Предел (математика)

Эта статья об общей концепции лимита. Более конкретные случаи см. в разделе Предел последовательности и Предел функции . Чтобы узнать о других значениях, см. Предел § Математика .

В математике предел ) , — это значение, к которому приближается функция (или последовательность когда входные данные (или индекс) приближаются к некоторому значению . Пределы необходимы для исчисления и математического анализа и используются для определения непрерывности , производных и интегралов .

В формулах предел функции обычно записывают как

$\lim _{x\to c}f(x)=L,$

и читается как «предел f от x , когда x приближается к c , равен L ». Это означает, что значение функции f можно сделать сколь угодно близким к L , выбрав x достаточно близко к c . Альтернативно, тот факт, что функция f приближается к пределу L , когда x приближается к c, иногда обозначается стрелкой вправо (→ или $\rightarrow$), как в

$f(x)\to L{\text{ as }}x\to c,$

который гласит " $f$ из $x$ как правило $L$ как $x$ как правило $c$".

Понятие предела последовательности далее обобщается до понятия предела топологической сети и тесно связано с пределом и прямым пределом в теории категорий .

Нижний предел и верхний предел обеспечивают обобщение концепции предела, которое особенно актуально, когда предел в какой-то точке может не существовать.

История

Согласно Ханкелю (1871), современная концепция предела происходит из предложения X.1 « Начал» Евклида , которое составляет основу метода исчерпания , найденного у Евклида и Архимеда: «Излагаются две неравные величины, если из большей есть вычитается величина, большая, чем ее половина, а из того, что остается, - величина, большая, чем ее половина, и если этот процесс будет повторяться постоянно, то останется какая-то величина, меньшая, чем заданная меньшая величина».

Грегуар де Сен-Венсан дал первое определение предела (конца) геометрической серии в своей работе Opus Geometricum (1647): « Конечная точка прогрессии — это конец ряда, которого не может достичь ни одна прогрессия, даже если она продолжается в бесконечности, но к которому она может приблизиться ближе, чем к данному отрезку».

Современное определение предела восходит к Бернару Больцано , который в 1817 году разработал основы метода эпсилон-дельта для определения непрерывных функций. Однако его работа оставалась неизвестной другим математикам вплоть до тридцати лет после его смерти.

Огюстен-Луи Коши в 1821 году. за которым последовал Карл Вейерштрасс , формализовал определение предела функции, которое стало известно как (ε, δ)-определение предела .

Современное обозначение размещения стрелки под символом предела принадлежит Г.Х. Харди , который ввел его в своей книге «Курс чистой математики» в 1908 году.

Виды лимитов

В последовательностях

Действительные числа

Основная статья: Предел последовательности

Выражение 0,999... следует интерпретировать как предел последовательности 0,9, 0,99, 0,999,... и так далее. Можно строго показать, что эта последовательность имеет предел 1, и поэтому это выражение осмысленно интерпретируется как имеющее значение 1.

Формально предположим, что a ₁ , a ₂ , ... — это последовательность действительных чисел . Когда предел последовательности существует, действительное число L является пределом этой последовательности тогда и только тогда, когда для каждого действительного числа ε > 0 существует натуральное число N такое, что для всех n > N мы имеем | а _п - L | < е . Общие обозначения

$$\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$$

читается как:

«Предел n при _n стремлении к бесконечности равен L » или «Предел n при стремлении к равен _{бесконечности} L » .

Формальное определение интуитивно означает, что в конечном итоге все элементы последовательности сколь угодно близки к пределу, поскольку абсолютное значение | а _п - L | расстояние n _​ и L. между

Не каждая последовательность имеет предел. Последовательность с пределом называется сходящейся ; в противном случае его называют расходящимся . Можно показать, что сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Предел последовательности и предел функции тесно связаны. С одной стороны, предел при стремлении n бесконечности последовательности { an _} к — это просто предел на бесконечности функции a ( n ) , определённой для натуральных чисел { n } . С другой стороны, если X является областью определения функции f ( x ) и если предел n при стремлении f ( x _n ) к бесконечности равен L для любой произвольной последовательности точек { x _n } в X − x ₀ , которая сходится до x ₀ , то предел функции f ( x ) при x приближении к x ₀ равен L . Одной из таких последовательностей может быть { x ₀ + 1/ n } .

