Теорема Брунна–Минковского

В математике теорема Брунна -Минковского (или неравенство Брунна-Минковского ) — это неравенство, связывающее объёмы (или, в более общем смысле, меры Лебега ) компактных подмножеств евклидова пространства . Первоначальная версия теоремы Брунна-Минковского ( Герман Брунн , 1887; Герман Минковский, 1896) применялась к выпуклым множествам; сформулированное здесь обобщение на компактные невыпуклые множества принадлежит Лазарю Люстернику (1935).

Заявление

Пусть n ≥ 1 и µ обозначает меру Лебега на R ^н . Пусть A и B — два непустых компактных подмножества в R ^н . Тогда имеет место следующее неравенство :

$[\mu (A+B)]^{1/n}\geq [\mu (A)]^{1/n}+[\mu (B)]^{1/n},$

где A + B обозначает сумму Минковского :

$A+B:=\{\,a+b\in \mathbb {R} ^{n}\mid a\in A,\ b\in B\,\}.$

Теорема справедлива и в случае, когда ${\textstyle A,B,A+B}$ только предполагаются измеримыми и непустыми.

Мультипликативная версия

Мультипликативная форма неравенства Брунна – Минковского утверждает, что ${\textstyle \mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq \mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda }}$ для всех ${\textstyle \lambda \in [0,1]}$.

Неравенство Брунна–Минковского эквивалентно мультипликативной версии.

В одну сторону воспользуемся неравенством ${\textstyle \lambda x+(1-\lambda )y\geq x^{\lambda }y^{1-\lambda }}$ (экспонента выпуклая), что справедливо для ${\textstyle x,y\geq 0,\lambda \in [0,1]}$. В частности, ${\textstyle \mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq (\lambda \mu (A)^{1/n}+(1-\lambda )\mu (B)^{1/n})^{n}\geq \mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda }}$.

Обратно, используя мультипликативную форму, находим

${\textstyle \mu (A+B)=\mu (\lambda {\frac {A}{\lambda }}+(1-\lambda ){\frac {B}{1-\lambda }})\geq {\frac {\mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda }}{\lambda ^{n\lambda }(1-\lambda )^{n(1-\lambda )}}}}$

Правая сторона максимально развернута. $\lambda ={\frac {1}{1+e^{C}}},C={\frac {1}{n}}\ln {\frac {\mu (A)}{\mu (B)}}$, что дает

${\textstyle \mu (A+B)\geq (\mu (A)^{1/n}+\mu (B)^{1/n})^{n}}$.

Неравенство Прекопы –Лейндлера является функциональным обобщением этой версии Брунна–Минковского.

О гипотезе

Измеримость

Это возможно для ${\textstyle A,B}$ быть измеримым по Лебегу и ${\textstyle A+B}$ не быть; встречный пример можно найти в разделе «Измерение наборов нулей с неизмеримой суммой». С другой стороны, если ${\textstyle A,B}$ измеримы по Борелю, то ${\textstyle A+B}$ — непрерывный образ борелевского множества ${\textstyle A\times B}$, столь аналитический и, следовательно, измеримый. Дополнительную информацию об этом, а также о том, как избежать гипотезы измеримости, см. в обсуждении в обзоре Гарднера.

В случае, когда A и B компактны, компактно и A + B , являющееся образом компактного множества. ${\textstyle A\times B}$ под картой непрерывного сложения: ${\textstyle +:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$, поэтому условия измеримости легко проверяются.

Непустота

Условие, которое ${\textstyle A,B}$ оба непусты, очевидно, необходимо. Это условие не является частью мультипликативных версий BM, изложенных ниже.

Доказательства

Приведем два хорошо известных доказательства Брунна–Минковского.

