Гильбертово многообразие

В математике гильбертово многообразие — это многообразие, моделируемое на основе гильбертовых пространств . Таким образом, это сепарабельное хаусдорфово пространство , в котором каждая точка имеет окрестность, гомеоморфную бесконечномерному гильбертовому пространству . Концепция гильбертова многообразия дает возможность распространить теорию многообразий на бесконечномерный случай. Аналогично конечномерной ситуации, можно определить дифференцируемое гильбертово многообразие, рассматривая максимальный атлас, в котором отображения переходов дифференцируемы.

Свойства [ править ]

Многие основные конструкции теории многообразий, такие как касательное пространство многообразия и трубчатая окрестность подмногообразия (конечной коразмерности) , переходят из конечномерной ситуации в гильбертову ситуацию с небольшими изменениями. Однако в утверждениях, касающихся отображений между многообразиями, часто приходится ограничивать рассмотрение отображениями Фредгольма , то есть отображениями, дифференциал которых в каждой точке является фредгольмовым . Причина этого в том, что лемма Сарда справедлива для отображений Фредгольма, но не вообще. Несмотря на это различие, гильбертовы многообразия обладают несколькими очень интересными свойствами.

Теорема Койпера : если $X$ является компактным топологическим пространством или имеет гомотопический тип то CW-комплекса, любое (вещественное или комплексное) расслоение гильбертова пространства над $X$ тривиально. В частности, любое гильбертово многообразие распараллеливаемо .
Каждое гладкое гильбертово многообразие можно гладко вложить в открытое подмножество модельного гильбертова пространства.
Всякая гомотопическая эквивалентность между двумя гильбертовыми многообразиями гомотопна диффеоморфизму . В частности, любые два гомотопически эквивалентных гильбертовых многообразия уже диффеоморфны. Это контрастирует с линзовыми пространствами и экзотическими сферами , которые демонстрируют, что в конечномерной ситуации гомотопическая эквивалентность, гомеоморфизм и диффеоморфизм многообразий являются разными свойствами.
Хотя теорема Сарда, вообще говоря, не верна, каждое непрерывное отображение $f:X\to \mathbb {R} ^{n}$ из гильбертова многообразия может быть произвольно близко аппроксимировано гладким отображением $g:X\to \mathbb {R} ^{n}$ который не имеет критических точек .

Примеры [ править ]

Любое гильбертово пространство $H$ является гильбертовым многообразием с единственной глобальной картой, заданной тождественной функцией на $H.$ Более того, поскольку $H$ - векторное пространство, касательное пространство $\operatorname {T} _{p}H$ к $H$ в любой момент $p\in H$ канонически изоморфен $H$ сам по себе, и поэтому имеет естественный внутренний продукт, «тот же самый», что и на $H.$ Таким образом $H$ можно задать структуру риманова многообразия с метрикой $g(v,w)(p):=\langle v,w\rangle _{H}{\text{ for }}v,w\in \mathrm {T} _{p}H,$ где $\langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle _{H}$ обозначает внутренний продукт в $H.$
Аналогично, любое открытое подмножество гильбертова пространства является гильбертовым многообразием и римановым многообразием в той же конструкции, что и все пространство.
Существует несколько пространств отображений между многообразиями, которые можно рассматривать как гильбертовы пространства, рассматривая только карты подходящего класса Соболева . Например, мы можем рассмотреть пространство $\operatorname {L} M$ из всех $H^{1}$ карты из единичного круга $\mathbf {S} ^{1}$ в коллектор $M.$ Это можно топологизировать с помощью компактной открытой топологии как подпространства пространства всех непрерывных отображений окружности в $M,$ то есть петли свободное пространство $M.$ Пространство отображения типа Соболева $\operatorname {L} M$ описанное выше гомотопически эквивалентно пространству свободных петель. Это делает его подходящим для изучения алгебраической топологии пространства свободных петель, особенно в области струнной топологии . Мы можем сделать аналогичную конструкцию Соболева для пространства петель , сделав его коразмерностью $d$ Гильбертово подмногообразие $\operatorname {L} M,$ где $d$ это размерность $M.$

См. также [ править ]

Банахово многообразие - Многообразие, смоделированное на банаховых пространствах.
Дифференцирование в пространствах Фреше
Многообразие Финслера - гладкое многообразие, оснащенное функционалом Минковского в каждом касательном пространстве.
Многообразие Фреше - топологическое пространство, смоделированное на основе пространства Фреше, во многом так же, как многообразие смоделировано на основе евклидова пространства.
Глобальный анализ - который использует гильбертовы многообразия и другие виды бесконечномерных многообразий.