Бесконечность как предел

Существует также понятие предела, «стремящегося к бесконечности», а не к конечному значению. $L$. Последовательность $\{a_{n}\}$ говорят, что оно «стремится к бесконечности», если для каждого действительного числа $M>0$, известный как граница, существует целое число $N$ такой, что для каждого $n>N$,

$$a_{n}>M.$$

То есть для каждой возможной границы последовательность в конечном итоге превышает границу. Это часто пишут $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\infty$ или просто $a_{n}\rightarrow \infty$.

Последовательность может расходиться, но не стремиться к бесконечности. Такие последовательности называются колебательными . Примером колебательной последовательности является $a_{n}=(-1)^{n}$.

Существует соответствующее понятие стремления к отрицательной бесконечности, $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=-\infty$, определяемый путем замены неравенства в приведенном выше определении на $a_{n}<M,$ с $M<0.$

Последовательность $\{a_{n}\}$ с $\lim _{n\rightarrow \infty }|a_{n}|=\infty$называется неограниченным , и это определение одинаково справедливо для последовательностей в комплексных числах или в любом метрическом пространстве . Последовательности, не стремящиеся к бесконечности, называются ограниченными . Последовательности, не стремящиеся к положительной бесконечности, называются ограниченными сверху , а последовательности, не стремящиеся к отрицательной бесконечности, — ограниченными снизу .

Метрическое пространство

Обсуждение последовательностей выше относится к последовательностям действительных чисел. Понятие пределов может быть определено для последовательностей, оцениваемых в более абстрактных пространствах, таких как метрические пространства . Если $M$ это метрическое пространство с функцией расстояния $d$, и $\{a_{n}\}_{n\geq 0}$ представляет собой последовательность в $M$, то пределом (если он существует) последовательности является элемент $a\in M$ такой, что, учитывая $\epsilon >0$, существует $N$ такой, что для каждого $n>N$, у нас есть

$$d(a,a_{n})<\epsilon .$$

Эквивалентное утверждение состоит в том, что $a_{n}\rightarrow a$ если последовательность действительных чисел $d(a,a_{n})\rightarrow 0$.

Пример: Р ^н

Важным примером является пространство $n$-мерные действительные векторы с элементами $\mathbf {x} =(x_{1},\cdots ,x_{n})$ где каждый из $x_{i}$ действительны, примером подходящей функции расстояния является евклидово расстояние , определяемое формулой

$$d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.$$

Последовательность пунктов $\{\mathbf {x} _{n}\}_{n\geq 0}$ сходится к $\mathbf {x}$ если предел существует и $\|\mathbf {x} _{n}-\mathbf {x} \|\rightarrow 0$.

Топологическое пространство

В некотором смысле наиболее абстрактным пространством, в котором могут быть определены пределы, являются топологические пространства . Если $X$ представляет собой топологическое пространство с топологией $\tau$, и $\{a_{n}\}_{n\geq 0}$ представляет собой последовательность в $X$, то пределом (если он существует) последовательности является точка $a\in X$ такой, что для (открытой) окрестности $U\in \tau$ из $a$, существует $N$ такой, что для каждого $n>N$,

$$a_{n}\in U$$

удовлетворен. В этом случае предел (если он существует) может быть не единственным. Однако оно должно быть уникальным, если $X$ является хаусдорфовым пространством .

Функциональное пространство

В этом разделе рассматривается идея пределов последовательностей функций, которую не следует путать с идеей пределов функций, обсуждаемой ниже.

