Мера (математика)

Чтобы узнать о коалгебраической концепции, см. «Измерение коалгебры» .

Не путать с метрикой (математикой) .

Неформально мера обладает свойством монотонности в том смысле, что если $A$ является подмножеством ​ $B,$ мера $A$ меньше или равна мере $B.$ Более того, мера пустого множества должна быть равна 0. Простым примером является объем (насколько большой объект занимает пространство) в качестве меры.

В математике понятие меры — это обобщение и формализация геометрических мер ( длины , площади , объёма ) и других распространенных понятий, таких как величина , масса и вероятность событий. Эти, казалось бы, разные концепции имеют много общего и часто могут рассматриваться вместе в едином математическом контексте. Меры являются основополагающими в теории вероятностей и теории интегрирования , и их можно обобщить, приняв отрицательные значения , как в случае с электрическим зарядом . Далеко идущие обобщения меры (такие как спектральные меры и проекционнозначные меры ) широко используются в квантовой физике и физике в целом.

Интуиция, лежащая в основе этой концепции, восходит к Древней Греции , когда Архимед пытался вычислить площадь круга . Но только в конце 19 — начале 20 веков теория меры стала разделом математики. Основы современной теории меры были заложены в работах Эмиля Бореля , Анри Лебега , Николая Лузина , Иоганна Радона , Константина Каратеодори и Мориса Фреше и других.

Определение

Счетная аддитивность меры $\mu$: Мера счетного непересекающегося объединения равна сумме всех мер каждого подмножества.

Позволять $X$ быть набором и $\Sigma$ а $\sigma$-алгебра окончена $X.$ Установленная функция $\mu$ от $\Sigma$ к расширенной прямой вещественных чисел называется мерой , если выполняются следующие условия:

• Негативность : для всех $E\in \Sigma ,\ \ \mu (E)\geq 0.$
• $\mu (\varnothing )=0.$
• Счётная аддитивность (или $\sigma$-аддитивность ): для всех счетных коллекций. $\{E_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ попарно непересекающихся множеств в Σ,
  $$\mu \left(\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }\mu (E_{k}).$$

Если хотя бы один набор $E$ имеет конечную меру, то требование $\mu (\varnothing )=0$ выполняется автоматически благодаря счетной аддитивности:

$$\mu (E)=\mu (E\cup \varnothing )=\mu (E)+\mu (\varnothing ),$$

и поэтому $\mu (\varnothing )=0.$

Если отбросить условие неотрицательности и $\mu$ принимает не более одного из значений $\pm \infty ,$ затем $\mu$ называется знаковой мерой .

Пара $(X,\Sigma )$ называется измеримым пространством , а члены $\Sigma$ называются измеримыми множествами .

тройка ​ $(X,\Sigma ,\mu )$ называется пространством меры . Вероятностная мера – это мера с полной мерой единица, т. е. $\mu (X)=1.$ Вероятностное пространство — это пространство меры с вероятностной мерой.

Для пространств с мерой, которые также являются топологическими пространствами, для меры и топологии могут быть наложены различные условия совместимости. Большинство мер, встречающихся на практике в анализе (а во многих случаях и в теории вероятностей ), являются мерами Радона . Меры Радона имеют альтернативное определение в терминах линейных функционалов на локально выпуклом топологическом векторном пространстве непрерывных функций с компактным носителем . Этот подход принят Бурбаки (2004) и рядом других источников. Подробнее читайте в статье о радоновых мерах .

Экземпляры

Основная категория: Меры (теория меры)

Здесь перечислены некоторые важные меры.

• Счетная мера определяется формулой $\mu (S)$ = количество элементов в $S.$
• Мера Лебега ​ $\mathbb {R}$ является полной трансляционно-инвариантной мерой на σ -алгебре, содержащей интервалы из $\mathbb {R}$ такой, что $\mu ([0,1])=1$; и любая другая мера с этими свойствами расширяет меру Лебега.
• Мера кругового угла инвариантна относительно вращения , а мера гиперболического угла инвариантна относительно отображения сжатия .
• Мера Хаара для локально компактной топологической группы является обобщением меры Лебега (а также считающей меры и меры кругового угла) и обладает аналогичными свойствами единственности.
• Мера Хаусдорфа является обобщением меры Лебега на множества нецелой размерности, в частности на фрактальные множества.
• Каждое вероятностное пространство порождает меру, которая принимает значение 1 во всем пространстве (и, следовательно, принимает все свои значения в единичном интервале [0, 1]). Такая мера называется вероятностной мерой или распределением . в списке распределений вероятностей . Примеры см.
• Мера Дирака δa ₍ ср. -функция Дирака ) имеет вид ( _δa S ) = χS _дельта (a), χS _— индикаторная функция где $S.$ Мера множества равна 1, если оно содержит точку $a$ и 0 в противном случае.