Ссылки [ править ]

Клингенберг, Вильгельм (1982), Риманова геометрия , Берлин: В. де Грюйтер, ISBN 978-3-11-008673-7 . Содержит общее введение в гильбертовы многообразия и множество подробностей о пространстве свободных петель.
Ланг, Серж (1995), Дифференциальные и римановы многообразия , Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0387943381 . Еще одно введение с более дифференциальной топологией.
Н. Койпер, Гомотопический тип унитарной группы гильбертовых пространств», Топология 3, 19–30.
Дж. Иллс, К.Д. Элворти, "О дифференциальной топологии гильбертовых многообразий", Глобальный анализ. Труды симпозиумов по чистой математике, том XV, 1970, 41–44.
Дж. Иллс, К.Д. Элворти, «Открытые вложения некоторых банаховых многообразий», Annals of Mathematics 91 (1970), 465–485.
Д. Чатаур, «Бордизм-подход к струнной топологии», препринт https://arxiv.org/abs/math.at/0306080

Внешние ссылки [ править ]

Гильбертово многообразие в Атласе многообразий

v т и Риманова геометрия ( Глоссарий )
Basic concepts	Curvature tensor Scalar Ricci Sectional Exponential map Geodesic Inner product Metric tensor Levi-Civita connection Covariant derivative Signature Raising and lowering indices/Musical isomorphism Parallel transport Riemannian manifold Pseudo-Riemannian manifold Riemannian volume form
Types of manifolds	Hermitian Hyperbolic Kähler Kenmotsu
Main results	Fundamental theorem of Riemannian geometry Gauss's lemma Gauss–Bonnet theorem Hopf–Rinow theorem Nash embedding theorem Ricci flow Schur's lemma
Generalizations	Finsler Hilbert Sub-Riemannian
Applications	General relativity Geometrization conjecture Poincaré conjecture Uniformization theorem

v т и Анализ в топологических векторных пространствах
Basic concepts	Abstract Wiener space Classical Wiener space Bochner space Convex series Cylinder set measure Infinite-dimensional vector function Matrix calculus Vector calculus
Derivatives	Differentiable vector–valued functions from Euclidean space Differentiation in Fréchet spaces Fréchet derivative Total Functional derivative Gateaux derivative Directional Generalizations of the derivative Hadamard derivative Holomorphic Quasi-derivative
Measurability	Besov measure Cylinder set measure Canonical Gaussian Classical Wiener measure Measure like set functions infinite-dimensional Gaussian measure Projection-valued Vector Bochner / Weakly / Strongly measurable function Radonifying function
Integrals	Bochner Direct integral Dunford Gelfand–Pettis/Weak Regulated Paley–Wiener
Results	Cameron–Martin theorem Inverse function theorem Nash–Moser theorem Feldman–Hájek theorem No infinite-dimensional Lebesgue measure Sazonov's theorem Structure theorem for Gaussian measures
Related	Crinkled arc Covariance operator
Functional calculus	Borel functional calculus Continuous functional calculus Holomorphic functional calculus
Applications	Banach manifold (bundle) Convenient vector space Choquet theory Fréchet manifold Hilbert manifold

v т и гильбертовы пространства
Basic concepts	Adjoint Inner product and L-semi-inner product Hilbert space and Prehilbert space Orthogonal complement Orthonormal basis
Main results	Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Riesz representation
Other results	Hilbert projection theorem Parseval's identity Polarization identity (Parallelogram law)
Maps	Compact operator on Hilbert space Densely defined Hermitian form Hilbert–Schmidt Normal Self-adjoint Sesquilinear form Trace class Unitary
Examples	Cⁿ(K) with K compact & n<∞ Segal–Bargmann F