Неравенство Прекопы – Лейндлера

В математике неравенство Прекопы –Лейндлера — интегральное неравенство, тесно связанное с обратным неравенством Юнга , неравенством Брунна–Минковского и рядом других важных и классических неравенств в анализе . Результат назван в честь венгерских математиков Андраша Прекопы и Ласло Лейндлера .

Формулировка неравенства

Пусть 0 < λ < 1 и пусть f , g , h : R ^н → [0, +∞) — неотрицательные вещественнозначные измеримые функции, определенные на n -мерном евклидовом пространстве R ^н . Предположим, что эти функции удовлетворяют

$h\left((1-\lambda )x+\lambda y\right)\geq f(x)^{1-\lambda }g(y)^{\lambda }$ ( 1 )

для всех x и y в R ^н . Затем

$\|h\|_{1}:=\int _{\mathbb {R} ^{n}}h(x)\,\mathrm {d} x\geq \left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,\mathrm {d} x\right)^{1-\lambda }\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)\,\mathrm {d} x\right)^{\lambda }=:\|f\|_{1}^{1-\lambda }\|g\|_{1}^{\lambda }.$

Существенная форма неравенства

Напомним, что существенная верхняя грань измеримой функции f : R ^н → R определяется формулой

$\mathop {\mathrm {ess\,sup} } _{x\in \mathbb {R} ^{n}}f(x)=\inf \left\{t\in [-\infty ,+\infty ]\mid f(x)\leq t{\text{ for almost all }}x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}.$

Эти обозначения допускают следующую существенную форму неравенства Прекопы–Лейндлера: пусть 0 < λ < 1 и пусть f , g ∈ L ¹ ( Р ^н ; [0, +∞)) — неотрицательные абсолютно интегрируемые функции. Позволять

$s(x)=\mathop {\mathrm {ess\,sup} } _{y\in \mathbb {R} ^{n}}f\left({\frac {x-y}{1-\lambda }}\right)^{1-\lambda }g\left({\frac {y}{\lambda }}\right)^{\lambda }.$

Тогда s измеримо и

$\|s\|_{1}\geq \|f\|_{1}^{1-\lambda }\|g\|_{1}^{\lambda }.$

Существенная форма супремума была дана Гермом Браскэмпом и Эллиотом Либом . Его использование может изменить левую часть неравенства. Например, функция g , которая принимает значение 1 ровно в одной точке, обычно не будет давать нулевую левую часть в форме «несущественной поддержки», но всегда будет давать нулевую левую часть в форме «существенной поддержки».

Связь с неравенством Брунна – Минковского

Можно показать, что обычное неравенство Прекопы–Лейндлера влечет за собой Брунна–Минковского в следующем виде: если 0 < λ < 1 и A и B ограничены неравенство , измеримые подмножества R ^н такая, что сумма Минковского (1 − λ ) A + λ B также измерима, то

$\mu \left((1-\lambda )A+\lambda B\right)\geq \mu (A)^{1-\lambda }\mu (B)^{\lambda },$

где µ обозначает n -мерную меру Лебега . Следовательно, можно также использовать неравенство Прекопы – Лейндлера. доказать неравенство Брунна–Минковского в его более знакомой форме: если 0 < < 1 и A и B — непустые , ограниченные , измеримые подмножества R λ ^н такой, что (1 − λ ) A + λ B также измеримо, то

$\mu \left((1-\lambda )A+\lambda B\right)^{1/n}\geq (1-\lambda )\mu (A)^{1/n}+\lambda \mu (B)^{1/n}.$

Приложения в теории вероятности и статистике

Логвогнутые распределения

Неравенство Прекопы-Лейндлера полезно в теории логарифмически вогнутых распределений , поскольку его можно использовать, чтобы показать, что логарифмическая вогнутость сохраняется за счет маргинализации и независимого суммирования логарифмически вогнутых распределенных случайных величин. Поскольку, если $X,Y$ есть PDF $f,g$, и $X,Y$ независимы, то $f\star g$ это PDF-файл $X+Y$, мы также имеем, что свертка двух логарифмически вогнутых функций является логарифмической.