Другие «именованные» меры, используемые в различных теориях, включают: меру Бореля , меру Жордана , эргодическую меру , меру Гаусса , меру Бэра , меру Радона , меру Янга и меру Леба .

В физике примером меры является пространственное распределение массы (см., например, гравитационный потенциал ) или другое неотрицательное экстенсивное свойство , сохраняющееся ( см. в законе сохранения список из них ) или нет. Отрицательные значения приводят к знаковым показателям, см. «Обобщения» ниже.

• Мера Лиувилля , известная также как естественная форма объема на симплектическом многообразии, полезна в классической статистической и гамильтоновой механике.
• Мера Гиббса широко используется в статистической механике, часто под названием канонический ансамбль .

Теория меры используется в машинном обучении. Одним из примеров является мера вероятности, индуцированная потоком, в GFlowNet.

Основные свойства

Позволять $\mu$ быть мерой.

Монотонность

Если $E_{1}$ и $E_{2}$ являются измеримыми множествами с $E_{1}\subseteq E_{2}$ затем

$$\mu (E_{1})\leq \mu (E_{2}).$$

Мера счетных объединений и пересечений

Счётная субаддитивность

Для любой счетной последовательности $E_{1},E_{2},E_{3},\ldots$ измеримых множеств (не обязательно непересекающихся) $E_{n}$ в $\Sigma :$

$$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i}).$$

Непрерывность снизу

Если $E_{1},E_{2},E_{3},\ldots$ являются измеримыми множествами, которые возрастают (это означает, что $E_{1}\subseteq E_{2}\subseteq E_{3}\subseteq \ldots$) то объединение множеств $E_{n}$ измерима и

$$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)~=~\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})=\sup _{i\geq 1}\mu (E_{i}).$$

Непрерывность сверху

Если $E_{1},E_{2},E_{3},\ldots$ являются измеримыми множествами, которые уменьшаются (это означает, что $E_{1}\supseteq E_{2}\supseteq E_{3}\supseteq \ldots$) то пересечение множеств $E_{n}$ измерима; при этом, если хотя бы один из $E_{n}$ имеет конечную меру, то

$$\mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})=\inf _{i\geq 1}\mu (E_{i}).$$

Это свойство неверно без предположения, что хотя бы одно из $E_{n}$ имеет конечную меру. Например, для каждого $n\in \mathbb {N} ,$ позволять $E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} ,$ все они имеют бесконечную меру Лебега, но пересечение пусто.

Другая недвижимость

Полнота

Основная статья: Полная мера

Измеримый набор $X$ называется нулевым множеством, если $\mu (X)=0.$ Подмножество нулевого множества называется пренебрежимо малым множеством . Пренебрежимо малое множество не обязательно должно быть измеримым, но каждое измеримое пренебрежимо малое множество автоматически является нулевым множеством. Мера называется полной, если каждое ничтожное множество измеримо.

Меру можно расширить до полной, рассматривая σ-алгебру подмножеств $Y$ которые незначительно отличаются от измеримого множества $X,$ то есть такой, что симметричная разность $X$ и $Y$ содержится в нулевом наборе. Один определяет $\mu (Y)$ равняться $\mu (X).$

«Отбрасывая край»

Если $f:X\to [0,+\infty ]$ является $(\Sigma ,{\cal {B}}([0,+\infty ]))$-измеримо, тогда

$$\mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=\mu \{x\in X:f(x)>t\}$$

для всех почти $t\in [-\infty ,\infty ].$ Это свойство используется в связи с интегралом Лебега .