показывать Геометрическое доказательство с помощью кубоидов и теории меры

We give a well-known argument that follows a general recipe of arguments in measure theory; namely, it establishes a simple case by direct analysis, uses induction to establish a finitary extension of that special case, and then uses general machinery to obtain the general case as a limit. A discussion of this history of this proof can be found in Theorem 4.1 in Gardner's survey on Brunn–Minkowski. We prove the version of the Brunn–Minkowski theorem that only requires ${\textstyle A,B,A+B}$ to be measurable and non-empty. The case that A and B are axis aligned boxes: By translation invariance of volumes, it suffices to take ${\textstyle A=\prod _{i=1}^{n}[0,a_{i}],B=\prod _{i=1}^{n}[0,b_{i}]}$. Then ${\textstyle A+B=\prod _{i=1}^{n}[0,a_{i}+b_{i}]}$. In this special case, the Brunn–Minkowski inequality asserts that ${\textstyle \prod (a_{i}+b_{i})^{1/n}\geq \prod a_{i}^{1/n}+\prod b_{i}^{1/n}}$. After dividing both sides by ${\textstyle \prod (a_{i}+b_{i})^{1/n}}$ , this follows from the AM–GM inequality: ${\textstyle (\prod {\frac {a_{i}}{a_{i}+b_{i}}})^{1/n}+(\prod {\frac {b_{i}}{a_{i}+b_{i}}})^{1/n}\leq \sum {\frac {1}{n}}{\frac {a_{i}+b_{i}}{a_{i}+b_{i}}}=1}$. The case where A and B are both disjoint unions of finitely many such boxes: We will use induction on the total number of boxes, where the previous calculation establishes the base case of two boxes. First, we observe that there is an axis aligned hyperplane H that such that each side of H contains an entire box of A. To see this, it suffices to reduce to the case where A consists of two boxes, and then calculate that the negation of this statement implies that the two boxes have a point in common. For a body X, we let ${\textstyle X^{-},X^{+}}$ denote the intersections of X with the "right" and "left" halfspaces defined by H. Noting again that the statement of Brunn–Minkowski is translation invariant, we then translate B so that ${\textstyle {\frac {\mu (A^{+})}{\mu (B^{+})}}={\frac {\mu (A^{-})}{\mu (B^{-})}}}$; such a translation exists by the intermediate value theorem because ${\textstyle t\to \mu ((B+tv)^{+})}$ is a continuous function, if v is perpendicular to H ${\textstyle {\frac {\mu ((B+tv)^{+})}{\mu ((B+tv)^{-})}}}$ has limiting values 0 and ${\textstyle \infty }$ as $t\to -\infty ,t\to \infty$, so takes on ${\textstyle {\frac {\mu (A^{+})}{\mu (A^{-})}}}$ at some point. We now have the pieces in place to complete the induction step. First, observe that ${\textstyle A^{+}+B^{+}}$ and $A^{-}+B^{-}$ are disjoint subsets of ${\textstyle A+B}$, and so ${\textstyle \mu (A+B)\geq \mu (A^{+}+B^{+})+\mu (A^{-}+B^{-}).}$ Now, ${\textstyle A^{+},A^{-}}$ both have one fewer box than A, while ${\textstyle B^{+},B^{-}}$ each have at most as many boxes as B. Thus, we can apply the induction hypothesis: ${\textstyle \mu (A^{+}+B^{+})\geq (\mu (A^{+})^{1/n}+\mu (B^{+})^{1/n})^{n}}$ and ${\textstyle \mu (A^{-}+B^{-})\geq (\mu (A^{-})^{1/n}+\mu (B^{-})^{1/n})^{n}}$. Elementary algebra shows that if ${\textstyle {\frac {\mu (A^{+})}{\mu (B^{+})}}={\frac {\mu (A^{-})}{\mu (B^{-})}}}$, then also ${\textstyle {\frac {\mu (A^{+})}{\mu (B^{+})}}={\frac {\mu (A^{-})}{\mu (B^{-})}}={\frac {\mu (A)}{\mu (B)}}}$, so we can calculate: ${\begin{aligned}\mu (A+B)\geq \mu (A^{+}+B^{+})+\mu (A^{-}+B^{-})\geq (\mu (A^{+})^{1/n}+\mu (B^{+})^{1/n})^{n}+(\mu (A^{-})^{1/n}+\mu (B^{-})^{1/n})^{n}\\=\mu (B^{+})(1+{\frac {\mu (A^{+})^{1/n}}{\mu (B^{+})^{1/n}}})^{n}+\mu (B^{-})(1+{\frac {\mu (A^{-})^{1/n}}{\mu (B^{-})^{1/n}}})^{n}=(1+{\frac {\mu (A)^{1/n}}{\mu (B)^{1/n}}})^{n}(\mu (B^{+})+\mu (B^{-}))=(\mu (B)^{1/n}+\mu (A)^{1/n})^{n}\end{aligned}}$ The case that A and B are bounded open sets: In this setting, both bodies can be approximated arbitrarily well by unions of disjoint axis aligned rectangles contained in their interior; this follows from general facts about the Lebesgue measure of open sets. That is, we have a sequence of bodies ${\textstyle A_{k}\subseteq A}$, which are disjoint unions of finitely many axis aligned rectangles, where ${\textstyle \mu (A\setminus A_{k})\leq 1/k}$, and likewise ${\textstyle B_{k}\subseteq B}$. Then we have that ${\textstyle A+B\supseteq A_{k}+B_{k}}$, so ${\textstyle \mu (A+B)^{1/n}\geq \mu (A_{k}+B_{k})^{1/n}\geq \mu (A_{k})^{1/n}+\mu (B_{k})^{1/n}}$. The right hand side converges to ${\textstyle \mu (A)^{1/n}+\mu (B)^{1/n}}$ as ${\textstyle k\to \infty }$, establishing this special case. The case that A and B are compact sets: For a compact body X, define ${\textstyle X_{\epsilon }=X+B(0,\epsilon )}$ to be the ${\textstyle \epsilon }$-thickening of X. Here each ${\textstyle B(0,\epsilon )}$ is the open ball of radius ${\textstyle \epsilon }$, so that ${\textstyle X_{\epsilon }}$ is a bounded, open set. ${\textstyle \bigcap _{\epsilon >0}X_{\epsilon }={\text{cl}}(X)}$, so that if X is compact, then ${\textstyle \lim _{\epsilon \to 0}\mu (X_{\epsilon })=\mu (X)}$. By using associativity and commutativity of Minkowski sum, along with the previous case, we can calculate that ${\textstyle \mu ((A+B)_{2\epsilon })^{1/n}=\mu (A_{\epsilon }+B_{\epsilon })^{1/n}\geq \mu (A_{\epsilon })^{1/n}+\mu (B_{\epsilon })^{1/n}}$. Sending ${\textstyle \epsilon }$ to 0 establishes the result. The case of bounded measurable sets: Recall that by the regularity theorem for Lebesgue measure for any bounded measurable set X, and for any ${\textstyle k>\geq }$, there is a compact set ${\textstyle X_{k}\subseteq X}$ with ${\textstyle \mu (X\setminus X_{k})<1/k}$. Thus, ${\textstyle \mu (A+B)\geq \mu (A_{k}+B_{k})\geq (\mu (A_{k})^{1/n}+\mu (B_{k})^{1/n})^{n}}$ for all k, using the case of Brunn–Minkowski shown for compact sets. Sending ${\textstyle k\to \infty }$ establishes the result. The case of measurable sets: We let ${\textstyle A_{k}=[-k,k]^{n}\cap A,B_{k}=[-k,k]^{n}\cap B}$, and again argue using the previous case that ${\textstyle \mu (A+B)\geq \mu (A_{k}+B_{k})\geq (\mu (A_{k})^{1/n}+\mu (B_{k})^{1/n})^{n}}$, hence the result follows by sending k to infinity.

