Характеристики показательной функции

В математике показательную функцию можно охарактеризовать разными способами. В этой статье представлены некоторые общие характеристики, обсуждается, почему каждая из них имеет смысл, и доказывается, что все они эквивалентны .

Показательная функция естественным образом встречается во многих разделах математики. Вальтер Рудин назвал это «самой важной функцией в математике». Поэтому полезно иметь несколько способов его определения (или характеристики). Каждая из приведенных ниже характеристик может быть более или менее полезной в зависимости от контекста. Характеристика экспоненциальной функции «предел произведения» была открыта Леонардом Эйлером .

Характеристики

Шесть наиболее распространенных определений показательной функции $\exp(x)=e^{x}$ за реальные ценности $x\in \mathbb {R}$ заключаются в следующем.

1. Лимит продукта. Определять $e^{x}$ по лимиту :
   $$e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$$
2. Силовая серия. Определить е ^х как значение бесконечного ряда
   $$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots$$
   (Здесь n ! обозначает факториал n доказательств . Одно из того, что e иррационально, использует специальный случай этой формулы.)
3. Обратный интеграл логарифма. Определять $e^{x}$ быть уникальным числом y > 0 таким, что
   $$\int _{1}^{y}{\frac {dt}{t}}=x.$$
   То есть, $e^{x}$ является обратной логарифма натурального функцией $x=\ln(y)$, который определяется этим интегралом.
4. Дифференциальное уравнение. Определять $y(x)=e^{x}$ быть единственным решением дифференциального уравнения с начальным значением :
   $$y'=y,\quad y(0)=1,$$
   где $y'={\tfrac {dy}{dx}}$ обозначает производную y ​ .
5. Функциональное уравнение. Показательная функция $e^{x}$ — единственная функция f с $f(x+y)=f(x)f(y)$ для всех $x,y$ и $f'(0)=1$. Состояние $f'(0)=1$ можно заменить на $f(1)=e$ вместе с любым из следующих условий регулярности:
   • f измеримо по Лебегу (Хьюитт и Стромберг, 1965, упражнение 18.46).
   • f непрерывна в любой одной точке (Рудин, 1976, глава 8 , упражнение 6).
   • f увеличивается ​ .
   Для единственности необходимо наложить некоторое условие регулярности, поскольку другие функции, удовлетворяющие $f(x+y)=f(x)f(y)$ может быть построен с использованием основы действительных чисел над рациональными , как описано Хьюиттом и Стромбергом.
6. Элементарное определение по полномочиям. Определите показательную функцию с основанием $a>0$ быть непрерывной функцией $a^{x}$ чье значение в целых числах $x=n$ дается путем многократного умножения или деления $a$, и чье значение на рациональных числах $x=n/m$ дается $a^{n/m}=\ \ {\sqrt[{m}]{{\vphantom {A^{2}}}a^{n}}}$. Затем определите $e^{x}$ быть показательной функцией, основание которой $a=e$ уникальное положительное действительное число, удовлетворяющее:
   $$\lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=1.$$

Большие домены

Один из способов определения экспоненциальной функции над комплексными числами — сначала определить ее для области действительных чисел, используя одну из приведенных выше характеристик, а затем расширить ее как аналитическую функцию , которая характеризуется своими значениями на любом бесконечном наборе областей.

Кроме того, характеристики (1), (2) и (4) для $e^{x}$ подать заявку непосредственно на $x$ комплексное число. Определение (3) представляет проблему, поскольку существуют неэквивалентные пути, по которым можно интегрироваться; но уравнение (3) должно выполняться для любого такого пути по модулю $2\pi$. Что касается определения (5), то аддитивное свойство вместе с комплексной производной $f'(0)=1$ достаточны, чтобы гарантировать $f(x)=e^{x}$. Однако условие начального значения $f(1)=e$ вместе с другими условиями регулярности являются недостаточными. Например, для действительных x и y функция

$$f(x+iy)=e^{x}(\cos(2y)+i\sin(2y))=e^{x+2iy}$$

удовлетворяет трем перечисленным условиям регулярности в (5), но не равен $\exp(x+iy)$. Достаточным условием является то, что $f(1)=e$ и это $f$ является конформным отображением в некоторой точке; или же два начальных значения $f(1)=e$ и ${\textstyle f(i)=\cos(1)+i\sin(1)}$ вместе с другими условиями регулярности.