Доказательство

Оба $F(t):=\mu \{x\in X:f(x)>t\}$ и $G(t):=\mu \{x\in X:f(x)\geq t\}$ являются монотонно невозрастающими функциями $t,$ поэтому оба они имеют не более счетного числа разрывов и, следовательно, непрерывны почти всюду относительно меры Лебега. Если $t<0$ затем $\{x\in X:f(x)\geq t\}=X=\{x\in X:f(x)>t\},$ так что $F(t)=G(t),$ по желанию.

Если $t$ таков, что $\mu \{x\in X:f(x)>t\}=+\infty$ тогда из монотонности следует

$$\mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=+\infty ,$$

так что $F(t)=G(t),$ по мере необходимости. Если $\mu \{x\in X:f(x)>t\}=+\infty$ для всех $t$ тогда мы закончили, так что предположим обратное. Тогда есть уникальный $t_{0}\in \{-\infty \}\cup [0,+\infty )$ такой, что $F$ бесконечно слева от $t$ (что может произойти только тогда, когда $t_{0}\geq 0$) и конечен вправо. Рассуждая, как указано выше, $\mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=+\infty$ когда $t<t_{0}.$ Аналогично, если $t_{0}\geq 0$ и $F\left(t_{0}\right)=+\infty$ затем $F\left(t_{0}\right)=G\left(t_{0}\right).$

Для $t>t_{0},$ позволять $t_{n}$ — монотонно неубывающая последовательность, сходящаяся к $t.$ Монотонно невозрастающие последовательности $\{x\in X:f(x)>t_{n}\}$ членов $\Sigma$ имеет хотя бы одно конечное $\mu$-измеримый компонент, и

$$\{x\in X:f(x)\geq t\}=\bigcap _{n}\{x\in X:f(x)>t_{n}\}.$$

Непрерывность сверху гарантирует, что

$$\mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=\lim _{t_{n}\uparrow t}\mu \{x\in X:f(x)>t_{n}\}.$$

Правая сторона $\lim _{t_{n}\uparrow t}F\left(t_{n}\right)$ тогда равно $F(t)=\mu \{x\in X:f(x)>t\}$ если $t$ является точкой непрерывности $F.$ С $F$ непрерывен почти всюду, это завершает доказательство.

Аддитивность

Меры должны быть счетно-аддитивными. Однако это условие можно усилить следующим образом.Для любого набора $I$ и любой набор неотрицательных $r_{i},i\in I$ определять:

$$\sum _{i\in I}r_{i}=\sup \left\lbrace \sum _{i\in J}r_{i}:|J|<\infty ,J\subseteq I\right\rbrace .$$

То есть мы определяем сумму $r_{i}$ быть верхней суммой всех сумм конечного числа из них.

Мера $\mu$ на $\Sigma$ является $\kappa$-добавка, если для любого $\lambda <\kappa$ и любое семейство непересекающихся множеств $X_{\alpha },\alpha <\lambda$ имеют место следующие:

$$\bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\in \Sigma$$

$$\mu \left(\bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\right)=\sum _{\alpha \in \lambda }\mu \left(X_{\alpha }\right).$$

Второе условие эквивалентно утверждению, что идеал нулевых множеств есть $\kappa$-полный.

Сигма-конечные меры

Основная статья: Сигма-конечная мера

Мерное пространство $(X,\Sigma ,\mu )$ называется конечным, если $\mu (X)$ является конечным действительным числом (а не $\infty$). Ненулевые конечные меры аналогичны вероятностным мерам в том смысле, что любая конечная мера $\mu$ пропорциональна вероятностной мере ${\frac {1}{\mu (X)}}\mu .$ Мера $\mu$ называется σ-конечным, если $X$ можно разложить в счетное объединение измеримых множеств конечной меры. Аналогично, говорят, что множество в пространстве с мерой имеет σ-конечную меру, если оно представляет собой счетное объединение множеств с конечной мерой.