показывать Доказательство как следствие неравенства Прекопы – Лейндлера.

We give a proof of the Brunn–Minkowski inequality as a corollary to the Prékopa–Leindler inequality, a functional version of the BM inequality. We will first prove PL, and then show that PL implies a multiplicative version of BM, then show that multiplicative BM implies additive BM. The argument here is simpler than the proof via cuboids, in particular, we only need to prove the BM inequality in one dimensions. This happens because the more general statement of the PL-inequality than the BM-inequality allows for an induction argument. The multiplicative form of the BM inequality First, the Brunn–Minkowski inequality implies a multiplicative version, using the inequality ${\textstyle \lambda x+(1-\lambda )y\geq x^{\lambda }y^{\lambda }}$, which holds for ${\textstyle x,y\geq 0,\lambda \in [0,1]}$. In particular, ${\textstyle \mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq (\lambda \mu (A)^{1/n}+(1-\lambda )\mu (B)^{1/n})^{n}\geq \mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda }}$. The Prékopa–Leindler inequality is a functional generalization of this version of Brunn–Minkowski. Prékopa–Leindler inequality Theorem (Prékopa–Leindler inequality): Fix ${\textstyle \lambda \in (0,1)}$. Let ${\textstyle f,g,h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}}$ be non-negative, measurable functions satisfying ${\textstyle h(\lambda x+(1-\lambda )y)\geq f(x)^{\lambda }g(y)^{1-\lambda }}$ for all ${\textstyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}$. Then ${\textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}h(x)dx\geq (\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)dx)^{\lambda }(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)dx)^{1-\lambda }}$. Proof (Mostly following this lecture): We will need the one dimensional version of BM, namely that if ${\textstyle A,B,A+B\subseteq \mathbb {R} }$ are measurable, then ${\textstyle \mu (A+B)\geq \mu (A)+\mu (B)}$. First, assuming that ${\textstyle A,B}$ are bounded, we shift ${\textstyle A,B}$ so that ${\textstyle A\cap B=\{0\}}$. Thus, ${\textstyle A+B\supset A\cup B}$, whence by almost disjointedness we have that ${\textstyle \mu (A+B)\geq \mu (A)+\mu (B)}$. We then pass to the unbounded case by filtering with the intervals ${\textstyle [-k,k].}$ We first show the ${\textstyle n=1}$ case of the PL inequality. Let ${\textstyle L_{h}(t)=\{x:h(x)\geq t\}}$. ${\textstyle L_{h}(t)\supseteq \lambda L_{f}(t)+(1-\lambda )L_{g}(t)}$. Thus, by the one-dimensional version of Brunn–Minkowski, we have that ${\textstyle \mu (L_{h}(t))\geq \mu (\lambda L_{f}(t)+(1-\lambda )L_{g}(t))\geq \lambda \mu (L_{f}(t))+(1-\lambda )\mu (L_{g}(t))}$. We recall that if ${\textstyle f(x)}$ is non-negative, then Fubini's theorem implies ${\textstyle \int _{\mathbb {R} }h(x)dx=\int _{t\geq 0}\mu (L_{h}(t))dt}$. Then, we have that ${\textstyle \int _{\mathbb {R} }h(x)dx=\int _{t\geq 0}\mu (L_{h}(t))dt\geq \lambda \int _{t\geq 0}\mu (L_{f}(t))+(1-\lambda )\int _{t\geq 0}\mu (L_{g}(t))=\lambda \int _{\mathbb {R} }f(x)dx+(1-\lambda )\int _{\mathbb {R} }g(x)dx\geq (\int _{\mathbb {R} }f(x)dx)^{\lambda }(\int _{\mathbb {R} }g(x)dx)^{1-\lambda }}$, where in the last step we use the weighted AM–GM inequality, which asserts that ${\textstyle \lambda x+(1-\lambda )y\geq x^{\lambda }y^{1-\lambda }}$ for ${\textstyle \lambda \in (0,1),x,y\geq 0}$. Now we prove the ${\textstyle