Установить функцию

В математике, особенно в теории меры , функция множества — это функция некоторого , областью определения данного множества и которой является семейство подмножеств которая (обычно) принимает свои значения в расширенной прямой вещественных чисел. $\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},$ который состоит из действительных чисел $\mathbb {R}$ и $\pm \infty .$

Функция множества обычно предназначена для измерения подмножеств тем или иным способом. Меры являются типичными примерами «измерения» функций множества. Поэтому термин «функция множества» часто используется, чтобы избежать путаницы между математическим значением слова «мера» и его общеязыковым значением.

Определения

Если ${\mathcal {F}}$ это семейство множеств над $\Omega$ (имеется в виду, что ${\mathcal {F}}\subseteq \wp (\Omega )$ где $\wp (\Omega )$ обозначает набор степеней ), то функция множества на ${\mathcal {F}}$ это функция $\mu$ с доменом ${\mathcal {F}}$ и кодомен $[-\infty ,\infty ]$ или, иногда, кодомен вместо этого представляет собой некоторое векторное пространство , как в случае с векторными мерами , комплексными мерами и мерами с проекционными значениями . Область определения функции множества может иметь любые числовые свойства; Часто встречающиеся свойства и категории семейств перечислены в таблице ниже.

showСемьи ${\mathcal {F}}$ сетов закончилось $\Omega$
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	Directed by $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	F.I.P.
π-system
Semiring										Never
Semialgebra (Semifield)										Never
Monotone class						only if $A_{i}\searrow$	only if $A_{i}\nearrow$
𝜆-system (Dynkin System)				only if $A\subseteq B$			only if $A_{i}\nearrow$ or they are disjoint			Never
Ring (Order theory)
Ring (Measure theory)										Never
δ-Ring										Never
𝜎-Ring										Never
Algebra (Field)										Never
𝜎-Algebra (𝜎-Field)										Never
Dual ideal
Filter				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Prefilter (Filter base)				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Filter subbase				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Open Topology							(even arbitrary $\cup$)			Never
Closed Topology						(even arbitrary $\cap$)				Never
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	directed downward	finite intersections	finite unions	relative complements	complements in $\Omega$	countable intersections	countable unions	contains $\Omega$	contains $\varnothing$	Finite Intersection Property
Additionally, a semiring is a π-system where every complement $B\setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ A semialgebra is a semiring where every complement $\Omega \setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ are arbitrary elements of ${\mathcal {F}}$ and it is assumed that ${\mathcal {F}}\neq \varnothing .$

В целом обычно предполагается, что $\mu (E)+\mu (F)$ всегда четко определен для всех $E,F\in {\mathcal {F}},$ или, что то же самое, что $\mu$ не берется за оба $-\infty$ и $+\infty$ как ценности. В этой статье впредь это будет предполагаться; хотя в качестве альтернативы все приведенные ниже определения могут быть уточнены такими утверждениями, как «всякий раз, когда определяется сумма/ряд». Иногда это делается с помощью вычитания, например, со следующим результатом, который справедлив всякий раз, когда $\mu$ конечно аддитивна :

Установите формулу разницы : $\mu (F)-\mu (E)=\mu (F\setminus E){\text{ whenever }}\mu (F)-\mu (E)$ определяется с помощью $E,F\in {\mathcal {F}}$ удовлетворяющий $E\subseteq F$ и $F\setminus E\in {\mathcal {F}}.$

Нулевые наборы

Набор $F\in {\mathcal {F}}$ называется нулевой набор (по отношению к $\mu$) или просто ноль, если $\mu (F)=0.$ В любое время $\mu$ не тождественно равно ни тому, ни другому $-\infty$ или $+\infty$ то обычно также предполагается, что:

• нулевой пустой набор : $\mu (\varnothing )=0$ если $\varnothing \in {\mathcal {F}}.$

Вариация и масса

The полная вариация набора $S$ является

$$|\mu |(S)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\sup\{|\mu (F)|:F\in {\mathcal {F}}{\text{ and }}F\subseteq S\}$$

где $|\,\cdot \,|$ обозначает абсолютное значение (или, в более общем смысле, обозначает норму или полунорму , если $\mu$ векторнозначен в ( полу ) нормированном пространстве ). Предполагая, что $\cup {\mathcal {F}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}F\in {\mathcal {F}},$ затем $|\mu |\left(\cup {\mathcal {F}}\right)$ называется полное изменение $\mu$ и $\mu \left(\cup {\mathcal {F}}\right)$ называется масса ​ $\mu .$

Функция множества называется конечно, если для каждого $F\in {\mathcal {F}},$ ценность $\mu (F)$ является конечен (что по определению означает, что $\mu (F)\neq \infty$ и $\mu (F)\neq -\infty$; а бесконечное значение – это то, которое равно $\infty$ или $-\infty$). Каждая функция конечного множества должна иметь конечную массу .