Можно также определить экспоненту в других областях, таких как матрицы и другие алгебры . Определения (1), (2) и (4) имеют смысл для произвольных банаховых алгебр .

что каждая характеристика имеет

Некоторые из этих определений требуют обоснования, чтобы продемонстрировать, что они четко определены . Например, когда значение функции определяется как результат предельного процесса (т.е. бесконечной последовательности или ряда ), необходимо продемонстрировать, что такой предел всегда существует.

Характеристика 1

Ошибка выражения предела продукта описывается следующим образом:

$$\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=e^{x}\left(1-{\frac {x^{2}}{2n}}+{\frac {x^{3}(8+3x)}{24n^{2}}}+\cdots \right),$$

где степень многочлена (по x ) в члене со знаменателем n ^к это 2к .

Характеристика 2

С

$$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x^{n+1}/(n+1)!}{x^{n}/n!}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x}{n+1}}\right|=0<1.$$

следует, из критерия соотношения что ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$ сходится для всех x .

Характеристика 3

Поскольку подынтегральная функция является суммируемой функцией от t , интегральное выражение корректно определено. Необходимо показать, что функция из $\mathbb {R} ^{+}$ к $\mathbb {R}$ определяется

$$x\mapsto \int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}$$

является биекцией . Поскольку 1/ t положительна при положительном t , эта функция строго возрастает , следовательно, инъективна . Если два интеграла

$${\begin{aligned}\int _{1}^{\infty }{\frac {dt}{t}}&=\infty \\[8pt]\int _{1}^{0}{\frac {dt}{t}}&=-\infty \end{aligned}}$$

держите, то оно сюръективно также . Действительно, эти интегралы верны ; они следуют из интегрального признака и расходимости гармонического ряда .

Характеристика 6

Определение зависит от уникального положительного действительного числа. $a=e$ удовлетворительно:

$$\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}=1.$$

Можно показать, что этот предел существует для любого $a$, и он определяет непрерывную возрастающую функцию $f(a)=\ln(a)$ с $f(1)=0$ и $\lim _{a\to \infty }f(a)=\infty$, поэтому теорема о промежуточном значении гарантирует существование такого значения $a=e$.

Эквивалентность характеристик

Следующие рассуждения демонстрируют эквивалентность приведенных выше характеристик для показательной функции.

Характеристика 1 ⇔ характеристика 2

Следующее рассуждение заимствовано из Рудина, теорема 3.31, с. 63–65.

Позволять $x\geq 0$ быть фиксированным неотрицательным действительным числом. Определять

$$t_{n}=\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},\qquad s_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}},\qquad e^{x}=\lim _{n\to \infty }s_{n}.$$

По теореме биномиальной

$${\begin{aligned}t_{n}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {x^{k}}{n^{k}}}=1+x+\sum _{k=2}^{n}{\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))x^{k}}{k!\,n^{k}}}\\[8pt]&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+{\frac {x^{3}}{3!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)+\cdots \\[8pt]&{}\qquad \cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{n}}\right)\leq s_{n}\end{aligned}}$$

(используя x ≥ 0 для получения окончательного неравенства), так что:

$$\limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }s_{n}=e^{x}$$

Необходимо использовать lim sup , поскольку неизвестно, ли t _n сходится .

Для другого неравенства, согласно приведенному выше выражению для t _n , если 2 ≤ m ≤ n , мы имеем:

$$1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+\cdots +{\frac {x^{m}}{m!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {m-1}{n}}\right)\leq t_{n}.$$

Зафиксируйте m и пусть n стремится к бесконечности. Затем

$$s_{m}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{m}}{m!}}\leq \liminf _{n\to \infty }\ t_{n}$$

(опять же, необходимо использовать lim inf , поскольку неизвестно, сходится ли t _n ). Теперь возьмите приведенное выше неравенство, пусть m приближается к бесконечности, и объедините его с другим неравенством, чтобы получить:

$$\limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq e^{x}\leq \liminf _{n\to \infty }t_{n}$$

так что

$$\lim _{n\to \infty }t_{n}=e^{x}.$$

Эту эквивалентность можно распространить на отрицательные действительные числа, заметив ${\textstyle \left(1-{\frac {r}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}}$ и переходя к пределу, когда n стремится к бесконечности.

