Связанный пакет

В математике теория расслоений со структурной группой. $G$ ( топологическая группа ) позволяет выполнить операцию создания связанного пучка , при котором типичный слой пучка меняется с $F_{1}$ к $F_{2}$, которые являются топологическими пространствами с групповым действием $G$. Для расслоения F со структурной группой G функции перехода слоя (т. е. коцикла ) в перекрытии двух систем координат U _α и U _β задаются как G -значная функция g _αβ на U _α ∩ U _β . Затем можно построить расслоение F ′ как новое расслоение, имеющее те же функции перехода, но, возможно, другое волокно.

Пример

В простой случай входит лента Мёбиуса , для которой $G$ – циклическая группа порядка 2, $\mathbb {Z} _{2}$. Мы можем принять как $F$ любое из: линия действительного числа $\mathbb {R}$, интервал $[-1,\ 1]$, линия действительных чисел за вычетом точки 0 или набор из двух точек $\{-1,\ 1\}$. Действие $G$ на них (неидентичный элемент, действующий как $x\ \rightarrow \ -x$в каждом случае) сопоставимы в интуитивном смысле. Мы могли бы сказать это более формально, говоря о склеивании двух прямоугольников. $[-1,\ 1]\times I$ и $[-1,\ 1]\times J$ вместе: что нам действительно нужно, так это данные для идентификации $[-1,\ 1]$к самому себе на одном конце и с поворотом на другом конце . Эти данные можно записать как функцию исправления со значениями G. в Соответствующее построение пакета — это всего лишь наблюдение, что эти данные так же хорошо подходят для $\{-1,\ 1\}$ что касается $[-1,\ 1]$.

Строительство

В целом достаточно объяснить переход от пучка с волокном $F$, на которой $G$ действует на связанный с ним главный расслоение (а именно на пучок, в котором слой $G$, считается, что он действует путем трансляции на самого себя). Тогда мы можем пойти от $F_{1}$ к $F_{2}$, через основной пакет. Подробности в виде данных для открытого покрытия даны в случае спуска .

Этот раздел организован следующим образом. Сначала мы представим общую процедуру создания ассоциированного расслоения с указанным волокном из заданного расслоения. Затем это специализируется на случае, когда указанный слой является главным однородным пространством для левого действия группы на себя, что дает соответствующее главное расслоение. Если, кроме того, на слое главного расслоения задано правое действие, мы опишем, как построить любое ассоциированное расслоение с помощью конструкции расслоенного произведения .

Связанные пакеты в целом

Позволять ${\textstyle \pi :E\to X}$— расслоение над топологическим пространством X со структурной группой G и типичным слоем F . определению существует левое действие группы G (как группы преобразований ) на слое F. По Предположим далее, что это действие эффективно . Существует локальная тривиализация расслоения E , состоящая из открытого покрытия U _i пространства X и набора слоевых отображений.

$$\varphi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times F$$

такие, что карты перехода задаются элементами G . Точнее, существуют непрерывные функции g _ij : ( U _i ∩ U _j ) → G такие, что

$$\psi _{ij}(u,f):=\varphi _{i}\circ \varphi _{j}^{-1}(u,f)={\big (}u,g_{ij}(u)f{\big )},\quad {\text{for each }}(u,f)\in (U_{i}\cap U_{j})\times F\,.$$

Пусть теперь F ′ заданное топологическое пространство, снабженное непрерывным левым действием G . Тогда расслоение , связанное с E со слоем F ′, является расслоением E ′ с локальной тривиализацией, подчиненной покрытию U _i , функции перехода которого задаются выражением

$$\psi '_{ij}(u,f')={\big (}u,g_{ij}(u)f'{\big )},\quad {\text{for each }}(u,f')\in (U_{i}\cap U_{j})\times F'\,,$$

где G -значные функции gij _{) такие же ,} ( u как и полученные в результате локальной тривиализации исходного E. расслоения Это определение явно соблюдает условие коцикла для функций перехода, поскольку в каждом случае они задаются одной и той же системой G -значных функций. (Используя другую локальную тривиализацию и, при необходимости, переходя к общему уточнению, преобразование gij _{′ ,} преобразуется через ту же кограницу.) Следовательно, по теореме о построении расслоения получается расслоение E ′ со слоем F как заявлено.