n>1}$ case. For ${\textstyle x,y\in \mathbb {R} ^{n-1},\alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$, we pick ${\textstyle \lambda \in [0,1]}$ and set ${\textstyle \gamma =\lambda \alpha +(1-\lambda )\beta }$. For any c, we define ${\textstyle h_{c}(x)=h(x,c)}$, that is, defining a new function on n-1 variables by setting the last variable to be ${\textstyle c}$. Applying the hypothesis and doing nothing but formal manipulation of the definitions, we have that ${\textstyle h_{\gamma }(\lambda x+(1-\lambda )y)=h(\lambda x+(1-\lambda )y,\lambda \alpha +(1-\lambda )\beta ))=h(\lambda (x,\alpha )+(1-\lambda )(y,\beta ))\geq f(x,\alpha )^{\lambda }g(y,\beta )^{1-\lambda }=f_{\alpha }(x)^{\lambda }g_{\beta }(y)^{1-\lambda }}$. Thus, by the inductive case applied to the functions ${\textstyle h_{\gamma },f_{\alpha },g_{\beta }}$, we obtain ${\textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n-1}}h_{\gamma }(z)dz\geq (\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}f_{\alpha }(z)dz)^{\lambda }(\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}g_{\beta }(z)dz)^{1-\lambda }}$. We define ${\textstyle H(\gamma ):=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}h_{\gamma }(z)dz}$ and ${\textstyle F(\alpha ),G(\beta )}$ similarly. In this notation, the previous calculation can be rewritten as: ${\textstyle H(\lambda \alpha +(1-\lambda )\beta )\geq F(\alpha )^{\lambda }G(\beta )^{1-\lambda }}$. Since we have proven this for any fixed ${\textstyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$, this means that the function ${\textstyle H,F,G}$ satisfy the hypothesis for the one dimensional version of the PL theorem. Thus, we have that ${\textstyle \int _{\mathbb {R} }H(\gamma )d\gamma \geq (\int _{\mathbb {R} }F(\alpha )d\alpha )^{\lambda }(\int _{\mathbb {R} }F(\beta )d\beta )^{1-\lambda }}$, implying the claim by Fubini's theorem. QED PL implies multiplicative BM The multiplicative version of Brunn–Minkowski follows from the PL inequality, by taking ${\textstyle h=1_{\lambda A+(1-\lambda )B},f=1_{A},g=1_{B}}$. Multiplicative BM implies Additive BM We now explain how to derive the BM-inequality from the PL-inequality. First, by using the indicator functions for ${\textstyle A,B,\lambda A+(1-\lambda )B}$ Prékopa–Leindler inequality quickly gives the multiplicative version of Brunn–Minkowski: ${\textstyle \mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq \mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda }}$. We now show how the multiplicative BM-inequality implies the usual, additive version. We assume that both A,B have positive volume, as otherwise the inequality is trivial, and normalize them to have volume 1 by setting ${\textstyle A'={\frac {A}{\mu (A)^{1/n}}},B'={\frac {B}{\mu (B)^{1/n}}}}$. We define ${\textstyle \lambda '={\frac {\lambda \mu (B)^{1/n}}{(1-\lambda )\mu (A)^{1/n}+\lambda \mu (B)^{1/n}}}}$; ${\textstyle 1-\lambda '={\frac {(1-\lambda )\mu (A)^{1/n}}{(1-\lambda )\mu (A)^{1/n}+\lambda \mu (B)^{1/n}}}}$. With these definitions, and using that ${\textstyle \mu (A')=\mu (B')=1}$, we calculate using the multiplicative Brunn–Minkowski inequality that: $\mu ({\frac {(1-\lambda )A+\lambda B}{(1-\lambda )\mu (A)^{1/n}+\lambda \mu (B)^{1/n}}})=\mu ((1-\lambda ')A'+\lambda 'B)\geq \mu (A')^{1-\lambda '}\mu (B')^{\lambda '}=1.$ The additive form of Brunn–Minkowski now follows by pulling the scaling out of the leftmost volume calculation and rearranging.