Область функционального анализа частично стремится выявить полезные понятия сходимости в функциональных пространствах. Например, рассмотрим пространство функций из общего набора $E$ к $\mathbb {R}$. Дана последовательность функций $\{f_{n}\}_{n>0}$ такая, что каждая является функцией $f_{n}:E\rightarrow \mathbb {R}$, предположим, что существует такая функция, что для каждого $x\in E$,

$$f_{n}(x)\rightarrow f(x){\text{ or equivalently }}\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x).$$

Тогда последовательность $f_{n}$ говорят, что он сходится поточечно к $f$. Однако такие последовательности могут демонстрировать неожиданное поведение. Например, можно построить последовательность непрерывных функций, имеющую разрывный поточечный предел.

Другое понятие сходимости — равномерная сходимость . Равномерное расстояние между двумя функциями $f,g:E\rightarrow \mathbb {R}$ — максимальная разница между двумя функциями в качестве аргумента $x\in E$разнообразен. То есть,

$$d(f,g)=\max _{x\in E}|f(x)-g(x)|.$$

Тогда последовательность $f_{n}$ говорят, что он равномерно сходится или имеет равномерный предел $f$ если $f_{n}\rightarrow f$относительно этого расстояния. Равномерный предел имеет «более приятные» свойства, чем поточечный предел. Например, равномерный предел последовательности непрерывных функций непрерывен.

В функциональных пространствах можно определить множество различных понятий сходимости. Иногда это зависит от регулярности пространства. Яркими примерами функциональных пространств с некоторым понятием сходимости являются пространства Lp и пространство Соболева .

В функциях

Основная статья: Предел функции

Функция f ( x ) для которой предел на бесконечности равен L. , Для любого произвольного расстояния ε должно существовать значение S такое, что функция остается в пределах L ± ε для x > S. всех

Предположим, f — вещественная функция , а c — действительное число . Интуитивно говоря, выражение

$\lim _{x\to c}f(x)=L$

означает, что f ( x ) можно сделать настолько близким к L , насколько это необходимо, сделав x достаточно близким к c . В этом случае приведенное выше уравнение можно прочитать как «предел f для x , когда x приближается к c , равен L ».

Формально определение «предела $f(x)$ как $x$ подходы $c$" задается следующим образом. Предел - это действительное число $L$ так что, учитывая произвольное действительное число $\epsilon >0$ (считается «ошибкой»), существует $\delta >0$ такой, что для любого $x$ удовлетворяющий $0<|x-c|<\delta$, он утверждает, что $|f(x)-L|<\epsilon$. Это известно как (ε, δ)-определение предела .

Неравенство $0<|x-c|$ используется для исключения $c$ из рассматриваемого множества пунктов, но некоторые авторы не включают это в свое определение пределов, заменяя $0<|x-c|<\delta$ просто $|x-c|<\delta$. Эта замена эквивалентна дополнительному требованию, чтобы $f$ быть непрерывным в $c$.

Можно доказать, что существует эквивалентное определение, которое демонстрирует связь между пределами последовательностей и пределами функций. Эквивалентное определение дается следующим образом. Сначала заметим, что для каждой последовательности $\{x_{n}\}$ в области $f$, существует соответствующая последовательность $\{f(x_{n})\}$, изображение последовательности под $f$. Предел - это действительное число $L$ так что для всех последовательностей $x_{n}\rightarrow c$, соответствующая последовательность $f(x_{n})\rightarrow L$.

Односторонний лимит

Основная статья: Односторонний лимит

Можно определить понятие «левого» предела («снизу») и понятие «правого» предела («сверху»). Они не обязательно должны соглашаться. Примером может служить положительная индикаторная функция , $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, определенный так, что $f(x)=0$ если $x\leq 0$, и $f(x)=1$ если $x>0$. В $x=0$, функция имеет «левый предел» 0, «правый предел» 1, и ее предел не существует. Символически это можно выразить так: $\lim _{x\to c^{-}}f(x)=0$, и $\lim _{x\to c^{+}}f(x)=1$, и отсюда можно сделать вывод $\lim _{x\to c}f(x)$ не существует, потому что $\lim _{x\to c^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to c^{+}}f(x)$.