Основной пучок, связанный с пучком волокон

Как и прежде, предположим, что — расслоение со структурной группой G. E В частном случае, когда G имеет свободное и транзитивное левое действие на F ′, так что F ′ является главным однородным пространством для левого действия G на себе, тогда ассоциированное расслоение E ′ называется главным G -расслоением, ассоциированным с волокон E. пучок Если, кроме того, новый слой F ′ отождествляется с G (так что F ′ наследует как правое действие G , так и левое действие), то правое действие G на F индуцирует правое действие G на E ′ . При таком выборе отождествления E ′ становится главным расслоением в обычном смысле. Обратите внимание, что, хотя не существует канонического способа указать правое действие на главном однородном пространстве для G , любые два таких действия дадут главные расслоения, которые имеют одно и то же базовое расслоение со структурной группой G (поскольку это происходит из левого действия G ) и изоморфны как G -пространства в том смысле, что существует G -эквивариантный изоморфизм расслоений, связывающих их.

Таким образом, главный G- расслоение, снабженный правым действием, часто рассматривается как часть данных, определяющих расслоение со структурной группой G , поскольку для расслоения можно построить главный расслоение посредством соответствующей конструкции расслоения. Затем, как и в следующем разделе, можно пойти наоборот и получить любой пучок волокон, используя произведение волокон.

Пакет волокон, связанный с основным пакетом

Пусть π : P → X — главное G -расслоение и ρ : G → Homeo( F ) — непрерывное левое действие группы G на пространстве F (в гладкой категории мы должны иметь гладкое действие на гладком многообразии) . Не теряя общности, мы можем считать это действие эффективным.

Определим правое действие группы G на P × F через

$(p,f)\cdot g=(p\cdot g,\rho (g^{-1})f)\,.$

Затем мы отождествляем это действие, чтобы получить пространство E = P × _ρ F = ( P × F ) / G . Обозначим класс эквивалентности ( p , f ) через [ p , f ]. Обратите внимание, что

$[p\cdot g,f]=[p,\rho (g)f]{\mbox{ for all }}g\in G.$

Определим отображение проекции π _ρ : E → X как π _ρ ([ p , f ]) = π( p ). Обратите внимание, что это четко определено .

Тогда π _ρ : E → X — расслоение со слоем F и структурной G. группой Функции перехода задаются выражением ρ( t _ij ), где ij _— функции перехода главного расслоения P. t

Эту конструкцию тоже можно рассматривать категорично . Точнее, существуют два непрерывных отображения $P\times G\times F\to P\times F$, заданный действием G справа на P и слева на F . Соответствующее векторное расслоение $P\times _{\rho }F$ тогда является коэквалайзером этих отображений.

Сокращение структурной группы

Дополнительная информация: сокращение структурной группы.

Сопутствующей концепцией связанных пакетов является сокращение структурной группы $G$-пучок $B$. Мы спрашиваем, существует ли $H$-пучок $C$, такой, что связанный $G$-пакет это $B$, с точностью до изоморфизма . Более конкретно, это вопрос о том, являются ли данные перехода для $B$ можно последовательно записать со значениями в $H$. Другими словами, мы просим идентифицировать образ соответствующего отображения расслоения (которое на самом деле является функтором ).

Примеры сокращения

Примеры векторных расслоений включают: введение метрики , приводящей к редукции структурной группы от общей линейной группы GL( n ) к ортогональной группе O( n ); и существование комплексной структуры на вещественном расслоении, что приводит к редукции структурной группы от вещественной общей линейной группы GL(2 n , R ) к комплексной общей линейной группе GL( n , C ).

Другой важный случай — нахождение разложения векторного расслоения V ранга n в сумму Уитни (прямую сумму) подрасслоений ранга k и nk , что приводит к уменьшению структурной группы из GL( n , R ) в GL( k , р ) × GL( nk , р ).

Можно также выразить условие определения слоения как приведение касательного расслоения к подгруппе блочных матриц, но здесь редукция является лишь необходимым условием, поскольку существует условие интегрируемости , чтобы применима теорема Фробениуса .

См. также

• Спинорное расслоение

Книги

• Стинрод, Норман (1951). Топология пучков волокон . Принстон: Издательство Принстонского университета . ISBN  0-691-00548-6 .
• Хуземоллер, Дейл (1994). Пучки волокон (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер . ISBN  978-0-387-94087-8 .
• Шарп, RW (1997). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Нью-Йорк: Спрингер . ISBN  0-387-94732-9 .