Общие свойства заданных функций

Установленная функция $\mu$ на ${\mathcal {F}}$ Говорят, что это

• неотрицательный, если он оценивается в $[0,\infty ].$
• конечно аддитивно, если $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}\right)$ для всех попарно непересекающихся конечных последовательностей $F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}$ такой, что $\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}\in {\mathcal {F}}.$
  • Если ${\mathcal {F}}$ замкнуто относительно бинарных объединений, тогда $\mu$ конечно аддитивна тогда и только тогда, когда $\mu (E\cup F)=\mu (E)+\mu (F)$ для всех непересекающихся пар $E,F\in {\mathcal {F}}.$
  • Если $\mu$ конечно аддитивна, и если $\varnothing \in {\mathcal {F}}$ затем принимая $E:=F:=\varnothing$ показывает, что $\mu (\varnothing )=\mu (\varnothing )+\mu (\varnothing )$ что возможно только в том случае, если $\mu (\varnothing )=0$ или $\mu (\varnothing )=\pm \infty ,$ где в последнем случае $\mu (E)=\mu (E\cup \varnothing )=\mu (E)+\mu (\varnothing )=\mu (E)+(\pm \infty )=\pm \infty$ для каждого $E\in {\mathcal {F}}$ (так что только случай $\mu (\varnothing )=0$ это полезно).
• счетно-аддитивная или σ-добавка если помимо конечной аддитивности для всех попарно непересекающихся последовательностей $F_{1},F_{2},\ldots \,$ в ${\mathcal {F}}$ такой, что $\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}},$ все следующее имеет место:
  1. $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)$
     • Ряд в левой части определяется обычным образом как предел $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right).$
     • Как следствие, если $\rho :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ любая перестановка / биекция тогда $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{\rho (i)}\right);$ это потому что $\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}=\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{\rho (i)}$ и применение этого условия (а) дважды гарантирует, что оба $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)$ и $\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{\rho (i)}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{\rho (i)}\right)$ держать. По определению сходящийся ряд, обладающий этим свойством, называется безусловно сходящимся . Говоря простым языком , это означает, что перестановка/перемаркировка наборов $F_{1},F_{2},\ldots$ к новому порядку $F_{\rho (1)},F_{\rho (2)},\ldots$ не влияет на сумму их мер. Это желательно, поскольку так же, как и объединение $F~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\textstyle \bigcup \limits _{i\in \mathbb {N} }F_{i}$ не зависит от порядка этих множеств, то же самое должно быть справедливо и для сумм $\mu (F)=\mu \left(F_{1}\right)+\mu \left(F_{2}\right)+\cdots$ и $\mu (F)=\mu \left(F_{\rho (1)}\right)+\mu \left(F_{\rho (2)}\right)+\cdots \,.$
  2. если $\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)$ не бесконечен, то этот ряд $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)$ также должны сходиться абсолютно , что по определению означает, что $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|$ должно быть конечным. Это автоматически верно, если $\mu$ неотрицательен . (или даже просто оценивается в расширенных действительных числах)
     • Как и любой сходящийся ряд действительных чисел, по теореме о рядах Римана ряд $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)={\displaystyle \lim _{N\to \infty }}\mu \left(F_{1}\right)+\mu \left(F_{2}\right)+\cdots +\mu \left(F_{N}\right)$ сходится абсолютно тогда и только тогда, когда его сумма не зависит от порядка ее членов (свойство, известное как безусловная сходимость ). Поскольку безусловная сходимость гарантируется вышеприведенным пунктом (а), это условие автоматически истинно, если $\mu$ ценится в $[-\infty ,\infty ].$