Важные следствия

Неравенство Брунна – Минковского дает большое представление о геометрии выпуклых тел больших размерностей. В этом разделе мы кратко изложим некоторые из этих идей.

Вогнутость функции радиуса (теорема Брунна)

Рассмотрим выпуклое тело ${\textstyle K\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$. Позволять ${\textstyle K(x)=K\cap \{x_{1}=x\}}$ быть вертикальными срезами K. Определить ${\textstyle r(x)=\mu (K(x))^{\frac {1}{n-1}}}$ быть функцией радиуса; если срезы K представляют собой диски, то r(x) дает радиус диска K(x) с точностью до константы. Для более общих тел эта функция радиуса , по-видимому, не имеет полностью четкой геометрической интерпретации, кроме радиуса диска, полученного путем упаковки объема среза как можно ближе к началу координат; в случае, когда K(x) не является диском, пример гиперкуба показывает, что среднее расстояние до центра масс может быть много больше, чем r(x). Иногда в контексте выпуклой геометрии функция радиуса имеет другое значение, здесь мы следуем терминологии этой лекции .

Ввиду выпуклости K имеем, что ${\textstyle K(\lambda x+(1-\lambda )y)\supseteq \lambda K(x)+(1-\lambda )K(y)}$. Применение неравенства Брунна – Минковского дает ${\textstyle r(K(\lambda x+(1-\lambda )y))\geq \lambda r(K(x))+(1-\lambda )r(K(y))}$, предоставил ${\textstyle K(x)\not =\emptyset ,K(y)\not =\emptyset }$. Это показывает, что функция радиуса вогнута на своей опоре, что соответствует интуитивному предположению, что выпуклое тело не погружается в себя ни в каком направлении. Этот результат иногда называют теоремой Брунна.

Симметризация Брунна–Минковского выпуклого тела.

Снова рассмотрим выпуклое тело ${\textstyle K}$. Исправьте какую-нибудь строку ${\textstyle l}$ и для каждого ${\textstyle t\in l}$ позволять ${\textstyle H_{t}}$ обозначим аффинную гиперплоскость, ортогональную ${\textstyle l}$ который проходит через ${\textstyle t}$. Определять, ${\textstyle r(t)=Vol(K\cap H_{t})}$; как обсуждалось в предыдущем разделе, эта функция вогнутая. Теперь позвольте ${\textstyle K'=\bigcup _{t\in l,K\cap H_{t}\not =\emptyset }B(t,r(t))\cap H_{t}}$. То есть, ${\textstyle K'}$ получается из ${\textstyle K}$ путем замены каждого кусочка ${\textstyle H_{t}\cap K}$ с таким же диском ${\textstyle (n-1)}$-мерный объем с центром ${\textstyle l}$ внутри ${\textstyle H_{t}}$. Вогнутость функции радиуса, определенная в предыдущем разделе, означает, что ${\textstyle K'}$ является выпуклым. Эта конструкция называется симметризацией Брунна–Минковского.

Теорема Грюнбаума

Теорема (теорема Грюнбаума): Рассмотрим выпуклое тело ${\textstyle K\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$. Позволять ${\textstyle H}$ любое полупространство, содержащее центр масс ${\textstyle K}$; то есть ожидаемое местоположение однородной точки, выбранной из ${\textstyle K.}$ Затем ${\textstyle \mu (H\cap K)\geq ({\frac {n}{n+1}})^{n}\mu (K)\geq {\frac {1}{e}}\mu (K)}$.

Теорему Грюнбаума можно доказать, используя неравенство Брунна–Минковского, в частности, выпуклость симметризации Брунна–Минковского.

Неравенство Грюнбаума имеет следующую интерпретацию . Предположим, два игрока играют в игру «Разрезание ${\textstyle n}$ объемный, выпуклый торт. Игрок 1 выбирает точку на торте, а второй игрок выбирает гиперплоскость, по которой разрезает торт. Затем игрок 1 получает кусок торта, содержащий его очко. Из теоремы Грюнбаума следует, что если игрок 1 выбирает центр масс, то худшее, что может сделать противник-игрок 2, — это дать ему кусок пирога объемом не менее ${\textstyle 1/e}$ доля от общего количества. Для размеров 2 и 3, наиболее распространенных размеров тортов, границы, данные теоремой, приблизительно равны ${\textstyle .444,.42}$ соответственно. Однако обратите внимание, что в ${\textstyle n}$ размеры, расчет центроида ${\textstyle \#P}$ жесткий, ограничивая полезность этой стратегии разрезания торта для существ более высоких измерений, но с ограниченными вычислительными возможностями.