Бесконечность в пределах функций

Понятие «стремление к бесконечности» можно определить в области $f$,

$$\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=L.$$

В этом выражении бесконечность считается подписанной: либо $+\infty$ или $-\infty$. «Предел f при стремлении x к положительной бесконечности» определяется следующим образом. Это реальное число $L$ такой, что при любом реальном $\epsilon >0$, существует $M>0$ так что если $x>M$, $|f(x)-L|<\epsilon$. Эквивалентно, для любой последовательности $x_{n}\rightarrow +\infty$, у нас есть $f(x_{n})\rightarrow L$.

Также можно определить понятие «стремление к бесконечности» в значении $f$,

$$\lim _{x\rightarrow c}f(x)=\infty .$$

Определение дается следующим образом. Учитывая любое действительное число $M>0$, Eсть $\delta >0$ так что для $0<|x-c|<\delta$, абсолютное значение функции $|f(x)|>M$. Эквивалентно, для любой последовательности $x_{n}\rightarrow c$, последовательность $f(x_{n})\rightarrow \infty$.

Нестандартный анализ

В нестандартном анализе (который предполагает гиперреальное расширение системы счисления) предел последовательности $(a_{n})$ может быть выражено как стандартная часть значения $a_{H}$естественного расширения последовательности с бесконечным сверхъестественным индексом n=H . Таким образом,

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\operatorname {st} (a_{H}).$

Здесь стандартная часть функции «st» округляет каждое конечное гипердействительное число до ближайшего действительного числа (разница между ними бесконечно мала ). Это формализует естественную интуицию о том, что для «очень больших» значений индекса члены последовательности «очень близки» к предельному значению последовательности. И наоборот, стандартная часть гиперреального $a=[a_{n}]$ представлена ​​в сверхстепенной конструкции последовательностью Коши $(a_{n})$, является просто пределом этой последовательности:

$\operatorname {st} (a)=\lim _{n\to \infty }a_{n}.$

В этом смысле взятие предела и взятие стандартной части являются эквивалентными процедурами.

Наборы лимитов

Ограничить набор последовательности

Позволять $\{a_{n}\}_{n>0}$ быть последовательностью в топологическом пространстве $X$. Для конкретики, $X$ можно рассматривать как $\mathbb {R}$, но определения справедливы в более общем плане. Предельное множество — это множество точек такое, что если существует сходящаяся подпоследовательность $\{a_{n_{k}}\}_{k>0}$ с $a_{n_{k}}\rightarrow a$, затем $a$принадлежит предельному множеству. В этом контексте такой $a$ иногда называют предельной точкой.

Это понятие используется для характеристики «долговременного поведения» колебательных последовательностей. Например, рассмотрим последовательность $a_{n}=(-1)^{n}$. Начиная с n=1, первые несколько членов этой последовательности имеют вид $-1,+1,-1,+1,\cdots$. Можно проверить, что он колебательный, поэтому не имеет предела, но имеет предельные точки. $\{-1,+1\}$.

Предельный набор траектории

Это понятие используется в динамических системах для изучения пределов траекторий. Определение траектории как функции $\gamma :\mathbb {R} \rightarrow X$, смысл $\gamma (t)$ рассматривается как «положение» траектории во «времени». $t$. Предельное множество траектории определяется следующим образом. Для любой последовательности возрастающих времен $\{t_{n}\}$, существует связанная с ним последовательность позиций $\{x_{n}\}=\{\gamma (t_{n})\}$. Если $x$ - предельное множество последовательности $\{x_{n}\}$ для любой последовательности возрастающих времен, то $x$ – предельное множество траектории.

Технически это $\omega$-установлен лимит. Соответствующее предельное множество для последовательностей убывающего времени называется $\alpha$-установлен лимит.

Наглядным примером является траектория круга: $\gamma (t)=(\cos(t),\sin(t))$. Это не имеет уникального предела, но для каждого $\theta \in \mathbb {R}$, смысл $(\cos(\theta ),\sin(\theta ))$ является предельной точкой, заданной последовательностью времен $t_{n}=\theta +2\pi n$. Но предельные точки не обязательно должны достигаться на траектории. Траектория $\gamma (t)=t/(1+t)(\cos(t),\sin(t))$ также имеет единичный круг в качестве предельного набора.