  3. если $\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)$ бесконечно, то требуется также, чтобы значение хотя бы одного из рядов $\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in \mathbb {N} }{\mu \left(F_{i}\right)>0}}\mu \left(F_{i}\right)\;{\text{ and }}\;\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in \mathbb {N} }{\mu \left(F_{i}\right)<0}}\mu \left(F_{i}\right)\;$ быть конечными (так что сумма их значений корректно определена). Это автоматически верно, если $\mu$ является неотрицательным .
• а предварительная мера , если она неотрицательна , счетно-аддитивна (в том числе конечно-аддитивна ) и имеет нулевое пустое множество .
• а мера, если это предмера , областью определения которой является σ-алгебра . Другими словами, мера — это неотрицательная счетно-аддитивная функция множества на σ-алгебре, которая имеет нулевое пустое множество .
• а вероятностная мера , если это мера, массу имеющая $1.$
• а внешняя мера, если она неотрицательна, счетно субаддитивна , имеет нулевое пустое множество и имеет набор мощности $\wp (\Omega )$ как его домен.
  • Внешние меры появляются в теореме о продолжении Каратеодори и часто ограничиваются измеримыми подмножествами Каратеодори.
• а знаковая мера, если она счетно-аддитивна, имеет нулевое пустое множество и $\mu$ не берется за оба $-\infty$ и $+\infty$ как ценности.
• завершено, если каждое подмножество каждого нулевого набора является нулевым; явно это означает: всякий раз, когда $F\in {\mathcal {F}}{\text{ satisfies }}\mu (F)=0$ и $N\subseteq F$ это любое подмножество $F$ затем $N\in {\mathcal {F}}$ и $\mu (N)=0.$
  • В отличие от многих других свойств, полнота предъявляет требования к множеству. $\operatorname {domain} \mu ={\mathcal {F}}$ (и не только на $\mu$ценности).
• 𝜎-конечна, если существует последовательность $F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,$ в ${\mathcal {F}}$ такой, что $\mu \left(F_{i}\right)$ конечно для любого индекса $i,$ а также $\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }F_{n}=\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}F.$
• разложимо, если существует подсемейство ${\mathcal {P}}\subseteq {\mathcal {F}}$ попарно непересекающихся множеств таких, что $\mu (P)$ конечно для каждого $P\in {\mathcal {P}}$ а также $\textstyle \bigcup \limits _{P\in {\mathcal {P}}}\,P=\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}F$ (где ${\mathcal {F}}=\operatorname {domain} \mu$).
  • Любая 𝜎-конечная функция множества разложима, но не наоборот. Например, счетная мера на $\mathbb {R}$ (чей домен $\wp (\mathbb {R} )$) разложима, но не 𝜎-конечна.
• а векторная мера, если она является счетно-аддитивной функцией множества $\mu :{\mathcal {F}}\to X$ оценивается в топологическом векторном пространстве $X$ (например, нормированное пространство ), областью определения которого является σ-алгебра .
  • Если $\mu$ оценивается в нормированном пространстве $(X,\|\cdot \|)$ то она счетно-аддитивна тогда и только тогда, когда для любой попарно непересекающейся последовательности $F_{1},F_{2},\ldots \,$ в ${\mathcal {F}},$ $\lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right)-\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)\right\|=0.$ Если $\mu$ конечно аддитивна и имеет значения в банаховом пространстве , то она счетно-аддитивна тогда и только тогда, когда для любой попарно непересекающейся последовательности $F_{1},F_{2},\ldots \,$ в ${\mathcal {F}},$ $\lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(F_{n}\cup F_{n+1}\cup F_{n+2}\cup \cdots \right)\right\|=0.$
• а комплексная мера , если она является счетно-аддитивной комплексной функцией множества. $\mu :{\mathcal {F}}\to \mathbb {C}$ областью определения которого является σ-алгебра .
  • По определению, комплексная мера никогда не требует $\pm \infty$ как значение и поэтому имеет пустой пустой набор .
• а случайная мера, если это случайный элемент со значением меры .

