Неравенство Хаусдорфа – Янга

Неравенство Хаусдорфа -Юнга является фундаментальным результатом в математической области анализа Фурье . Как утверждение о ряде Фурье, оно было открыто Уильямом Генри Янгом ( 1913 ) и расширено Хаусдорфом ( 1923 ). Сейчас ее обычно понимают как довольно прямое следствие теоремы Планшереля , найденной в 1910 году, в сочетании с теоремой Рисса-Торина , первоначально открытой Марселем Риссом в 1927 году. Благодаря этому механизму она легко допускает несколько обобщений, в том числе для многомерного Фурье. ряды и преобразования Фурье на прямой, евклидовы пространства, а также более общие пространства. С такими расширениями это один из самых известных результатов анализа Фурье, который встречается почти в каждом вводном учебнике по этому предмету для аспирантов.

Природу неравенства Хаусдорфа-Юнга можно понять, имея в качестве предпосылки только интегрирование Римана и бесконечные ряды. Учитывая непрерывную функцию $f:(0,1)\to \mathbb {R}$ , определите его «коэффициенты Фурье» по формуле

c_{n}=\int _{0}^{1}e^{-2\pi inx}f(x)\,dx

для каждого целого числа $n$ . Неравенство Хаусдорфа-Юнга можно использовать, чтобы показать, что

\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{3}\right)^{1/3}\leq \left(\int _{0}^{1}|f(t)|^{3/2}\,dt\right)^{2/3}.

Грубо говоря, это можно интерпретировать как утверждение, что «размер» функции $f$ , представленный правой частью приведенного выше неравенства, контролирует «размер» своей последовательности коэффициентов Фурье, представленной левой частью.

Однако это лишь весьма частный случай общей теоремы. Ниже приведены обычные формулировки теоремы с использованием аппарата $L п$ пространства и интегрирование по Лебегу .

Сопряженный показатель

Учитывая ненулевое действительное число $p$ , определите действительное число $p'$ («сопряженный показатель» $p$ ) по уравнению

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1.

Если $p$ равно единице, это уравнение не имеет решения, но интерпретируется так, что $p'$ бесконечно, как элемент расширенной линии действительных чисел . Аналогично, если $p$ бесконечно, как элемент расширенной линии действительных чисел , то это интерпретируется как означающее, что $p'$ равен единице.

Общеизвестные особенности сопряженного показателя просты:

сопряженный показатель числа в диапазоне $[1,2]$ находится в диапазоне $[2,\infty ]$
сопряженный показатель числа в диапазоне $[2,\infty ]$ находится в диапазоне $[1,2]$
сопряженный показатель $2$ является $2$

Утверждения теоремы

ряд Фурье

Дана функция $f:(0,1)\to \mathbb {C} ,$ его «коэффициенты Фурье» определяются как функция $c:\mathbb {Z} \to \mathbb {C}$ к

c(n)=\int _{0}^{1}f(t)e^{-2\pi int}\,dt,

хотя для произвольной функции $f$ , эти интегралы могут не существовать. Неравенство Гельдера показывает, что если $f$ находится в $L^{p}{\bigl (}(0,1){\bigr )}$ на какое-то число $p\in [1,\infty ]$ , то каждый коэффициент Фурье корректно определен. ^{[ 1 ]}

Неравенство Хаусдорфа-Юнга гласит, что для любого числа $p$ в интервале $(1,2]$ , у одного есть

{\Big (}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\big |}c(n){\big |}^{p'}{\Big )}^{1/p'}\leq {\Big (}\int _{0}^{1}|f(t)|^{p}\,dt{\Big )}^{1/p}

для всех $f$ в $L^{p}{\bigl (}(0,1){\bigr )}$ . Обратно, по-прежнему предполагая $p\in (1,2]$ , если $c:\mathbb {Z} \to \mathbb {C}$ является отображением, для которого

\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\big |}c(n){\big |}^{p}<\infty ,

тогда существует $f\in L^{p'}(0,1)$ чьи коэффициенты Фурье подчиняются ^{[ 1 ]}

{\Big (}\int _{0}^{1}|f(t)|^{p'}\,dt{\Big )}^{1/p'}\leq {\Big (}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\big |}c(n){\big |}^{p}{\Big )}^{1/p}.

Многомерный ряд Фурье

Случай рядов Фурье обобщается на многомерный случай. Дана функция $f:(0,1)^{k}\to \mathbb {C} ,$ определить его коэффициенты Фурье $c:\mathbb {Z} ^{k}\to \mathbb {C}$ к

c(n_{1},\ldots ,n_{k})=\int _{(0,1)^{k}}f(x)e^{-2\pi i(n_{1}x_{1}+\cdots +n_{k}x_{k})}\,dx.