Например, действительные числа со стандартной мерой Лебега σ-конечны, но не конечны. Рассмотрим замкнутые интервалы $[k,k+1]$ для всех целых чисел $k;$ Таких интервалов счетно много, каждый имеет меру 1, а их объединение есть вся вещественная прямая. В качестве альтернативы рассмотрим действительные числа со счетной мерой , которая присваивает каждому конечному набору действительных чисел количество точек в наборе. Это пространство с мерой не является σ-конечным, поскольку каждое множество с конечной мерой содержит только конечное число точек, и для покрытия всей вещественной прямой потребовалось бы несчетное количество таких множеств. Пространства с σ-конечной мерой обладают некоторыми очень удобными свойствами; В этом отношении σ-конечность можно сравнить со свойством Линделефа топологических пространств. Их также можно рассматривать как смутное обобщение идеи о том, что пространство с мерой может иметь «несчетную меру».

Строго локализуемые меры

Основная статья: Разложимая мера

Полуконечные меры

Позволять $X$ быть набором, пусть ${\cal {A}}$ быть сигма-алгеброй на $X,$ и пусть $\mu$ быть мерой ${\cal {A}}.$ Мы говорим $\mu$ является полуконечным , что означает, что для всех $A\in \mu ^{\text{pre}}\{+\infty \},$ ${\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})\neq \emptyset .$

Полуконечные меры обобщают сигма-конечные меры таким образом, что некоторые большие теоремы теории меры, справедливые для сигма-конечных, но не произвольных мер, могут быть с небольшими изменениями расширены и для полуконечных мер. (Задание: добавить примеры таких теорем; см. страницу обсуждения.)

Основные примеры

• Любая сигма-конечная мера полуконечная.
• Предполагать ${\cal {A}}={\cal {P}}(X),$ позволять $f:X\to [0,+\infty ],$ и предположим $\mu (A)=\sum _{a\in A}f(a)$ для всех $A\subseteq X.$
  • У нас есть это $\mu$ является сигма-конечным тогда и только тогда, когда $f(x)<+\infty$ для всех $x\in X$ и $f^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})$ является счетным. У нас есть это $\mu$ полуконечно тогда и только тогда, когда $f(x)<+\infty$ для всех $x\in X.$
  • принимая $f=X\times \{1\}$ выше (так что $\mu$ рассчитывает на меры ${\cal {P}}(X)$), мы видим, что считающая мера на ${\cal {P}}(X)$ является
    • сигма-конечно тогда и только тогда, когда $X$ является счетным; и
    • полуконечный (независимо от того, $X$ является счетным). (Таким образом, считая меру, на наборе мощности ${\cal {P}}(X)$ произвольного несчетного множества $X,$ дает пример полуконечной меры, которая не является сигма-конечной.)
• Позволять $d$ быть полной, разделимой метрикой на $X,$ позволять ${\cal {B}}$ — борелевская сигма-алгебра, индуцированная $d,$ и пусть $s\in \mathbb {R} _{>0}.$ Тогда мера Хаусдорфа ${\cal {H}}^{s}|{\cal {B}}$ является полуконечным.
• Позволять $d$ быть полной, разделимой метрикой на $X,$ позволять ${\cal {B}}$ — борелевская сигма-алгебра, индуцированная $d,$ и пусть $s\in \mathbb {R} _{>0}.$ Тогда мера упаковки ${\cal {H}}^{s}|{\cal {B}}$ является полуконечным.

Задействованный пример

Нулевая мера сигма-конечная и, следовательно, полуконечная. Кроме того, нулевая мера явно меньше или равна $\mu .$ Можно показать, что существует наибольшая мера, обладающая этими двумя свойствами:

Теорема (полуконечная часть) — По любой мере $\mu$ на ${\cal {A}},$ существует среди полуконечных мер на ${\cal {A}}$ которые меньше или равны $\mu ,$ элемент величайший ​ $\mu _{\text{sf}}.$

Мы говорим часть полуконечная $\mu$ иметь в виду полуконечную меру $\mu _{\text{sf}}$ определенные в приведенной выше теореме. Мы даем несколько хороших явных формул для полуконечной части, которые некоторые авторы могут принять за определение:

• $\mu _{\text{sf}}=(\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}.$
• $\mu _{\text{sf}}=(\sup\{\mu (A\cap B):B\in \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}\}.$
• $\mu _{\text{sf}}=\mu |_{\mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})}\cup \{A\in {\cal {A}}:\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\}=+\infty \}\times \{+\infty \}\cup \{A\in {\cal {A}}:\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\}<+\infty \}\times \{0\}.$