Произвольные суммы

Как описано в разделе этой статьи, посвященном обобщенным рядам , для любой семьи $\left(r_{i}\right)_{i\in I}$ действительных чисел , индексированных произвольным набором индексов $I,$ можно определить их сумму $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}$ как предел сети конечных частичных сумм $F\in \operatorname {FiniteSubsets} (I)\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in F}r_{i}$ где домен $\operatorname {FiniteSubsets} (I)$ направлен ​ ​ $\,\subseteq .\,$ Всякий раз, когда эта сеть сходится , ее предел обозначается символами $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}$ а если вместо этого эта сеть расходится к $\pm \infty$ то это можно указать, написав $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}=\pm \infty .$ Любая сумма по пустому множеству считается равной нулю; то есть, если $I=\varnothing$ затем $\textstyle \sum \limits _{i\in \varnothing }r_{i}=0$ по определению.

Например, если $z_{i}=0$ для каждого $i\in I$ затем $\textstyle \sum \limits _{i\in I}z_{i}=0.$ И можно показать, что $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}=\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}=0}}r_{i}+\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}=0+\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}=\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}.$ Если $I=\mathbb {N}$ тогда обобщенный ряд $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}$ сходится в $\mathbb {R}$ тогда и только тогда, когда $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }r_{i}$ сходится безусловно (или, что то же самое, сходится абсолютно ) в обычном смысле. Если обобщенный ряд $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}$ сходится в $\mathbb {R}$ тогда оба $\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}>0}}r_{i}$ и $\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}<0}}r_{i}$ также сходятся к элементам $\mathbb {R}$ и набор $\left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}$ обязательно счетно (то есть либо конечно, либо счетно бесконечно ); это остается верным, если $\mathbb {R}$ заменяется любым нормированным пространством . Отсюда следует, что для обобщенного ряда $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}$ сходиться в $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C} ,$ необходимо, чтобы все, кроме не более чем счетного числа $r_{i}$ будет равен $0,$ это означает, что $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~=~\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}\neq 0}}r_{i}$ представляет собой сумму не более счетного числа ненулевых членов. Говоря иначе, если $\left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}$ несчетно, то обобщенный ряд $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}$ не сходится.

Таким образом, из-за природы действительных чисел и их топологии каждый сходящийся обобщенный ряд действительных чисел (индексированный произвольным набором) может быть сведен к обычному абсолютно сходящемуся ряду из счетного числа действительных чисел. Таким образом, в контексте теории меры рассмотрение бесчисленного множества множеств и обобщенных рядов дает мало пользы. В частности, именно поэтому определение « счетно-аддитивного » редко распространяется на счетное число множеств. $F_{1},F_{2},\ldots \,$ в ${\mathcal {F}}$ (и обычный счетный ряд $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)$) произвольному числу множеств $\left(F_{i}\right)_{i\in I}$ (и обобщенный ряд $\textstyle \sum \limits _{i\in I}\mu \left(F_{i}\right)$).

Внутренние меры, внешние меры

Установленная функция $\mu$ Говорят, что он / удовлетворяет

• монотонно, если $\mu (E)\leq \mu (F)$ в любое время $E,F\in {\mathcal {F}}$ удовлетворить $E\subseteq F.$
• модульный, если он удовлетворяет следующему условию, известному как модульность : $\mu (E\cup F)+\mu (E\cap F)=\mu (E)+\mu (F)$ для всех $E,F\in {\mathcal {F}}$ такой, что $E\cup F,E\cap F\in {\mathcal {F}}.$
  • Любая конечно-аддитивная функция на поле множеств модулярна.
  • В геометрии функция множества, имеющая значение в некоторой абелевой полугруппе, обладающей этим свойством, известна как оценка . Это геометрическое определение «оценки» не следует путать с более сильным неэквивалентным теоретико-мерным определением «оценки», которое дано ниже .
• субмодульный, если $\mu (E\cup F)+\mu (E\cap F)\leq \mu (E)+\mu (F)$ для всех $E,F\in {\mathcal {F}}$ такой, что $E\cup F,E\cap F\in {\mathcal {F}}.$
• конечно субаддитивен, если $|\mu (F)|\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|$ для всех конечных последовательностей $F,F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}$ которые удовлетворяют $F\;\subseteq \;\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}.$
• счетно субаддитивная или σ-субаддитивен, если $|\mu (F)|\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|$ для всех последовательностей $F,F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,$ в ${\mathcal {F}}$ которые удовлетворяют $F\;\subseteq \;\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}.$
  • Если ${\mathcal {F}}$ замкнуто относительно конечных объединений, то это условие выполняется тогда и только тогда, когда $|\mu (F\cup G)|\leq |\mu (F)|+|\mu (G)|$ для всех $F,G\in {\mathcal {F}}.$ Если $\mu$ неотрицательно, то абсолютные значения можно удалить.
  • Если $\mu$ является мерой, то это условие выполняется тогда и только тогда, когда $\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)$ для всех $F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,$ в ${\mathcal {F}}.$ Если $\mu$ является вероятностной мерой , то это неравенство является неравенством Буля .
  • Если $\mu$ счетно субаддитивен и $\varnothing \in {\mathcal {F}}$ с $\mu (\varnothing )=0$ затем $\mu$ субаддитивна конечно .
• супердобавка, если $\mu (E)+\mu (F)\leq \mu (E\cup F)$ в любое время $E,F\in {\mathcal {F}}$ не пересекаются с $E\cup F\in {\mathcal {F}}.$
• непрерывный сверху, если $\lim _{n\to \infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)$ для всех невозрастающих последовательностей множеств $F_{1}\supseteq F_{2}\supseteq F_{3}\cdots \,$ в ${\mathcal {F}}$ такой, что $\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}}$ с $\mu \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)$ и все $\mu \left(F_{i}\right)$ конечно.
  • Мера Лебега $\lambda$ является непрерывным сверху, но это не было бы таковым, если бы предположение, что все $\mu \left(F_{i}\right)$ в конечном итоге конечны, было исключено из определения, как показывает этот пример: для каждого целого числа $i,$ позволять $F_{i}$ быть открытым интервалом $(i,\infty )$ так что $\lim _{n\to \infty }\lambda \left(F_{i}\right)=\lim _{n\to \infty }\infty =\infty \neq 0=\lambda (\varnothing )=\lambda \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)$ где $\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}=\varnothing .$
• непрерывный снизу, если $\lim _{n\to \infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)$ для всех неубывающих последовательностей множеств $F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq F_{3}\cdots \,$ в ${\mathcal {F}}$ такой, что $\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}}.$
• к бесконечности приближаются снизу, если всякий раз $F\in {\mathcal {F}}$ удовлетворяет $\mu (F)=\infty$ тогда для каждого реального $r>0,$ существует какой-то $F_{r}\in {\mathcal {F}}$ такой, что $F_{r}\subseteq F$ и $r\leq \mu \left(F_{r}\right)<\infty .$
• внешняя мера, если $\mu$ неотрицательен, счетно субаддитивен , имеет нулевое пустое множество и имеет набор мощности $\wp (\Omega )$ как его домен.
• а внутренняя мера, если $\mu$ неотрицательен, супераддитивен , непрерывен сверху , имеет нулевое пустое множество , имеет степенной набор $\wp (\Omega )$ как его домен, и $+\infty$ приближается снизу .
• атомарный, если каждое измеримое множество положительной меры содержит атом .