Как и в случае с рядом Фурье, предположение о том, что $f$ находится в $L^{p}$ за некоторую стоимость $p$ в $[1,\infty ]$ обеспечивает посредством неравенства Гёльдера существование коэффициентов Фурье. Неравенство Хаусдорфа-Юнга говорит, что если $p$ находится в диапазоне $[1,2]$ , затем

{\Big (}\sum _{n\in \mathbb {Z} ^{k}}{\big |}c(n){\big |}^{p'}{\Big )}^{1/p'}\leq {\Big (}\int _{(0,1)^{k}}|f(x)|^{p}\,dx{\Big )}^{1/p}

для любого $f$ в $L^{p}{\bigl (}(0,1)^{k}{\bigr )}$ . ^{[ 2 ]}

Преобразование Фурье

Многомерное преобразование Фурье определяется формулой

{\widehat {f}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi i\langle x,\xi \rangle }f(x)\,dx.

Неравенство Хаусдорфа-Юнга в этом случае говорит, что если $p$ это число в интервале $[1,2]$ , то есть

{\Big (}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big |}{\widehat {f}}(\xi ){\big |}^{p'}\,d\xi {\Big )}^{1/p'}\leq {\Big (}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big |}f(x){\big |}^{p}\,dx{\Big )}^{1/p}

для любого $f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{m})$ . ^{[ 3 ]}

Язык нормированных векторных пространств

Приведенные выше результаты можно кратко перефразировать так:

Карта, которая отправляет функцию $(0,1)^{k}\to \mathbb {C}$ своим коэффициентам Фурье определяет ограниченное комплексно-линейное отображение $L^{p}{\bigl (}(0,1)^{k},dx{\bigr )}\to L^{p/(p-1)}(\mathbb {Z} ^{k},dn)$ на любое число $p$ в диапазоне $[1,2]$ . Здесь $dx$ обозначает меру Лебега и $dn$ обозначает счетную меру. Более того, операторная норма этого линейного отображения меньше или равна единице.
Карта, которая отправляет функцию $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ своему преобразованию Фурье определяет ограниченное комплексно-линейное отображение $L^{p}(\mathbb {R} ^{n}\to L^{p/(p-1)}(\mathbb {R} ^{n})$ на любое число $p$ в диапазоне $[1,2]$ . Более того, операторная норма этого линейного отображения меньше или равна единице.

Доказательство

Здесь мы используем язык нормированных векторных пространств и ограниченных линейных отображений, как удобно для применения теоремы Рисса-Торина. В доказательстве есть два ингредиента:

согласно теореме Планшереля ряд Фурье (или преобразование Фурье) определяет ограниченное линейное отображение $L^{2}\to L^{2}$ .
используя только одно равенство $|e^{-2\pi ina}|=1$ для любых действительных чисел $n$ и $a$ , можно непосредственно видеть, что ряд Фурье (или преобразование Фурье) определяет ограниченное линейное отображение $L^{1}\to L^{\infty }$ .

Операторная норма обоих линейных отображений меньше или равна единице, в чем можно непосредственно убедиться. Затем можно применить теорему Рисса–Торина .

Резкое неравенство Бекнера Хаусдорфа-Юнга

Равенство достигается в неравенстве Хаусдорфа-Юнга для (многомерных) рядов Фурье, если взять

f(x)=e^{2\pi i(m_{1}x_{1}+\cdots +m_{k}x_{k})}

для любого конкретного выбора целых чисел $m_{1},\ldots ,m_{k}.$ В приведенной выше терминологии «нормированных векторных пространств» это утверждает, что операторная норма соответствующего ограниченного линейного отображения в точности равна единице.

Поскольку преобразование Фурье во многом аналогично ряду Фурье, а приведенное выше неравенство Хаусдорфа-Юнга для преобразования Фурье доказывается точно теми же средствами, что и неравенство Хаусдорфа-Юнга для рядов Фурье, может показаться удивительным, что равенство не достигается для приведенное выше неравенство Хаусдорфа-Юнга для преобразования Фурье, за исключением частного случая $p=2$ для которого теорема Планшереля утверждает, что неравенство Хаусдорфа-Юнга является точным равенством.