Приложения теоремы Грюнбаума также появляются в выпуклой оптимизации, в частности, при анализе сходимости метода центра тяжести.

Изопериметрическое неравенство

Позволять ${\textstyle B=B(0,1)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:||x||_{2}\leq 1\}}$ обозначим единичный шар. Для выпуклого тела K пусть ${\textstyle S(K)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\mu (K+\epsilon B)-\mu (K)}{\epsilon }}}$ определить площадь его поверхности. Это согласуется с обычным значением площади поверхности по формуле Минковского-Штайнера . Рассмотрим функцию ${\textstyle c(X)={\frac {\mu (K)^{1/n}}{S(K)^{1/(n-1)}}}}$. Изопериметрическое неравенство утверждает, что оно максимизируется на евклидовых шарах.

показывать Доказательство изопериметрического неравенства с помощью Брунна–Минковского.

First, observe that Brunn–Minkowski implies ${\textstyle \mu (K+\epsilon B)\geq (\mu (K)^{1/n}+\epsilon V(B)^{1/n})^{n}=\mu (K)(1+\epsilon ({\frac {\mu (B)}{\mu (K)}})^{1/n})^{n}\geq \mu (K)(1+n\epsilon ({\frac {\mu (B)}{\mu (K)}})^{1/n}),}$ where in the last inequality we used that ${\textstyle (1+x)^{n}\geq 1+nx}$ for ${\textstyle x\geq 0}$. We use this calculation to lower bound the surface area of ${\textstyle K}$ via ${\textstyle S(K)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\mu (K+\epsilon B)-\mu (K)}{\epsilon }}\geq n\mu (K)({\frac {\mu (B)}{\mu (K)}})^{1/n}.}$ Next, we use the fact that ${\textstyle S(B)=n\mu (B)}$, which follows from the Minkowski-Steiner formula, to calculate ${\textstyle {\frac {S(K)}{S(B)}}={\frac {S(K)}{n\mu (B)}}\geq {\frac {\mu (K)({\frac {\mu (B)}{\mu (K)}})^{1/n}}{\mu (B)}}=\mu (K)^{\frac {n-1}{n}}\mu (B)^{\frac {1-n}{n}}.}$ Rearranging this yields the isoperimetric inequality: ${\textstyle {\frac {\mu (B)^{1/n}}{S(B)^{1/(n-1)}}}\geq {\frac {\mu (K)^{1/n}}{S(K)^{1/(n-1)}}}.}$

Приложения к неравенствам между смешанными объемами

Неравенство Брунна – Минковского можно использовать для вывода следующего неравенства ${\textstyle V(K,\ldots ,K,L)^{n}\geq V(K)^{n-1}V(L)}$, где ${\textstyle V(K,\ldots ,K,L)}$ термин смешанного объема . Равенство имеет место тогда и только тогда, когда K,L гомотетичны. (См. теорему 3.4.3 в курсе Хуга и Вейля по выпуклой геометрии.)

показывать Доказательство

We recall the following facts about mixed volumes : ${\textstyle \mu (\lambda _{1}K_{1}+\lambda _{2}K_{2})=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}=1}^{r}V(K_{j_{1}},\ldots ,V(K_{j_{n}})\lambda _{j_{1}}\ldots \lambda _{j_{n}}}$, so that in particular if ${\textstyle g(t)=\mu (K+tL)=\mu (V)+nV(K,\ldots ,K,L)t+\ldots }$, then ${\textstyle g'(0)=nV(K,\ldots ,K,L)}$. Let ${\textstyle f(t):=\mu (K+tL)^{1/n}}$. Brunn's theorem implies that this is concave for ${\textstyle t\in [0,1]}$. Thus, ${\textstyle f^{+}(0)\geq f(1)-f(0)=\mu (K+L)^{1/n}-V(K)^{1/n}}$, where ${\textstyle f^{+}(0)}$ denotes the right derivative. We also have that ${\textstyle f^{+}(0)={\frac {1}{n}}\mu (K)^{\frac {n-1}{n}}nV(K,\ldots ,K,L)}$. From this we get ${\textstyle \mu (K)^{\frac {n-1}{n}}V(K,\ldots ,K,L)\geq \mu (K+L)^{1/n}-V(K)^{1/n}\geq V(L)^{1/n}}$, where we applied BM in the last inequality.

Концентрация меры на сфере и других строго выпуклых поверхностях.

Мы докажем следующую теорему о концентрации меры, следуя заметкам Барвинока и Лап Чи Лау . См. также Концентрация меры#Концентрация на сфере .