Если бинарная операция $\,+\,$ определена, то заданная функция $\mu$ Говорят, что это

• инвариант перевода, если $\mu (\omega +F)=\mu (F)$ для всех $\omega \in \Omega$ и $F\in {\mathcal {F}}$ такой, что $\omega +F\in {\mathcal {F}}.$

Определения, связанные с топологией

Если $\tau$ это топология на $\Omega$ тогда заданная функция $\mu$ говорят, что это:

• а Борелевская мера, если это мера, определенная на σ-алгебре всех борелевских множеств , которая является наименьшей σ-алгеброй, содержащей все открытые подмножества (т. е. содержащей $\tau$).
• а Мера Бэра, если она является мерой, определенной на σ-алгебре всех множеств Бэра .
• локально конечен, если для каждой точки $\omega \in \Omega$ существует какое-то соседство $U\in {\mathcal {F}}\cap \tau$ этой точки такой, что $\mu (U)$ конечно.
  • Если $\mu$ является конечно-аддитивной, монотонной и локально конечной, то $\mu (K)$ обязательно конечно для любого компактного измеримого подмножества $K.$
• $\tau$-добавка, если $\mu \left({\textstyle \bigcup }\,{\mathcal {D}}\right)=\sup _{D\in {\mathcal {D}}}\mu (D)$ в любое время ${\mathcal {D}}\subseteq \tau \cap {\mathcal {F}}$ направлен к по отношению $\,\subseteq \,$ и удовлетворяет ${\textstyle \bigcup }\,{\mathcal {D}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\textstyle \bigcup \limits _{D\in {\mathcal {D}}}D\in {\mathcal {F}}.$
  • ${\mathcal {D}}$ направлен к по отношению $\,\subseteq \,$ тогда и только тогда, когда оно не пусто и навсегда $A,B\in {\mathcal {D}}$ существует какой-то $C\in {\mathcal {D}}$ такой, что $A\subseteq C$ и $B\subseteq C.$
• внутренний регулярный или плотно, если для каждого $F\in {\mathcal {F}},$ $\mu (F)=\sup\{\mu (K):F\supseteq K{\text{ with }}K\in {\mathcal {F}}{\text{ a compact subset of }}(\Omega ,\tau )\}.$
• внешний регулярный, если для каждого $F\in {\mathcal {F}},$ $\mu (F)=\inf\{\mu (U):F\subseteq U{\text{ and }}U\in {\mathcal {F}}\cap \tau \}.$
• регулярный, если он одновременно является внутренним регулярным и внешним регулярным.
• а Регулярная борелевская мера , если эта борелевская мера также является регулярной .
• а Мера Радона, если она является регулярной и локально конечной мерой.
• строго положительно , если каждое непустое открытое подмножество имеет (строго) положительную меру.
• а оценка, если она неотрицательна, монотонна , модульна , имеет нулевое пустое множество и имеет область определения. $\tau .$

Отношения между заданными функциями

См. Также: теорема Радона – Никодима и теорема Лебега о разложении.