Использует

Пределы используются для определения ряда важных понятий анализа.

Серия

Основная статья: серия (математика)

Особым выражением интереса, которое формализуется как предел последовательности, являются суммы бесконечных рядов. Это «бесконечные суммы» действительных чисел, обычно записываемые как

$$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.$$

Это определяется посредством следующих ограничений: дана последовательность действительных чисел $\{a_{n}\}$, последовательность частичных сумм определяется формулой

$$s_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}.$$

Если предел последовательности $\{s_{n}\}$ существует, значение выражения $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$определяется как предел. В противном случае говорят, что ряд расходится.

Классическим примером является Базельская проблема , где $a_{n}=1/n^{2}$. Затем

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.$$

Однако, хотя для последовательностей существует по сути единственное понятие сходимости, для рядов существуют разные понятия сходимости. Это связано с тем, что выражение $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ не различает различные порядки последовательности $\{a_{n}\}$, а свойства сходимости последовательности частичных сумм могут зависеть от порядка последовательности.

Ряд, сходящийся при всех порядках, называется безусловно сходящимся . Можно доказать, что это эквивалентно абсолютной сходимости . Это определяется следующим образом. Ряд абсолютно сходится, если $\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|$хорошо определен. Более того, все возможные порядки дают одно и то же значение.

В противном случае ряд условно сходится . Неожиданным результатом для условно сходящихся рядов является теорема о рядах Римана : в зависимости от порядка частичные суммы могут сходиться к любому действительному числу, а также к $\pm \infty$.

Серия Power

Основная статья: Серия Power

Полезное применение теории сумм рядов - для степенных рядов. Это суммы рядов вида

$$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}.$$

Часто $z$рассматривается как комплексное число, и необходимо подходящее понятие сходимости комплексных последовательностей. Набор значений $z\in \mathbb {C}$ для которого сумма ряда сходится, представляет собой круг, радиус которого известен как радиус сходимости .

Непрерывность функции в точке

Определение непрерывности в точке дается через пределы.

Приведенное выше определение предела верно, даже если $f(c)\neq L$. Действительно, функцию f даже не обязательно определять в точке c . Однако, если $f(c)$ определен и равен $L$, то функция называется непрерывной в точке $c$.

Эквивалентно, функция непрерывна при $c$ если $f(x)\rightarrow f(c)$ как $x\rightarrow c$, или в терминах последовательностей, всякий раз, когда $x_{n}\rightarrow c$, затем $f(x_{n})\rightarrow f(c)$.

Пример ограничения, где $f$ не определяется в $c$ приведен ниже.

Рассмотрим функцию

$$f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}.$$

тогда f (1) не определена (см. Неопределенная форма ), но когда x приближается к 1, f ( x ) соответственно приближается к 2:

ж (0,9)	ж (0,99)	е (0,999)	е (1,0)	е (1,001)	е (1,01)	е (1.1)
1.900	1.990	1.999	неопределенный	2.001	2.010	2.100

Таким образом, f ( x ) можно сделать сколь угодно близким к пределу 2 — просто сделав x достаточно близким к 1 .

Другими словами,

$$\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2.$$

Это также можно вычислить алгебраически, как ${\textstyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1}$ для всех действительных чисел x ≠ 1 .

Теперь, поскольку x + 1 непрерывен по x в точке 1, мы можем подставить 1 вместо x , что приведет к уравнению

$$\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2.$$

Помимо пределов на конечных значениях, функции также могут иметь пределы на бесконечности. Например, рассмотрим функцию

$$f(x)={\frac {2x-1}{x}}$$

где:

• е (100) = 1,9900
• е (1000) = 1,9990
• е (10000) = 1,9999

Когда x становится чрезвычайно большим, значение f ( x ) приближается к 2 , и значение f ( x ) можно сделать настолько близким к 2 , насколько пожелаете, — сделав x достаточно большим. Итак, в этом случае предел f ( x ) , когда x приближается к бесконечности, равен 2 или, в математической записи,

$$\lim _{x\to \infty }{\frac {2x-1}{x}}=2.$$

Непрерывные функции

Важным классом функций при рассмотрении пределов являются непрерывные функции . Это именно те функции, которые сохраняют пределы в том смысле, что если $f$ является непрерывной функцией, то всякий раз, когда $a_{n}\rightarrow a$ в области $f$, то предел $f(a_{n})$ существует и, кроме того, является $f(a)$.