С $\mu _{\text{sf}}$ полуконечно, отсюда следует, что если $\mu =\mu _{\text{sf}}$ затем $\mu$ является полуконечным. Также очевидно, что если $\mu$ полуконечно, тогда $\mu =\mu _{\text{sf}}.$

Непримеры

Каждый $0-\infty$ мера, не являющаяся нулевой мерой, не является полуконечной. (Здесь мы говорим $0-\infty$ мера означает меру, диапазон которой лежит в $\{0,+\infty \}$: $(\forall A\in {\cal {A}})(\mu (A)\in \{0,+\infty \}).$) Ниже мы приведем примеры $0-\infty$ меры, которые не являются нулевыми мерами.

• Позволять $X$ быть непустым, пусть ${\cal {A}}$ быть $\sigma$-алгебра на $X,$ позволять $f:X\to \{0,+\infty \}$ не будет нулевой функцией, и пусть $\mu =(\sum _{x\in A}f(x))_{A\in {\cal {A}}}.$ Можно показать, что $\mu$ является мерой.
  • $\mu =\{(\emptyset ,0)\}\cup ({\cal {A}}\setminus \{\emptyset \})\times \{+\infty \}.$
    • $X=\{0\},$ ${\cal {A}}=\{\emptyset ,X\},$ $\mu =\{(\emptyset ,0),(X,+\infty )\}.$
• Позволять $X$ быть неисчислимым, пусть ${\cal {A}}$ быть $\sigma$-алгебра на $X,$ позволять ${\cal {C}}=\{A\in {\cal {A}}:A{\text{ is countable}}\}$ быть счетными элементами ${\cal {A}},$ и пусть $\mu ={\cal {C}}\times \{0\}\cup ({\cal {A}}\setminus {\cal {C}})\times \{+\infty \}.$ Можно показать, что $\mu$ является мерой.

Вовлеченный не-пример

Меры, которые не являются полуконечными, становятся очень дикими, если ограничиваться определенными множествами. Любая мера в некотором смысле полуконечная, если она $0-\infty$ часть (дикая часть) отбирается.

- А. Мукерджа и К. Потовен, Реальный и функциональный анализ, Часть A: Реальный анализ (1985)

Теорема (разложение Лютера) — По любой мере $\mu$ на ${\cal {A}},$ существует $0-\infty$ мера $\xi$ на ${\cal {A}}$ такой, что $\mu =\nu +\xi$ для некоторой полуконечной меры $\nu$ на ${\cal {A}}.$ Действительно, среди таких мер $\xi ,$ существует наименьшая мера $\mu _{0-\infty }.$ Кроме того, у нас есть $\mu =\mu _{\text{sf}}+\mu _{0-\infty }.$

Мы говорим $\mathbf {0-\infty }$ часть ​ $\mu$ иметь в виду меру $\mu _{0-\infty }$ определенные в приведенной выше теореме. Вот явная формула для $\mu _{0-\infty }$: $\mu _{0-\infty }=(\sup\{\mu (B)-\mu _{\text{sf}}(B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu _{\text{sf}}^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}.$

мер

• Позволять $\mathbb {F}$ быть $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C} ,$ и пусть $T:L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )\to \left(L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )\right)^{*}:g\mapsto T_{g}=\left(\int fgd\mu \right)_{f\in L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}.$ Затем $\mu$ полуконечно тогда и только тогда, когда $T$ является инъективным. (Этот результат важен для изучения дуального пространства $L^{1}=L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )$.)
• Позволять $\mathbb {F}$ быть $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C} ,$ и пусть ${\cal {T}}$ — топология сходимости по мере на $L_{\mathbb {F} }^{0}(\mu ).$ Затем $\mu$ полуконечно тогда и только тогда, когда ${\cal {T}}$ является Хаусдорф.
• (Джонсон) Пусть $X$ быть набором, пусть ${\cal {A}}$ быть сигма-алгеброй на $X,$ позволять $\mu$ быть мерой ${\cal {A}},$ позволять $Y$ быть набором, пусть ${\cal {B}}$ быть сигма-алгеброй на $Y,$ и пусть $\nu$ быть мерой ${\cal {B}}.$ Если $\mu ,\nu$ оба не являются $0-\infty$ измерить, то оба $\mu$ и $\nu$ полуконечны тогда и только тогда, когда $(\mu \times _{\text{cld}}\nu )$$(A\times B)=\mu (A)\nu (B)$ для всех $A\in {\cal {A}}$ и $B\in {\cal {B}}.$ (Здесь, $\mu \times _{\text{cld}}\nu$ — мера, определенная в теореме 39.1 в журнале Berberian '65. )

Локализуемые меры

Локализуемые меры являются частным случаем полуконечных мер и обобщением сигма-конечных мер.

