пространство Бохнера

В математике являются пространства Бохнера обобщением понятия $L^{p}$ пространств к функциям, значения которых лежат в банаховом пространстве , которое не обязательно является пространством $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ действительных или комплексных чисел.

Пространство $L^{p}(X)$ состоит из (классов эквивалентности) всех измеримых по Бохнеру функций $f$ со значениями в банаховом пространстве $X$ чья норма $\|f\|_{X}$ лежит в стандарте $L^{p}$ космос. Таким образом, если $X$ — набор комплексных чисел, это стандарт Лебега $L^{p}$ космос.

Почти все стандартные результаты по $L^{p}$ Пространства справедливы и для пространств Бохнера; в частности, пространства Бохнера $L^{p}(X)$ являются банаховыми пространствами для $1\leq p\leq \infty .$

Пространства Бохнера названы в честь математика Саломона Бохнера .

Определение

Учитывая пространство меры $(T,\Sigma ;\mu ),$ банахово пространство $\left(X,\|\,\cdot \,\|_{X}\right)$ и $1\leq p\leq \infty ,$ Бохнера пространство $L^{p}(T;X)$ определяется как фактор Колмогорова (по равенству почти всюду ) пространства всех измеримых по Бохнеру функций $u:T\to X$ такая, что соответствующая норма конечна:

$$\|u\|_{L^{p}(T;X)}:=\left(\int _{T}\|u(t)\|_{X}^{p}\,\mathrm {d} \mu (t)\right)^{1/p}<+\infty {\mbox{ for }}1\leq p<\infty ,$$

$$\|u\|_{L^{\infty }(T;X)}:=\mathrm {ess\,sup} _{t\in T}\|u(t)\|_{X}<+\infty .$$

Другими словами, как это обычно бывает при изучении $L^{p}$ пространства, $L^{p}(T;X)$ — пространство классов эквивалентности функций, в котором две функции считаются эквивалентными, если они равны всюду, кроме $\mu$- измерить нулевое подмножество $T.$ Как это обычно бывает при изучении таких пространств, принято злоупотреблять обозначениями и говорить о «функции» в $L^{p}(T;X)$ а не класс эквивалентности (что было бы более технически правильно).

Приложения

Пространства Бохнера часто используются в подходе функционального анализа к изучению уравнений в частных производных , которые зависят от времени, например, уравнения теплопроводности : если температура $g(t,x)$ является скалярной функцией времени и пространства, можно написать $(f(t))(x):=g(t,x)$ сделать $f$ семья $f(t)$ (параметризованных временем) функций пространства, возможно, в некотором пространстве Бохнера.

к

Очень часто пространство $T$ — это интервал времени, в течение которого мы хотим решить некоторое уравнение в частных производных, и $\mu$ будет одномерной мерой Лебега . Идея состоит в том, чтобы рассматривать функцию времени и пространства как набор функций пространства, причем этот набор параметризуется временем. Например, при решении уравнения теплопроводности на области $\Omega$ в $\mathbb {R} ^{n}$ и интервал времени $[0,T],$ человек ищет решения

$$u\in L^{2}\left([0,T];H_{0}^{1}(\Omega )\right)$$

с производной по времени

$${\frac {\partial u}{\partial t}}\in L^{2}\left([0,T];H^{-1}(\Omega )\right).$$

Здесь $H_{0}^{1}(\Omega )$ обозначает Соболева гильбертово пространство однократно слабо дифференцируемых функций с первой слабой производной по $L^{2}(\Omega )$ которые обращаются в нуль на границе Ω (в смысле следа или, что то же самое, являются пределами гладких функций с компактным носителем в Ω); $H^{-1}(\Omega )$ обозначает пространство двойственное $H_{0}^{1}(\Omega ).$

(« Частная производная » по времени $t$ выше на самом деле является полной производной , поскольку использование пространств Бохнера устраняет пространственную зависимость.)

См. также

• Интеграл Бохнера
• Измеримая функция Бохнера
• Векторная мера
• Векторнозначные функции – функция, значение которой находится в векторном пространстве; обычно реальный или сложный. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Слабо измеримая функция

Ссылки

• Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения в частных производных . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0772-2 .