Теорема : Пусть ${\textstyle S}$ быть единичной сферой в ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$. Позволять ${\textstyle X\subseteq S}$. Определять ${\textstyle X_{\epsilon }=\{z\in S:d(z,X)\leq \epsilon \}}$, где d относится к евклидову расстоянию в ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$. Позволять ${\textstyle \nu }$ обозначают площадь поверхности сферы. Тогда для любого ${\textstyle \epsilon \in (0,1]}$ у нас есть это ${\textstyle {\frac {\nu (X_{\epsilon })}{\nu (S)}}\geq 1-{\frac {\nu (S)}{\nu (X)}}e^{-{\frac {n\epsilon ^{2}}{4}}}}$.

показывать Доказательство

Proof: Let ${\textstyle \delta =\epsilon ^{2}/8}$, and let ${\textstyle Y=S\setminus X_{\epsilon }}$. Then, for ${\textstyle x\in X,y\in Y}$ one can show, using ${\textstyle {\frac {1}{2}}||x+y||^{2}=||x||^{2}+||y||^{2}-{\frac {1}{2}}||x-y||^{2}}$ and ${\textstyle {\sqrt {1-x}}\leq 1-x/2}$ for ${\textstyle x\leq 1}$, that ${\textstyle ||{\frac {x+y}{2}}||\leq 1-\delta }$. In particular, ${\textstyle {\frac {x+y}{2}}\in (1-\delta )B(0,1)}$. We let ${\textstyle {\overline {X}}={\text{Conv}}(X,\{0\}),{\overline {Y}}={\text{Conv}}(Y,\{0\})}$, and aim to show that ${\textstyle {\frac {{\overline {X}}+{\overline {Y}}}{2}}\subseteq (1-\delta )B(0,1)}$. Let ${\textstyle x\in X,y\in Y,\alpha ,\beta \in [0,1],{\bar {x}}=\alpha x,{\bar {y}}=\alpha y}$. The argument below will be symmetric in ${\textstyle {\bar {x}},{\bar {y}}}$, so we assume without loss of generality that ${\textstyle \alpha \geq \beta }$ and set ${\textstyle \gamma =\beta /\alpha \leq 1}$. Then, ${\frac {{\bar {x}}+{\bar {y}}}{2}}={\frac {\alpha x+\beta y}{2}}=\alpha {\frac {x+\gamma y}{2}}=\alpha (\gamma {\frac {x+y}{2}}+(1-\gamma ){\frac {x}{2}})=\alpha \gamma {\frac {x+y}{2}}+\alpha (1-\gamma ){\frac {x}{2}}$. This implies that ${\textstyle {\frac {{\bar {x}}+{\bar {y}}}{2}}\in \alpha \gamma (1-\delta )B+\alpha (1-\gamma )(1-\delta )B=\alpha (1-\delta )B\subseteq (1-\delta )B}$. (Using that for any convex body K and ${\textstyle \gamma \in [0,1]}$, ${\textstyle \gamma K+(1-\gamma )K=K}$.) Thus, we know that ${\textstyle {\frac {{\overline {X}}+{\overline {Y}}}{2}}\subseteq (1-\delta )B(0,1)}$, so ${\textstyle \mu ({\frac {{\overline {X}}+{\overline {Y}}}{2}})\leq (1-\delta )^{n}\mu (B(0,1))}$. We apply the multiplicative form of the Brunn–Minkowski inequality to lower bound the first term by ${\textstyle {\sqrt {\mu ({\bar {X}})\mu ({\bar {Y}})}}}$, giving us ${\textstyle (1-\delta )^{n}\mu (B)\geq \mu ({\bar {X}})^{1/2}\mu ({\bar {Y}})^{1/2}}$. $1-{\frac {\nu (X_{\epsilon })}{\nu (S)}}={\frac {\nu (Y)}{\nu (S)}}={\frac {\mu ({\bar {Y}})}{\mu (B)}}\leq (1-\delta )^{2n}{\frac {\mu (B)}{\mu ({\bar {X}})}}\leq (1-\delta )^{2n}{\frac {\nu (S)}{\nu (X)}}\leq e^{-2n\delta }{\frac {\nu (S)}{\nu (X)}}=e^{-n\epsilon ^{2}/4}{\frac {\nu (S)}{\nu (X)}}$. QED

Версия этого результата справедлива и для так называемых строго выпуклых поверхностей, где результат зависит от модуля выпуклости . Однако понятие площади поверхности требует модификации, см.: упомянутые выше заметки о концентрации меры у Барвинка.

Примечания

Доказательство теоремы Брунна–Минковского устанавливает, что функция

$A\mapsto [\mu (A)]^{1/n}$

вогнута в том смысле, что для каждой пары непустых компактных подмножеств A и B в R ^н и каждый 0 ≤ t ≤ 1,

$\left[\mu (tA+(1-t)B)\right]^{1/n}\geq t[\mu (A)]^{1/n}+(1-t)[\mu (B)]^{1/n}.$

Для выпуклых множеств A и B положительной меры неравенство в теореме строгое. для 0 < t < 1, если только A и B не являются положительными гомотетическими , т. е. равными с точностью до смещения и расширения на положительный коэффициент.