Характеристика 1 ⇔ характеристика 3

Здесь функция натурального логарифма определяется через определенный интеграл, как указано выше. Согласно первой части основной теоремы исчисления ,

$${\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {d}{dx}}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={\frac {1}{x}}.$$

Кроме, ${\textstyle \ln 1=\int _{1}^{1}{\frac {dt}{t}}=0}$

Теперь пусть x — любое фиксированное действительное число и пусть

$$y=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$$

Ln( y ) = x , что означает, что y = e ^х , где е ^х находится в смысле определения 3. Имеем

$$\ln y=\ln \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$$

Здесь используется непрерывность ln( y ), вытекающая из непрерывности 1/ t :

$$\ln y=\lim _{n\to \infty }n\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {x\ln \left(1+(x/n)\right)}{(x/n)}}.$$

Здесь результат в ^н = n ln a был использован. Этот результат можно установить для n натурального числа методом индукции или с помощью интегрирования путем замены. (Распространение на действительные степени должно отложиться до тех пор, пока ln и exp не станут обратными друг другу, так что ^б может быть определен для действительного b как e ^{б л а} .)

$$=x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\ln \left(1+h\right)}{h}}\quad {\text{ where }}h={\frac {x}{n}}$$

$$=x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\ln \left(1+h\right)-\ln 1}{h}}$$

$$=x\cdot {\frac {d}{dt}}\ln t{\Bigg |}_{t=1}$$

$$\!\,=x.$$

Характеристика 1 ⇔ характеристика 4

Позволять $y(t)$ обозначаем решение задачи начального значения $y'=y,\ y(0)=1$. Применение простейшей формы метода Эйлера с приращением $\Delta t={\frac {x}{n}}$ и точки отбора проб $t\ =\ 0,\ \Delta t,\ 2\Delta t,\ldots ,\ n\Delta t$ дает рекурсивную формулу:

$y(t+\Delta t)\ \approx \ y(t)+y'(t)\Delta t\ =\ y(t)+y(t)\Delta t\ =\ y(t)\,(1+\Delta t).$

Эта рекурсия немедленно решается, чтобы получить приблизительное значение $y(x)=y(n\Delta t)\approx (1+\Delta t)^{n}$, и поскольку известно, что метод Эйлера сходится к точному решению, мы имеем:

$y(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$

Характеристика 1 ⇔ характеристика 5

Следующее доказательство представляет собой упрощенную версию доказательства Хьюитта и Стромберга (упражнение 18.46). Во-первых, доказывается, что измеримость (или здесь интегрируемость по Лебегу) влечет непрерывность ненулевой функции. $f(x)$ удовлетворяющий $f(x+y)=f(x)f(y)$, а затем доказывается, что из непрерывности следует $f(x)=e^{kx}$ для некоторого k и, наконец, $f(1)=e$ подразумевает k = 1 .

Сначала несколько элементарных свойств из $f(x)$ удовлетворяющий $f(x+y)=f(x)f(y)$ доказаны, и предположение о том, что $f(x)$ не тождественно ноль:

• Если $f(x)$ не равно нулю нигде (скажем, в точке x = y ), то оно не равно нулю везде. Доказательство: $f(y)=f(x)f(y-x)\neq 0$ подразумевает $f(x)\neq 0$.
• $f(0)=1$. Доказательство: $f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)$ и $f(x)$ не равно нулю.
• $f(-x)=1/f(x)$. Доказательство: $1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)$.
• Если $f(x)$ непрерывна в любом месте (скажем, в точке x = y ), то она непрерывна всюду. Доказательство: $f(x+\delta )-f(x)=f(x-y)[f(y+\delta )-f(y)]\to 0$ как $\delta \to 0$ по непрерывности в точке y .

Второе и третье свойства означают, что достаточно доказать $f(x)=e^{x}$ для положительного x .