Если $\mu$ и $\nu$ две функции множества над $\Omega ,$ затем:

• $\mu$ Говорят, что это абсолютно непрерывен по отношению к $\nu$ или во власти $\nu$, написано $\mu \ll \nu ,$ если для каждого набора $F$ это принадлежит области обоих $\mu$ и $\nu ,$ если $\nu (F)=0$ затем $\mu (F)=0.$
  • Если $\mu$ и $\nu$ являются $\sigma$-конечные меры на том же измеримом пространстве и если $\mu \ll \nu ,$ то производная Радона–Никодима ${\frac {d\mu }{d\nu }}$ существует и для каждого измеримого $F,$
    $$\mu (F)=\int _{F}{\frac {d\mu }{d\nu }}d\nu .$$
  • $\mu$ и $\nu$ называются эквивалентны, если каждое из них абсолютно непрерывно относительно другого. $\mu$ называется поддерживающая мера меры $\nu$ если $\mu$ является $\sigma$-конечны и они эквивалентны.
• $\mu$ и $\nu$ являются единственное число , написанное $\mu \perp \nu ,$ если существуют непересекающиеся множества $M$ и $N$ в доменах $\mu$ и $\nu$ такой, что $M\cup N=\Omega ,$ $\mu (F)=0$ для всех $F\subseteq M$ в области $\mu ,$ и $\nu (F)=0$ для всех $F\subseteq N$ в области $\nu .$

Примеры

Примеры функций набора включают в себя:

• Функция
  $$d(A)=\lim _{n\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,\ldots ,n\}|}{n}},$$
  присвоение плотностей достаточно хорошо управляемым подмножествам $A\subseteq \{1,2,3,\ldots \},$ является заданной функцией.
• присваивает Вероятностная мера вероятность каждому набору в σ-алгебре . В частности, вероятность пустого набора равна нулю, а вероятность выборочного пространства равна $1,$ с другими наборами с учетом вероятностей между $0$ и $1.$
• число от нуля до единицы Мера возможности присваивает каждому набору в наборе степеней некоторого заданного набора . См. теорию возможностей .
• Случайный набор с множеством значений — это случайная величина . См. статью «Случайный компакт» .

Иорданская мера по $\mathbb {R} ^{n}$ — функция множества, определенная на множестве всех измеримых по Жордану подмножеств $\mathbb {R} ^{n};$ он отправляет измеримое по Жордану множество в свою жорданову меру.

Мера Лебега

Мера Лебега ​ $\mathbb {R}$ — это функция множества, которая присваивает неотрицательное действительное число каждому набору действительных чисел, принадлежащему Лебегу. $\sigma$-алгебра.

Его определение начинается с множества $\operatorname {Intervals} (\mathbb {R} )$ всех интервалов действительных чисел, который является полуалгеброй на $\mathbb {R} .$ Функция, которая присваивает каждому интервалу $I$ его $\operatorname {length} (I)$ — конечно-аддитивная функция множества (явно, если $I$ имеет конечные точки $a\leq b$ затем $\operatorname {length} (I)=b-a$). Эту функцию множества можно расширить до внешней меры Лебега на $\mathbb {R} ,$ которая является трансляционно-инвариантной функцией множества $\lambda ^{\!*\!}:\wp (\mathbb {R} )\to [0,\infty ]$ который отправляет подмножество $E\subseteq \mathbb {R}$ до нижней части

$$\lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {length} (I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of open intervals with }}E\subseteq \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}.$$

Внешняя мера Лебега не счетно-аддитивна (и, следовательно, не является мерой), хотя ее ограничение на 𝜎-алгебру всех подмножеств $M\subseteq \mathbb {R}$ удовлетворяющие критерию Каратеодори :

$$\lambda ^{\!*\!}(M)=\lambda ^{\!*\!}(M\cap E)+\lambda ^{\!*\!}(M\cap E^{c})\quad {\text{ for every }}S\subseteq \mathbb {R}$$

– это мера, называемая мерой Лебега . Множества Витали являются примерами неизмеримых множеств действительных чисел.

Бесконечномерное пространство

См. также: Гауссова мера § Бесконечномерные пространства , Абстрактное пространство Винера , теорема Фельдмана – Хайека и функция Радонификации.