Позволять $X$ быть набором, пусть ${\cal {A}}$ быть сигма-алгеброй на $X,$ и пусть $\mu$ быть мерой ${\cal {A}}.$

• Позволять $\mathbb {F}$ быть $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C} ,$ и пусть $T:L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )\to \left(L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )\right)^{*}:g\mapsto T_{g}=\left(\int fgd\mu \right)_{f\in L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}.$ Затем $\mu$ локализуемо тогда и только тогда, когда $T$ является биективным (тогда и только тогда, когда $L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )$ "является" $L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )^{*}$).

s-конечные меры

Основная статья: s-конечная мера

Мера называется s-конечной, если она представляет собой счетную сумму конечных мер. S-конечные меры являются более общими, чем сигма-конечные, и имеют приложения в теории случайных процессов .

Неизмеримые множества

Основная статья: Неизмеримое множество

Если предположить, что выбранная аксиома верна, можно доказать, что не все подмножества евклидова пространства измеримы по Лебегу ; примеры таких наборов включают набор Витали и неизмеримые наборы, постулируемые парадоксом Хаусдорфа и парадоксом Банаха-Тарского .

Обобщения

Для определенных целей полезно иметь «меру», значения которой не ограничиваются неотрицательными действительными числами или бесконечностью. Например, счетно-аддитивная функция множества со значениями в (знаковых) действительных числах называется знаковой мерой , а такая функция со значениями в комплексных числах называется комплексной мерой . Заметим, однако, что комплексная мера обязательно имеет конечную вариацию, следовательно, комплексные меры включают в себя конечные меры со знаком , но не, например, меру Лебега .

Меры, принимающие значения в банаховом пространстве, широко изучались. Мера, принимающая значения из множества самосопряженных проекций в гильбертовом пространстве, называется проекционнозначной мерой ; они используются в функциональном анализе спектральной теоремы . Когда необходимо отличить обычные меры, принимающие неотрицательные значения, от обобщений, термин «положительная мера» используют . Положительные меры замыкаются при конической комбинации , но не при общей линейной комбинации , а знаковые меры представляют собой линейное замыкание положительных мер.

Другим обобщением является конечно-аддитивная мера , также известная как содержание . Это то же самое, что и мера, за исключением того, что вместо требования счетной аддитивности нам требуется только конечная аддитивность. Исторически это определение было использовано первым. Оказывается, вообще говоря, конечно-аддитивные меры связаны с такими понятиями, как банаховы пределы , двойственные к $L^{\infty }$ и компактификация Стоуна-Чеха . Все это так или иначе связано с аксиомой выбора . Содержание остается полезным в некоторых технических проблемах геометрической теории меры ; это теория банаховых мер .

Заряд — это обобщение в обе стороны: это конечно-аддитивная знаковая мера. ( зарядах см. в пространстве ba Информацию об ограниченных , где мы говорим, что заряд ограничен , что означает, что его диапазон является ограниченным подмножеством R .)

См. также

• Абелева алгебра фон Неймана
• Почти везде
• Теорема Каратеодори о продолжении
• Содержание (теория меры)
• Теория Фубини
• Лемма Фату
• Теория нечеткой меры
• Геометрическая теория меры
• мера Хаусдорфа
• Внутренняя мера
• Интеграция Лебега
• Мера Лебега
• Лоренцево пространство
• Теория подъема
• Измеримый кардинал
• Измеримая функция
• Содержание Минковского
• Внешняя мера
• Мера продукта
• Прогрессивная мера
• Регулярная мера
• Векторная мера
• Оценка (теория меры)
• Форма объёма