Если $f(x)$ — функция, интегрируемая по Лебегу , то

$$g(x)=\int _{0}^{x}f(x')\,dx'.$$

Отсюда следует, что

$$g(x+y)-g(x)=\int _{x}^{x+y}f(x')\,dx'=\int _{0}^{y}f(x+x')\,dx'=f(x)g(y).$$

С $f(x)$ не равно нулю, некоторый y можно выбрать так, что $g(y)\neq 0$ и решить для $f(x)$ в приведенном выше выражении. Поэтому:

$${\begin{aligned}f(x+\delta )-f(x)&={\frac {[g(x+\delta +y)-g(x+\delta )]-[g(x+y)-g(x)]}{g(y)}}\\&={\frac {[g(x+y+\delta )-g(x+y)]-[g(x+\delta )-g(x)]}{g(y)}}\\&={\frac {f(x+y)g(\delta )-f(x)g(\delta )}{g(y)}}=g(\delta ){\frac {f(x+y)-f(x)}{g(y)}}.\end{aligned}}$$

Окончательное выражение должно стремиться к нулю, поскольку $\delta \to 0$ с $g(0)=0$ и $g(x)$ является непрерывным. Отсюда следует, что $f(x)$ является непрерывным.

Сейчас, $f(q)=e^{kq}$ может быть доказано для некоторого k для всех положительных рациональных чисел q . Пусть q = n / m для натуральных чисел n и m . Затем

$$f\left({\frac {n}{m}}\right)=f\left({\frac {1}{m}}+\cdots +{\frac {1}{m}}\right)=f\left({\frac {1}{m}}\right)^{n}$$

элементарной индукцией по n . Поэтому, $f(1/m)^{m}=f(1)$ и таким образом

$$f\left({\frac {n}{m}}\right)=f(1)^{n/m}=e^{k(n/m)}.$$

для $k=\ln[f(1)]$. Если ограничиться реальным значением $f(x)$, затем $f(x)=f(x/2)^{2}$ всюду положительна, поэтому k вещественна.

Наконец, по непрерывности, поскольку $f(x)=e^{kx}$ для всех рациональных x это должно быть верно для всех действительных x, поскольку замыкание рациональных чисел является действительным числом (то есть любой действительный x может быть записан как предел последовательности рациональных чисел). Если $f(1)=e$ тогда k = 1. Это эквивалентно характеристике 1 (или 2, или 3), в зависимости от того, какое эквивалентное определение e используется.

Характеристика 2 ⇔ характеристика 4

Пусть n — целое неотрицательное число. В смысле определения 4 и по индукции ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=y$.

Поэтому ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}{\Bigg |}_{x=0}=y(0)=1.$

Используя ряд Тейлора ,

$$y=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\,x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.$$

Это показывает, что определение 4 влечет за собой определение 2.

В смысле определения 2,

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}e^{x}&={\frac {d}{dx}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nx^{n-1}}{n!}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{(n-1)!}}\\[6pt]&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},{\text{ where }}k=n-1\\[6pt]&=e^{x}\end{aligned}}$$

Кроме, ${\textstyle e^{0}=1+0+{\frac {0^{2}}{2!}}+{\frac {0^{3}}{3!}}+\cdots =1.}$ Это показывает, что определение 2 влечет за собой определение 4.

Характеристика 2 ⇒ характеристика 5

В смысле определения 2 уравнение $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ следует из почленного манипулирования степенными рядами, оправданного равномерной сходимостью , и полученное в результате равенство коэффициентов является просто Биномиальной теоремой . Более того:

$${\begin{aligned}\exp '(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left(\left(1+h+{\frac {h^{2}}{2!}}+{\frac {h^{3}}{3!}}+{\frac {h^{4}}{4!}}+\cdots \right)-1\right)\\&=\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {h}{2!}}+{\frac {h^{2}}{3!}}+{\frac {h^{3}}{4!}}+\cdots \right)\ =\ 1.\\\end{aligned}}$$

