Babenko–Beckner inequality

В математике неравенство Бабенко-Бекнера (по имени Константина И. Бабенко и Уильяма Э. Бекнера представляет собой уточненную форму неравенства Хаусдорфа-Юнга , имеющую приложения к принципам неопределенности в анализе Фурье L ) ^п пространства . n ( q , p )-норма определяется -мерного преобразования Фурье как

$\|{\mathcal {F}}\|_{q,p}=\sup _{f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}{\frac {\|{\mathcal {F}}f\|_{q}}{\|f\|_{p}}},{\text{ where }}1<p\leq 2,{\text{ and }}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.$

В 1961 году Бабенко нашел эту норму для четных целых значений q . Наконец, в 1975 году, используя функции Эрмита в качестве собственных функций преобразования Фурье, Бекнер доказал, что значение этой нормы для всех $q\geq 2$ является

$\|{\mathcal {F}}\|_{q,p}=\left(p^{1/p}/q^{1/q}\right)^{n/2}.$

Таким образом, мы имеем неравенство Бабенко–Бекнера , которое

$\|{\mathcal {F}}f\|_{q}\leq \left(p^{1/p}/q^{1/q}\right)^{n/2}\|f\|_{p}.$

Чтобы записать это явно, (в случае одного измерения), если преобразование Фурье нормализовано так, что

$g(y)\approx \int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi ixy}f(x)\,dx{\text{ and }}f(x)\approx \int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ixy}g(y)\,dy,$

тогда у нас есть

$\left(\int _{\mathbb {R} }|g(y)|^{q}\,dy\right)^{1/q}\leq \left(p^{1/p}/q^{1/q}\right)^{1/2}\left(\int _{\mathbb {R} }|f(x)|^{p}\,dx\right)^{1/p}$

или проще

$\left({\sqrt {q}}\int _{\mathbb {R} }|g(y)|^{q}\,dy\right)^{1/q}\leq \left({\sqrt {p}}\int _{\mathbb {R} }|f(x)|^{p}\,dx\right)^{1/p}.$

Основные идеи доказательства

На протяжении всего этого наброска доказательства пусть

$1<p\leq 2,\quad {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,\quad {\text{and}}\quad \omega ={\sqrt {1-p}}=i{\sqrt {p-1}}.$

(За исключением q , мы будем более или менее следовать обозначениям Бекнера.)

Лемма о двух пунктах

Позволять $d\nu (x)$ — дискретная мера с весом $1/2$ в точках $x=\pm 1.$ Тогда оператор

$C:a+bx\rightarrow a+\omega bx$

карты $L^{p}(d\nu )$ к $L^{q}(d\nu )$ с нормой 1; то есть,

$\left[\int |a+\omega bx|^{q}d\nu (x)\right]^{1/q}\leq \left[\int |a+bx|^{p}d\nu (x)\right]^{1/p},$

или более явно,

$\left[{\frac {|a+\omega b|^{q}+|a-\omega b|^{q}}{2}}\right]^{1/q}\leq \left[{\frac {|a+b|^{p}+|a-b|^{p}}{2}}\right]^{1/p}$

для любого комплекса a , b . (Доказательство его «леммы о двух пунктах» см. в статье Бекнера.)

Последовательность испытаний Бернулли

Мера $d\nu$ то, что было введено выше, на самом деле является справедливым испытанием Бернулли со средним значением 0 и дисперсией 1. Рассмотрим сумму последовательности из n таких испытаний Бернулли, независимых и нормализованных так, что стандартное отклонение остается 1. Мы получаем меру $d\nu _{n}(x)$ что представляет собой n -кратную свертку $d\nu ({\sqrt {n}}x)$ с самим собой. Следующий шаг — расширить оператор C , определенный в двухточечном пространстве выше, до оператора, определенного в ( n + 1)-точечном пространстве $d\nu _{n}(x)$ относительно элементарных симметричных многочленов .

Сходимость к стандартному нормальному распределению

Последовательность $d\nu _{n}(x)$ слабо сходится к стандартному нормальному распределению вероятностей $d\mu (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}\,dx$ относительно функций полиномиального роста. В пределе расширение оператора C, приведенного выше, в терминах элементарных симметричных многочленов относительно меры $d\nu _{n}(x)$ выражается как оператор T через полиномы Эрмита относительно стандартного нормального распределения. Эти функции Эрмита являются собственными функциями преобразования Фурье, а ( q , p )-норма преобразования Фурье получается в результате после некоторой перенормировки.

См. также

• Энтропийная неопределенность