Фактически, Бекнер (1975) , проследив особый случай, описанный у Бабенко (1961) , показал, что если $p$ это число в интервале $[1,2]$ , затем

{\Big (}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big |}{\widehat {f}}(\xi ){\big |}^{p'}\,d\xi {\Big )}^{1/p'}\leq {\Big (}{\frac {p^{1/p}}{(p')^{1/p'}}}{\Big )}^{n/2}{\Big (}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big |}f(x){\big |}^{p}\,dx{\Big )}^{1/p}

для любого $f$ в $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ . Это улучшение стандартного неравенства Хаусдорфа-Юнга, поскольку контекст $p\leq 2$ и $p'\geq 2$ гарантирует, что число, стоящее в правой части этого « неравенства Бабенко–Бекнера », меньше или равно 1. Более того, это число нельзя заменить меньшим, поскольку равенство достигается в случае гауссовских функций. В этом смысле статья Бекнера дает оптимальную («точную») версию неравенства Хаусдорфа-Юнга. На языке нормированных векторных пространств это говорит о том, что операторная норма ограниченного линейного отображения $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{p/(p-1)}(\mathbb {R} ^{n})$ , как определено преобразованием Фурье, в точности равно

{\Big (}{\frac {p^{1/p}}{(p')^{1/p'}}}{\Big )}^{n/2}.

Условие на показатель

Состояние $p\in [1,2]$ имеет важное значение. Если $p>2$ , то тот факт, что функция принадлежит $L^{p}$ не дает никакой дополнительной информации о порядке роста своего ряда Фурье, кроме того факта, что он находится в $\ell ^{2}$ .

Ссылки

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б Раздел XII.2 тома II книги Зигмунда.
↑ Страница 248 книги Фоллана.
^ страница 114 книги Графакоса, страница 165 книги Хёрмандера, страница 11 книги Рида и Саймона или раздел 5.1 книги Штейна и Вайса. В книгах Хёрмандера и Рида-Саймона используются соглашения для определения преобразования Фурье, отличные от принятых в этой статье.

Научные статьи

Babenko, K. Ivan (1961), "An inequality in the theory of Fourier integrals", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya , 25 : 531–542, ISSN 0373-2436 , MR 0138939 English transl., Amer. Math. Soc. Transl. (2) 44, pp. 115–128
Бекнер, Уильям (1975), «Неравенства в анализе Фурье», Annals of Mathematics , Second Series, 102 (1): 159–182, doi : 10.2307/1970980 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970980 , MR 0385456
Хаусдорф, Феликс (1923), «Распространение теоремы Парсеваля на ряды Фурье», Mathematical Journal , 16 : 163–169, doi : 10.1007/BF01175679
Янг, WH (1913), «Об определении суммируемости функции с помощью ее констант Фурье», Proc. Лондонская математика. Соц. , 12 : 71–88, doi : 10.1112/plms/s2-12.1.71

Учебники

Берг, Йоран; Лёфстрем, Йорген. Интерполяционные пространства. Введение. Основы математических наук. 223. Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк, 1976. x+207 стр.
Фолланд, Джеральд Б. Реальный анализ. Современные технологии и их применение. Второе издание. Чистая и прикладная математика (Нью-Йорк). Публикация Wiley-Interscience. John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк, 1999. xvi+386 стр. ISBN 0-471-31716-0
Графакос, Лукас. Классический анализ Фурье. Третье издание. Тексты для выпускников по математике, 249. Springer, Нью-Йорк, 2014. xviii+638 стр. ISBN 978-1-4939-1193-6 , 978-1-4939-1194-3
Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. Абстрактный гармонический анализ. Том II: Структура и анализ компактных групп. Анализ на локально компактных абелевых группах. Основные положения математических наук, том 152 Springer-Verlag, Нью-Йорк-Берлин, 1970 ix+771 стр.
Хёрмандер, Ларс. Анализ линейных операторов в частных производных. I. Теория распределения и анализ Фурье. Перепечатка второго (1990 г.) издания [Шпрингер, Берлин; МР1065993]. Классика по математике. Springer-Verlag, Берлин, 2003. x+440 стр. ISBN 3-540-00662-1
Рид, Майкл; Саймон, Барри. Методы современной математической физики. II. Фурье-анализ, самосопряженность. Academic Press [Харкорт Брейс Йованович, Издательство], Нью-Йорк-Лондон, 1975. xv+361 стр.
Штейн, Элиас М.; Вайс, Гвидо. Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах. Принстонская математическая серия, № 32. Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, 1971. x + 297 стр.
Зигмунд, А. Тригонометрический ряд. Том. Я, II. Третье издание. С предисловием Роберта А. Феффермана. Кембриджская математическая библиотека. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2002. xii; Том. I: xiv+383 стр.; Том. II: viii+364 стр. ISBN 0-521-89053-5

[fourier-1] Jump up to: ^а ^б Раздел XII.2 тома II книги Зигмунда.

[2] Страница 248 книги Фоллана.

[3] страница 114 книги Графакоса, страница 165 книги Хёрмандера, страница 11 книги Рида и Саймона или раздел 5.1 книги Штейна и Вайса. В книгах Хёрмандера и Рида-Саймона используются соглашения для определения преобразования Фурье, отличные от принятых в этой статье.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]