Характеристика 3 ⇔ характеристика 4

Характеристика 3 предполагает определение натурального логарифма до определения показательной функции. Первый,

$$\log x:=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}$$

Это означает, что натуральный логарифм $x$ равна (со знаком) площади под графиком $1/t$ между $t=1$ и $t=x$. Если $x<1$, то эта площадь считается отрицательной. Затем, $\exp$ определяется как инверсия $\log$, это означает, что

$$\exp(\log(x))=x{\text{ and }}\log(\exp(x))=x$$

по определению обратной функции. Если $a$ это положительное действительное число, тогда $a^{x}$ определяется как $\exp(x\log(a))$. Окончательно, $e$ определяется как число $a$ такой, что $\log(a)=1$. Тогда можно показать, что $e^{x}=\exp(x)$:

$$e^{x}=\exp(x\log(e))=\exp(x)$$

По основной теореме исчисления производная ${\textstyle \log x={\frac {1}{x}}}$. Теперь мы имеем возможность доказать, что ${\textstyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$, удовлетворяющий первой части задачи начального значения, приведенной в характеристике 4:

$${\begin{aligned}{\text{Let }}y&=e^{x}=\exp(x)\\\log(y)&=\log(\exp(x))=x\\{\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}&=1\\{\frac {dy}{dx}}&=y=e^{x}\end{aligned}}$$

Тогда нам остается лишь отметить, что $e^{0}=\exp(0)=1$, и мы закончили. Конечно, гораздо легче показать, что характеристика 4 влечет за собой характеристику 3. Если $e^{x}$ это уникальная функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ удовлетворяющий $f'(x)=e^{x}$, и $f(0)=1$, затем $\log$ можно определить как его обратную величину. Производная от $\log$ можно найти следующим способом:

$$y=\log x\implies x=e^{y}$$

Если мы продифференцируем обе стороны по $y$, мы получаем

$${\begin{aligned}{\frac {dx}{dy}}&=e^{y}\\{\frac {dy}{dx}}&={\frac {1}{e^{y}}}={\frac {1}{x}}\end{aligned}}$$

Поэтому,

$$\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt=\left[\log t\right]_{1}^{x}=\log x-\log 1=\log x-0=\log x$$

Характеристика 5 ⇒ характеристика 4

Условия f' (0) = 1 и f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) влекут за собой оба условия характеристики 4. Действительно, начальное условие f (0) = 1 получается путем деления обеих частей уравнение

$$f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)$$

на f (0) и условие, что f′ ( x ) = f ( x ), следует из условия, что f ′ (0) = 1, и определения производной следующим образом:

$${\begin{array}{rcccccc}f'(x)&=&\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}&=&\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x)f(h)-f(x)}{h}}&=&\lim \limits _{h\to 0}f(x){\frac {f(h)-1}{h}}\\[1em]&=&f(x)\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(h)-1}{h}}&=&f(x)\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0)}{h}}&=&f(x)f'(0)=f(x).\end{array}}$$

Характеристика 5 ⇒ характеристика 4

В смысле определения 5 мультипликативное свойство вместе с начальным условием $\exp '(0)=1$ подразумевать, что:

$${\begin{array}{rcl}{\frac {d}{dx}}\exp(x)&=&\lim _{h\to 0}{\frac {\exp(x{+}h)-\exp(x)}{h}}\\&=&\exp(x)\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\exp(h)-1}{h}}\\&=&\exp(x)\exp '(0)=\exp(x).\end{array}}$$

Характеристика 5 ⇔ характеристика 6

Мультипликативное свойство $f(x+y)=f(x)f(y)$ определения 5 подразумевает, что $f(0)=1$, и это $f(x)=a^{x}$ в соответствии с умножением/делением и определением корня возведения в степень для рационального $x=n/m$ в определении 6, где $a=f(1)$. Тогда условие $f'(0)=1$ означает, что $\lim _{h\to 0}{\tfrac {a^{h}-1}{h}}=1$. Также любое из условий определения 5 означает, что $f(x)$ является непрерывным вообще реальным $x$. Обратное аналогично.

Ссылки

• Уолтер Рудин , Принципы математического анализа , 3-е издание (McGraw-Hill, 1976), глава 8.
• Эдвин Хьюитт и Карл Стромберг, Реальный и абстрактный анализ (Springer, 1965).