Как подробно описано в статье о бесконечномерной мере Лебега , единственной локально конечной и трансляционно-инвариантной борелевской мерой в бесконечномерном сепарабельном нормированном пространстве является тривиальная мера . Однако можно определить гауссовы меры на бесконечномерных топологических векторных пространствах . Структурная теорема для гауссовских мер показывает, что абстрактная конструкция винеровского пространства — это, по сути, единственный способ получить строго положительную гауссову меру в сепарабельном банаховом пространстве .

Конечно-аддитивные трансляционно-инвариантные функции множества

Единственная трансляционно-инвариантная мера на $\Omega =\mathbb {R}$ с доменом $\wp (\mathbb {R} )$ конечное на любом компактном подмножестве $\mathbb {R}$ — тривиальная функция множества $\wp (\mathbb {R} )\to [0,\infty ]$ что тождественно равно $0$ (то есть он отправляет каждый $S\subseteq \mathbb {R}$ к $0$) Однако если счетную аддитивность ослабить до конечной аддитивности, то нетривиальная функция множества с этими свойствами действительно существует, и, более того, некоторые из них даже оцениваются в $[0,1].$ На самом деле такие нетривиальные функции множества будут существовать, даже если $\mathbb {R}$ заменяется любой другой абелевой группой $G.$

Теорема - Если $(G,+)$ — любая абелева группа , то существует конечно аддитивная и трансляционно-инвариантная группа установить функцию $\mu :\wp (G)\to [0,1]$ массы $\mu (G)=1.$

Расширение функций набора

Смотрите также: теорема о продолжении Каратеодори

Переход от полуалгебр к алгебрам

Предположим, что $\mu$ является функцией множества на полуалгебре ${\mathcal {F}}$ над $\Omega$ и пусть

$$\operatorname {algebra} ({\mathcal {F}}):=\left\{F_{1}\sqcup \cdots \sqcup F_{n}:n\in \mathbb {N} {\text{ and }}F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}{\text{ are pairwise disjoint }}\right\},$$

что такое алгебра на $\Omega$ созданный ${\mathcal {F}}.$ Типичным является примером полуалгебры, которая не является одновременно алгеброй, семейство

$${\mathcal {S}}_{d}:=\{\varnothing \}\cup \left\{\left(a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left(a_{1},b_{1}\right]~:~-\infty \leq a_{i}<b_{i}\leq \infty {\text{ for all }}i=1,\ldots ,d\right\}$$

на $\Omega :=\mathbb {R} ^{d}$ где $(a,b]:=\{x\in \mathbb {R} :a<x\leq b\}$ для всех $-\infty \leq a<b\leq \infty .$ Важно отметить, что два нестрогих неравенства $\,\leq \,$ в $-\infty \leq a_{i}<b_{i}\leq \infty$ нельзя заменить строгими неравенствами $\,<\,$ поскольку полуалгебры должны содержать весь основной набор $\mathbb {R} ^{d};$ то есть, $\mathbb {R} ^{d}\in {\mathcal {S}}_{d}$ является требованием полуалгебр (как и $\varnothing \in {\mathcal {S}}_{d}$).

Если $\mu$ конечно аддитивна , то она имеет единственное продолжение до функции множества ${\overline {\mu }}$ на $\operatorname {algebra} ({\mathcal {F}})$ определяется отправкой $F_{1}\sqcup \cdots \sqcup F_{n}\in \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}})$ (где $\,\sqcup \,$ указывает на то, что эти $F_{i}\in {\mathcal {F}}$ попарно не пересекаются ) для:

$${\overline {\mu }}\left(F_{1}\sqcup \cdots \sqcup F_{n}\right):=\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right).$$

Это расширение ${\overline {\mu }}$ также будет конечно аддитивным: для любого попарно непересекающегося $A_{1},\ldots ,A_{n}\in \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}}),$

$${\overline {\mu }}\left(A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}\right)={\overline {\mu }}\left(A_{1}\right)+\cdots +{\overline {\mu }}\left(A_{n}\right).$$

Если вдобавок $\mu$ является расширенным вещественным и монотонным (что, в частности, будет иметь место, если $\mu$ неотрицательно ) , тогда ${\overline {\mu }}$ будет монотонным и конечно субаддитивным : для любого $A,A_{1},\ldots ,A_{n}\in \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}})$ такой, что $A\subseteq A_{1}\cup \cdots \cup A_{n},$

$${\overline {\mu }}\left(A\right)\leq {\overline {\mu }}\left(A_{1}\right)+\cdots +{\overline {\mu }}\left(A_{n}\right).$$

Расширение от колец до σ-алгебр

См. Также: Предварительная мера и теорема Хана – Колмогорова.