Предположим, что H ( x , y ) является логарифмически вогнутым распределением для ( x , y ) ∈ R ^м × Р ^н , так что по определению имеем

$H\left((1-\lambda )(x_{1},y_{1})+\lambda (x_{2},y_{2})\right)\geq H(x_{1},y_{1})^{1-\lambda }H(x_{2},y_{2})^{\lambda },$ ( 2 )

и пусть M ( y ) обозначает маргинальное распределение, полученное путем интегрирования по x :

$M(y)=\int _{\mathbb {R} ^{m}}H(x,y)\,dx.$

Пусть y ₁ , y ₂ ∈ R ^н и 0 < λ < 1. Тогда уравнение ( 2 ) удовлетворяет условию ( 1 ) с h ( x ) = H ( x , (1 − λ ) y ₁ + λ y ₂ ), f ( x ) = H ( x , y ₁ ) и g ( x ) = H ( x , y ₂ ), поэтому применяется неравенство Прекопы–Лейндлера. Это можно записать через М как

$M((1-\lambda )y_{1}+\lambda y_{2})\geq M(y_{1})^{1-\lambda }M(y_{2})^{\lambda },$

что является определением логарифмической вогнутости для M .

Чтобы увидеть, как это подразумевает сохранение логарифмической выпуклости независимыми суммами, предположим, что X и Y — независимые случайные величины с логарифмическим вогнутым распределением. Поскольку произведение двух логарифмически вогнутых функций является логарифмически вогнутым, совместное распределение ( X , Y ) также логарифмически вогнутое. Логарифмическая вогнутость сохраняется за счет аффинных изменений координат, поэтому распределение ( X + Y , X − Y ) также логарифмически вогнутое. Поскольку распределение X+Y является маргинальным по отношению к совместному распределению ( X + Y , X − Y ), мы заключаем, что X + Y имеет логарифмически вогнутое распределение.

Приложения к концентрации меры

Неравенство Прекопы – Лейндлера можно использовать для доказательства результатов о концентрации меры.

Теорема Позволять ${\textstyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$, и установите ${\textstyle A_{\epsilon }=\{x:d(x,A)<\epsilon \}}$. Позволять ${\textstyle \gamma (x)}$ обозначают стандартный гауссов PDF-файл и ${\textstyle \mu }$ связанная с ним мера. Затем ${\textstyle \mu (A_{\epsilon })\geq 1-{\frac {e^{-\epsilon ^{2}/4}}{\mu (A)}}}$.

показывать Доказательство концентрации меры

The proof of this theorem goes by way of the following lemma: Lemma In the notation of the theorem, ${\textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(d(x,A)^{2}/4)d\mu \leq 1/\mu (A)}$. This lemma can be proven from Prékopa–Leindler by taking ${\textstyle h(x)=\gamma (x),f(x)=e^{\frac {d(x,A)^{2}}{4}}\gamma (x),g(x)=1_{A}(x)\gamma (x)}$ and ${\textstyle \lambda =1/2}$. To verify the hypothesis of the inequality, ${\textstyle h({\frac {x+y}{2}})\geq {\sqrt {f(x)g(y)}}}$, note that we only need to consider ${\textstyle y\in A}$, in which case ${\textstyle d(x,A)\leq ||x-y||}$. This allows us to calculate: $(2\pi )^{n}f(x)g(x)=\exp({\frac {d(x,A)}{4}}-||x||^{2}/2-||y||^{2}/2)\leq \exp({\frac {||x-y||^{2}}{4}}-||x||^{2}/2-||y||^{2}/2)=\exp(-||{\frac {x+y}{2}}||^{2})=(2\pi )^{n}h({\frac {x+y}{2}})^{2}.$ Since ${\textstyle \int h(x)dx=1}$, the PL-inequality immediately gives the lemma. To conclude the concentration inequality from the lemma, note that on ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}\setminus A_{\epsilon }}$, ${\textstyle d(x,A)>\epsilon }$, so we have ${\textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(d(x,A)^{2}/4)d\mu \geq (1-\mu (A_{\epsilon }))\exp(\epsilon ^{2}/4)}$. Applying the lemma and rearranging proves the result.

Дальнейшее чтение

• Итон, Моррис Л. (1987). «Вогнутость бревна и смежные темы». Лекции по темам вероятностных неравенств . Амстердам. стр. 77–109. ISBN  90-6196-316-8 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Уэйнрайт, Мартин Дж. (2019). «Концентрация меры». Многомерная статистика: неасимптотическая точка зрения . Издательство Кембриджского университета. стр. 72–76. ISBN  978-1-108-49802-9 .