В наиболее общей ситуации топологических пространств краткое доказательство приведено ниже:

Позволять $f:X\rightarrow Y$ быть непрерывной функцией между топологическими пространствами $X$ и $Y$. По определению для каждого открытого множества $V$ в $Y$, прообраз $f^{-1}(V)$ открыт в $X$.

Теперь предположим $a_{n}\rightarrow a$ представляет собой последовательность с пределом $a$ в $X$. Затем $f(a_{n})$ представляет собой последовательность в $Y$, и $f(a)$ это какой-то момент.

Выберите район $V$ из $f(a)$. Затем $f^{-1}(V)$ является открытым множеством (по непрерывности $f$), который, в частности, содержит $a$, и поэтому $f^{-1}(V)$ это район $a$. По сближению $a_{n}$ к $a$, существует $N$ такой, что для $n>N$, у нас есть $a_{n}\in f^{-1}(V)$.

Затем применяя $f$ обеим сторонам дает это для одного и того же $N$, для каждого $n>N$ у нас есть $f(a_{n})\in V$. Первоначально $V$ был произвольным районом $f(a)$, так $f(a_{n})\rightarrow f(a)$. На этом доказательство завершается.

В реальном анализе для более конкретного случая вещественнозначных функций, определенных на подмножестве $E\subset \mathbb {R}$, то есть, $f:E\rightarrow \mathbb {R}$непрерывная функция также может быть определена как функция, непрерывная в каждой точке своей области определения.

Предельные точки

В топологии пределы используются для определения предельных точек подмножества топологического пространства, которые, в свою очередь, дают полезную характеристику замкнутых множеств .

В топологическом пространстве $X$, рассмотрим подмножество $S$. Точка $a$ называется предельной точкой, если существует последовательность $\{a_{n}\}$ в $S\backslash \{a\}$ такой, что $a_{n}\rightarrow a$.

Причина по которой $\{a_{n}\}$ определяется как находящийся в $S\backslash \{a\}$ а не просто $S$иллюстрируется следующим примером. Брать $X=\mathbb {R}$ и $S=[0,1]\cup \{2\}$. Затем $2\in S$, и, следовательно, является пределом постоянной последовательности $2,2,\cdots$. Но $2$ не является предельной точкой $S$.

Замкнутое множество, которое определяется как дополнение к открытому множеству, эквивалентно любому множеству. $C$ которая содержит все свои предельные точки.

Производная

Основная статья: производная

Производная формально определяется как предел. В рамках реального анализа производная сначала определяется для реальных функций. $f$ определено в подмножестве $E\subset \mathbb {R}$. Производная при $x\in E$определяется следующим образом. Если предел

$${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$$

как $h\rightarrow 0$ существует, то производная при $x$ это предел.

Эквивалентно, это предел, поскольку $y\rightarrow x$ из

$${\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}.$$

Если производная существует, ее обычно обозначают $f'(x)$.

Свойства

Последовательности действительных чисел

Для последовательностей действительных чисел можно доказать ряд свойств. Предполагать $\{a_{n}\}$ и $\{b_{n}\}$ две последовательности, сходящиеся к $a$ и $b$ соответственно.

• Сумма лимитов равна лимиту суммы

$$a_{n}+b_{n}\rightarrow a+b.$$

• Произведение пределов равно пределу произведения

$$a_{n}\cdot b_{n}\rightarrow a\cdot b.$$

• Обратный предел равен пределу обратного (при условии, что $a\neq 0$)

$${\frac {1}{a_{n}}}\rightarrow {\frac {1}{a}}.$$

Эквивалентно, функция $f(x)=1/x$ непрерывен относительно ненулевого значения $x$.

