доказать формулу Эйлера: $e^{i\varphi}=\cos(\varphi) +i\sin(\varphi)$ ?, URL-адрес (версия: 25 июня 2018 г.): https://math.stackexchange.com/q/8612

[11] Рикардо, Генри Дж. (23 марта 2016 г.). Современное введение в дифференциальные уравнения . Эльзевир Наука. п. 428. ИСБН 9780123859136 .

[Strang-12] Стрэнг, Гилберт (1991). Исчисление . Уэлсли-Кембридж. п. 389. ИСБН 0-9614088-2-0 . Второе доказательство на странице.

[Hartl_2019-13] Хартл, Майкл (14 марта 2019 г.) [14 марта 2010 г.]. «Манифест Тау» . Архивировано из оригинала 28 июня 2019 года . Проверено 14 сентября 2013 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]