Библиография

• Роберт Г. Бартл (1995) Элементы интеграции и мера Лебега , Wiley Interscience.
• Бауэр, Хайнц (2001), Теория меры и интеграции , Берлин: де Грюйтер, ISBN  978-3110167191
• Медведь, HS (2001), Учебник по интеграции Лебега , Сан-Диего: Academic Press, ISBN  978-0120839711
• Бербериан, Стерлинг К. (1965). Измерение и интегрирование . Макмиллан.
• Bogachev, Vladimir I. (2006), Measure theory , Berlin: Springer, ISBN  978-3540345138
• Бурбаки, Николя (2004), Интеграция I , Springer Verlag , ISBN  3-540-41129-1 Глава III.
• Дадли, Ричард М. (2002). Реальный анализ и вероятность . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521007542 .
• Эдгар, Джеральд А. (1998). Интегральные, вероятностные и фрактальные меры . Спрингер. ISBN  978-1-4419-3112-2 .
• Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ: современные методы и их применение (второе изд.). Уайли. ISBN  0-471-31716-0 .
• Федерер, Герберт. Геометрическая теория измерений. Основные принципы математических наук, том 153 Springer-Verlag New York Inc., Нью-Йорк, 1969 xiv+676 стр.
• Фремлин, Д.Х. (2016). Теория меры, Том 2: Широкие основы (изд. В твердом переплете). Торрес Фремлин. Вторая печать.
• Хьюитт, Эдвард; Стромберг, Карл (1965). Реальный и абстрактный анализ: современная трактовка теории функций действительной переменной . Спрингер. ISBN  0-387-90138-8 .
• Джех, Томас (2003), Теория множеств: издание третьего тысячелетия, исправленное и расширенное , Springer Verlag , ISBN  3-540-44085-2
• Р. Дункан Люс и Луи Наренс (1987). «измерение, теория», The New Palgrave: A Dictionary of Economics , т. 3, стр. 428–32.
• Лютер, Норман Ю. (1967). «Декомпозиция мер» . Канадский математический журнал . 20 : 953–959. дои : 10.4153/CJM-1968-092-0 . S2CID   124262782 .
• Мухерджа, А; Потховен, К. (1985). Реальный и функциональный анализ, Часть А: Реальный анализ (второе изд.). Пленум Пресс.
  • Первое издание было опубликовано вместе с Частью B: Функциональный анализ в виде одного тома: Мухерджа, А; Потховен, К. (1978). Реальный и функциональный анализ (Первое изд.). Пленум Пресс. дои : 10.1007/978-1-4684-2331-0 . ISBN  978-1-4684-2333-4 .
• М. Е. Манро, 1953. Введение в измерение и интегрирование . Эддисон Уэсли.
• Нильсен, Оле А (1997). Введение в интегрирование и теорию меры . Уайли. ISBN  0-471-59518-7 .
• КПС Бхаскара Рао и М. Бхаскара Рао (1983), Теория зарядов: исследование конечно-аддитивных мер , Лондон: Academic Press, стр. x + 315, ISBN  0-12-095780-9
• Ройден, ХЛ ; Фицпатрик, премьер-министр (2010). Реальный анализ (Четвертое изд.). Прентис Холл. п. 342, Упражнение 17.8. Первая печать. Имеется более позднее (2017 г.) второе издание. Хотя обычно разница между первым и последующими изданиями незначительна, в этом случае второе издание не только удаляет со страницы 53 упражнения 36, 40, 41 и 42 главы 2, но также предлагает (немного, но все же существенно) другое издание. презентация части (ii) упражнения 17.8. (Изложение части (ii) упражнения 17.8 (о Лютере) во втором издании разложение) согласуется с обычными представлениями, тогда как презентация первого издания дает свежий взгляд.)
• Шилов Г.Е. и Гуревич Б.Л., 1978. Интеграл, мера и производная: единый подход , Ричард А. Сильверман, пер. Дуврские публикации. ISBN   0-486-63519-8 . Подчеркивает интеграл Даниэля .
• Тешль, Джеральд , Темы реального и функционального анализа , (конспекты лекций)
• Тао, Теренс (2011). Введение в теорию меры . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  9780821869192 .
• Уивер, Ник (2013). Теория меры и функциональный анализ . Всемирная научная . ISBN  9789814508568 .

Внешние ссылки

• «Мера» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Учебное пособие: Теория меры для чайников