Последовательности Коши

Смотрите также: последовательность Коши

Свойство сходящихся последовательностей действительных чисел состоит в том, что они являются последовательностями Коши . Определение последовательности Коши $\{a_{n}\}$ это для каждого действительного числа $\epsilon >0$, есть $N$ такое, что всякий раз, когда $m,n>N$,

$$|a_{m}-a_{n}|<\epsilon .$$

Неформально, для любой сколь угодно малой ошибки $\epsilon$, можно найти интервал диаметра $\epsilon$ так что в конечном итоге последовательность оказывается внутри интервала.

Последовательности Коши тесно связаны с сходящимися последовательностями. Фактически для последовательностей действительных чисел они эквивалентны: любая последовательность Коши сходится.

В общих метрических пространствах по-прежнему считается, что сходящиеся последовательности также являются Коши. Но обратное неверно: не каждая последовательность Коши сходится в общем метрическом пространстве. Классический контрпример – рациональные числа . $\mathbb {Q}$, с обычной дистанции. Последовательность десятичных приближений к ${\sqrt {2}}$, усеченный в $n$-й десятичный знак является последовательностью Коши, но не сходится в $\mathbb {Q}$.

Метрическое пространство, в котором каждая последовательность Коши также сходится, то есть последовательности Коши эквивалентны сходящимся последовательностям, называется полным метрическим пространством .

Одна из причин, по которой с последовательностями Коши «легче работать», чем со сходящимися последовательностями, заключается в том, что они являются свойством последовательности. $\{a_{n}\}$ в одиночку, в то время как сходящиеся последовательности требуют не только последовательности $\{a_{n}\}$ но и предел последовательности $a$.

Порядок сходимости

Помимо того, является ли последовательность $\{a_{n}\}$ сходится к пределу $a$, можно описать, насколько быстро последовательность сходится к пределу. Один из способов количественной оценки этого — использование порядка сходимости последовательности.

Формальное определение порядка сходимости можно сформулировать следующим образом. Предполагать $\{a_{n}\}_{n>0}$ это последовательность действительных чисел, сходящаяся с пределом $a$. Более того, $a_{n}\neq a$ для всех $n$. Если положительные константы $\lambda$ и $\alpha$ существуют такие, что

$$\lim _{n\to \infty }{\frac {\left|a_{n+1}-a\right|}{\left|a_{n}-a\right|^{\alpha }}}=\lambda$$

затем $a_{n}$ говорят, что он сходится к $a$ с порядком сходимости $\alpha$. Константа $\lambda$ известна как асимптотическая константа ошибки.

Порядок сходимости используется, например, в области численного анализа , при анализе ошибок.

Вычислимость

Ограничения может быть трудно вычислить. Существуют предельные выражения, сходимости которых неразрешим модуль . В теории рекурсии предельная лемма доказывает, что с помощью пределов можно кодировать неразрешимые проблемы.

Есть несколько теорем или тестов, которые показывают, существует ли предел. Они известны как тесты сходимости . Примеры включают тест соотношения и теорему о сжатии . Однако они могут не сказать, как вычислить предел.

См. также

• Асимптотический анализ : метод описания предельного поведения
  • Обозначение Big O : используется для описания предельного поведения функции, когда аргумент стремится к определенному значению или бесконечности.
• Банахов предел , определенный в банаховом пространстве. $\ell ^{\infty }$ это расширяет обычные пределы.
• Сходимость случайных величин
• Сходящаяся матрица
• Предел в теории категорий
  • Прямой лимит
  • Обратный предел
• Предел функции
  • Односторонний предел : любой из двух пределов функции действительной переменной x , когда x приближается к точке сверху или снизу.
  • Список ограничений : список ограничений для общих функций.
  • Теорема о сжатии : находит предел функции путем сравнения с двумя другими функциями.
• Ограничьте верхнее и ограничьте худшее
• Способы конвергенции
  • Аннотированный индекс

Ссылки

• Апостол, Том М. (1974), Математический анализ (2-е изд.), Менло-Парк: Аддисон-Уэсли , LCCN   72011473