Внутренняя мера

В математике , в частности в теории меры , внутренняя мера — это функция на наборе степеней данного набора со значениями в расширенных действительных числах , удовлетворяющая некоторым техническим условиям. Интуитивно понятно, что внутренняя мера набора — это нижняя граница размера этого набора.

Определение

Внутренняя мера — это заданная функция

$$\varphi :2^{X}\to [0,\infty ],$$

определено на всех подмножествах множества $X,$ который удовлетворяет следующим условиям:

• Нулевой пустой набор: Пустой набор имеет нулевую внутреннюю меру ( см. также: нулевая мера ); то есть,
  $$\varphi (\varnothing )=0$$
• Супераддитив : для любых непересекающихся множеств. $A$ и $B,$
  $$\varphi (A\cup B)\geq \varphi (A)+\varphi (B).$$
• Пределы уменьшения башен: Для любой последовательности $A_{1},A_{2},\ldots$ наборов таких, что $A_{j}\supseteq A_{j+1}$ для каждого $j$ и $\varphi (A_{1})<\infty$
  $$\varphi \left(\bigcap _{j=1}^{\infty }A_{j}\right)=\lim _{j\to \infty }\varphi (A_{j})$$
• Если мера не конечна, т. е. существуют множества $A$ с $\varphi (A)=\infty$, то к этой бесконечности надо приблизиться. Точнее, если $\varphi (A)=\infty$ для набора $A$ тогда для каждого положительного действительного числа $r,$ существует какой-то $B\subseteq A$ такой, что
  $$r\leq \varphi (B)<\infty .$$

Внутренняя мера, порожденная мерой

Позволять $\Sigma$ быть σ-алгеброй над множеством $X$ и $\mu$ быть мерой ​ $\Sigma .$ Тогда внутренняя мера $\mu _{*}$ вызванный $\mu$ определяется

$$\mu _{*}(T)=\sup\{\mu (S):S\in \Sigma {\text{ and }}S\subseteq T\}.$$

По сути $\mu _{*}$ дает нижнюю границу размера любого набора, гарантируя, что он по крайней мере равен размеру $\mu$-мера любого из его $\Sigma$-измеримые подмножества. Несмотря на то, что функция set $\mu _{*}$ обычно не является мерой, $\mu _{*}$ разделяет следующие свойства с мерами:

1. $\mu _{*}(\varnothing )=0,$
2. $\mu _{*}$ неотрицательен,
3. Если $E\subseteq F$ затем $\mu _{*}(E)\leq \mu _{*}(F).$

Завершение измерения

Основная статья: Полная мера

Индуцированные внутренние меры часто используются в сочетании с внешними мерами для расширения меры до более крупной σ-алгебры. Если $\mu$ — конечная мера, определенная на σ-алгебре $\Sigma$ над $X$ и $\mu ^{*}$ и $\mu _{*}$ являются соответствующими индуцированными внешней и внутренней мерами, то множества $T\in 2^{X}$ такой, что $\mu _{*}(T)=\mu ^{*}(T)$ образовать σ-алгебру ${\hat {\Sigma }}$ с $\Sigma \subseteq {\hat {\Sigma }}$. Функция установки ${\hat {\mu }}$ определяется

$${\hat {\mu }}(T)=\mu ^{*}(T)=\mu _{*}(T)$$

для всех $T\in {\hat {\Sigma }}$ это мера по ${\hat {\Sigma }}$ известный как завершение $\mu .$

См. также

• Измеримое множество Лебега – концепция площади в любом измерении. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.

Ссылки

• Халмос, Пол Р., Теория меры , D. Van Nostand Company, Inc., 1950, стр. 58.
• А. Н. Колмогоров и С. В. Фомин, перевод Ричарда А. Сильвермана, «Вводный реальный анализ» , Dover Publications, Нью-Йорк, 1970, ISBN   0-486-61226-0 (глава 7)