Если $\mu :{\mathcal {F}}\to [0,\infty ]$ является предварительной мерой на кольце множеств (например, алгебре множеств ) ${\mathcal {F}}$ над $\Omega$ затем $\mu$ имеет расширение до меры ${\overline {\mu }}:\sigma ({\mathcal {F}})\to [0,\infty ]$ на σ-алгебре $\sigma ({\mathcal {F}})$ созданный ${\mathcal {F}}.$ Если $\mu$ является σ-конечным , то это расширение единственно.

Чтобы определить это расширение, сначала расширьте $\mu$ по внешней мере $\mu ^{*}$ на $2^{\Omega }=\wp (\Omega )$ к

$$\mu ^{*}(T)=\inf \left\{\sum _{n}\mu \left(S_{n}\right):T\subseteq \cup _{n}S_{n}{\text{ with }}S_{1},S_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}\right\}$$

а затем ограничить его набором ${\mathcal {F}}_{M}$ из $\mu ^{*}$-измеримые множества (т. е. измеримые по Каратеодори множества ), представляющие собой множество всех $M\subseteq \Omega$ такой, что

$$\mu ^{*}(S)=\mu ^{*}(S\cap M)+\mu ^{*}(S\cap M^{\mathrm {c} })\quad {\text{ for every subset }}S\subseteq \Omega .$$

Это $\sigma$-алгебра и $\mu ^{*}$ является на нем сигма-аддитивным по лемме Каратеодори.

Ограничение внешних мер

См. Также: Внешняя мера § Измеримость множеств относительно внешней меры.

Если $\mu ^{*}:\wp (\Omega )\to [0,\infty ]$ является внешней мерой множества $\Omega ,$ где (по определению) областью определения обязательно является набор степеней $\wp (\Omega )$ из $\Omega ,$ тогда подмножество $M\subseteq \Omega$ называется $\mu ^{*}$–измеримый или измеримый по Каратеодори, если он удовлетворяет следующему критерию Каратеодори :

$$\mu ^{*}(S)=\mu ^{*}(S\cap M)+\mu ^{*}(S\cap M^{\mathrm {c} })\quad {\text{ for every subset }}S\subseteq \Omega ,$$

где $M^{\mathrm {c} }:=\Omega \setminus M$ является дополнением ​ $M.$

Семья всех $\mu ^{*}$–измеримые подмножества – это σ-алгебра и ограничение внешней меры $\mu ^{*}$ для этой семьи это мера .

См. также

• Абсолютная непрерывность (теория меры) – форма непрерывности функций. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Логическое кольцо – математическая концепция. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Мера набора цилиндров – способ создания меры для пространств продуктов. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Поле множеств - алгебраическое понятие в теории меры, также называемое алгеброй множеств.
• Теорема Хадвигера - Теорема интегральной геометрии.
• Теорема Хана о разложении - Теорема измеримости
• Инвариантная мера
• Теорема Лебега о разложении
• Положительные и отрицательные наборы
• Теорема Радона – Никодима . Выражение меры как интеграла от другой.
• Теорема о представлении Рисса – Маркова – Какутани - Утверждение о линейных функционалах и мерах
• Кольцо множеств - Семья, замкнутая союзами и относительными дополнениями.
• σ-алгебра - алгебраическая структура алгебры множеств.
• Теорема Витали–Хана–Сакса.

Примечания

Доказательства

Ссылки

• Дарретт, Ричард (2019). Вероятность: теория и примеры (PDF) . Кембриджская серия по статистической и вероятностной математике. Том. 49 (5-е изд.). Кембридж, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-1-108-47368-2 . OCLC   1100115281 . Проверено 5 ноября 2020 г.
• Колмогоров Андрей ; Фомин, Сергей Васильевич (1957). Элементы теории функций и функционального анализа . Дуврские книги по математике. Нью-Йорк: Дуврские книги. ISBN  978-1-61427-304-2 . OCLC   912495626 .
• А. Н. Колмогоров и С. В. Фомин (1975), Вводный реальный анализ , Дувр. ISBN   0-486-61226-0
• Ройден, Хэлси ; Фитцпатрик, Патрик (15 января 2010 г.). Реальный анализ (4-е изд.). Бостон: Прентис Холл . ISBN  978-0-13-143747-0 . OCLC   456836719 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .

Дальнейшее чтение

• Соболев, В.И. (2001) [1994], «Функция множества» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Функция регулярного множества в Энциклопедии математики