Примеры

Округленные кубики

Поучительно рассмотреть случай, когда ${\textstyle A}$ а ${\textstyle l\times l}$ квадрат на плоскости и ${\textstyle B}$ шар радиуса ${\textstyle \epsilon }$. В этом случае, ${\textstyle A+B}$ представляет собой закругленный квадрат, и его объем можно представить как четыре скругленные четверти круга радиуса ${\textstyle \epsilon }$, четыре прямоугольника размеров ${\textstyle l\times \epsilon }$ по сторонам и исходный квадрат. Таким образом, ${\textstyle \mu (A+B)=l^{2}+4\epsilon l+{\frac {4}{4}}\pi \epsilon ^{2}=\mu (A)+4\epsilon l+\mu (B)\geq \mu (A)+2{\sqrt {\pi }}\epsilon l+\mu (B)=\mu (A)+2{\sqrt {\mu (A)\mu (B)}}+\mu (B)=(\mu (A)^{1/2}+\mu (B)^{1/2})^{2}}$.

Этот пример также намекает на теорию смешанных объемов , поскольку члены, которые появляются при разложении объема ${\textstyle A+B}$ соответствуют частям A разной размерности. В частности, если мы перепишем Брунна – Минковского как ${\textstyle \mu (A+B)\geq (\mu (A)^{1/n}+\mu (B)^{1/n})^{n}}$, мы видим, что мы можем думать о перекрестных членах биномиального разложения последнего как о том, что они каким-то образом учитывают смешанное объемное представление ${\textstyle \mu (A+B)=V(A,\ldots ,A)+nV(B,A,\ldots ,A)+\ldots +{n \choose j}V(B,\ldots ,B,A,\ldots ,A)+\ldots nV(B,\ldots ,B,A)+\mu (B)}$. Это же явление можно наблюдать и для суммы n -мерного числа. ${\textstyle l\times l}$ коробка и шар радиуса ${\textstyle \epsilon }$, где перекрестные члены в ${\textstyle (\mu (A)^{1/n}+\mu (B)^{1/n})^{n}}$с точностью до констант учитывают смешанные объемы. Это уточнено для первого смешанного тома в разделе выше о приложениях к смешанным томам .

Примеры, когда нижняя граница неопределенна

Левая часть неравенства БМ, вообще говоря, может быть намного больше правой. Например, мы можем взять X за ось X, а Y за ось Y внутри плоскости; тогда каждая из них имеет нулевую меру, но сумма имеет бесконечную меру. Другой пример — множество Кантора. Если ${\textstyle C}$ обозначает среднее третье множество Кантора, то это упражнение в анализе, чтобы показать, что ${\textstyle C+C=[0,2]}$.

Связи с другими частями математики

Неравенство Брунна–Минковского продолжает оставаться актуальным для современной геометрии и алгебры. Например, есть связи с алгебраической геометрией, и комбинаторные версии подсчета наборов точек внутри целочисленной решетки.

См. также

• Изопериметрическое неравенство
• Обратное неравенство Мильмана – Брунна – Минковского
• Формула Минковского-Штайнера
• Неравенство Прекопы – Лейндлера
• Случайное неравенство Витале Брунна – Минковского
• Смешанный объем

Ссылки

• Брунн, Х. (1887). Об овалах и поверхностях яиц . Инаугурационная диссертация, Мюнхен.
• Фенхель, Вернер ; Боннесен, Томми (1934). Теория выпуклых тел . Результаты математики и ее пограничные области. Том 3. Берлин: 1. Verlag Юлиуса Шпрингера.
• Фенхель, Вернер ; Боннесен, Томми (1987). Теория выпуклых тел . Москва, Айдахо: Л. Борон, К. Кристенсон и Б. Смит. БКС Ассошиэйтс. ISBN  9780914351023 .
• Дакоронья, Бернар (2004). Введение в вариационное исчисление . Лондон: Издательство Имперского колледжа. ISBN  1-86094-508-2 .
• Генрих Гуггенхаймер (1977) Применимая геометрия , стр. 146, Кригер, Хантингтон ISBN   0-88275-368-1 .
• Люстерник, Лазарь А. (1935). «Неравенство Брунна – Минковского для произвольных измеримых величин». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de l'URSS . Новая серия. III : 55–58.
• Минковский, Герман (1896). Геометрия чисел . Лейпциг: Тойбнер.
• Ружа, Имре З. (1997). «Неравенство Брунна – Минковского и невыпуклые множества». Геометрии посвященные . 67 (3): 337–348. дои : 10.1023/А:1004958110076 . МР   1475877 . S2CID   117749981 .
• Рольф Шнайдер , Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского, Cambridge University Press, Кембридж, 1993.