Кватернионное многообразие

В дифференциальной геометрии кватернионное многообразие является кватернионным аналогом комплексного многообразия . Определение более сложное и техническое, чем определение для комплексных многообразий, отчасти из-за некоммутативности кватернионов, а отчасти из-за отсутствия подходящего исчисления голоморфных функций для кватернионов. Наиболее краткое определение использует язык G -структур на многообразии . В частности, кватернионное n- многообразие можно определить как гладкое многообразие действительной размерности 4 n, снабженное $\operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }$-состав. Более наивные, но простые определения приводят к недостатку примеров и исключают такие пространства, как кватернионное проективное пространство , которое, очевидно, следует рассматривать как кватернионные многообразия.

Ранняя история

Марселя Бергера 1955 года Статья по классификации римановых групп голономии впервые поднял вопрос о существовании несимметричных многообразий с голономией Sp( n ) · Sp(1). Интересные результаты были доказаны в середине 1960-х годов в новаторской работе Эдмонда Бонана. и Крайнес которые независимо доказали, что любое такое многообразие допускает параллельную 4-форму $\Omega$.Опубликован долгожданный аналог сильной теоремы Лефшеца в 1982 году: $\Omega ^{n-k}\wedge \bigwedge ^{2k}T^{*}M=\bigwedge ^{4n-2k}T^{*}M.$

Определения

кватернионная общая

Если мы рассмотрим кватернионное векторное пространство $\mathbb {H} ^{n}\cong \mathbb {R} ^{4n}$ как право $\mathbb {H}$-модуль , мы можем определить алгебру правого $\mathbb {H}$-линейные отображения с алгеброй $n\times n$ кватернионные матрицы , действующие на $\mathbb {H} ^{n}$ слева . Обратимое право $\mathbb {H}$-линейные карты тогда образуют подгруппу $\operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )$ из $\operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )$. Мы можем усилить эту группу с помощью группы $\mathbb {H} ^{\times }$ ненулевых кватернионов, действующих скалярным умножением на $\mathbb {H} ^{n}$ справа . Поскольку это скалярное умножение $\mathbb {R}$-линейный (но не $\mathbb {H}$-линейно) у нас есть еще одно вложение $\mathbb {H} ^{\times }$ в $\operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )$. Группа $\operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }$ затем определяется как произведение этих подгрупп в $\operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )$. Поскольку пересечение подгрупп $\operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )$ и $\mathbb {H} ^{\times }$ в $\operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )$ это их общий центр $\mathbb {R} ^{\times }$ (группа скалярных матриц с ненулевыми вещественными коэффициентами) имеем изоморфизм

$\operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }\cong (\operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\times \mathbb {H} ^{\times })/\mathbb {R} ^{\times }.$

Почти кватернионная структура

на Почти кватернионная структура гладком многообразии $M$ это просто $\operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }$-структура на $M$. Эквивалентно, его можно определить как подпучок $H$ эндоморфизмов расслоения $\operatorname {End} (TM)$ так, что каждое волокно $H_{x}$ изоморфна (как вещественная алгебра ) алгебре кватернионов $\mathbb {H}$. Подпакет $H$называется расслоением почти кватернионной структуры . Многообразие, снабженное почти кватернионной структурой, называется почти кватернионным многообразием .

Пакет кватернионных структур $H$ естественным образом допускает метрику расслоения , исходящую из структуры кватернионной алгебры, и с этой метрикой $H$ распадается в ортогональную прямую сумму векторных расслоений $H=L\oplus E$ где $L$ — тривиальное линейное расслоение через тождественный оператор, а $E$представляет собой векторное расслоение ранга 3, соответствующее чисто мнимым кватернионам. Ни пакеты $H$ или $E$ обязательно тривиальны.

сфер Пучок единичных $Z=S(E)$ внутри $E$соответствует чистым единичным мнимым кватернионам. Это эндоморфизмы касательных пространств, квадратурные к −1. Пакет $Z$ называется твисторным пространством многообразия $M$, а его свойства более подробно описаны ниже. Местные разделы $Z$являются (локально определенными) почти сложными структурами . Существует район $U$ каждой точки $x$ в почти кватернионном многообразии $M$ с целой 2-сферой почти сложных структур, определенных на $U$. Всегда можно найти $I,J,K\in \Gamma (Z|_{U})$ такой, что

$I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1$

Однако обратите внимание, что ни один из этих операторов не может быть расширен на все $M$. То есть комплект $Z$ может не допускать глобальных сечений (например, это относится к кватернионному проективному пространству $\mathbb {HP} ^{n}$). Это резко контрастирует с ситуацией для комплексных многообразий, которые всегда имеют глобально определенную почти комплексную структуру.

Кватернионная структура

Кватернионная структура на гладком многообразии $M$ представляет собой почти кватернионную структуру $Q$ допускающая без кручения аффинную связность $\nabla$ сохранение $Q$. Такое соединение никогда не является уникальным и не считается частью кватернионной структуры. Кватернионное многообразие — это гладкое многообразие. $M$ вместе с кватернионной структурой на $M$.

Особые случаи и дополнительные структуры

Гиперкомплексные многообразия

Гиперкомплексное многообразие — это кватернионное многообразие с многообразием без кручения. $\operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )$-состав. Сокращение структурной группы до $\operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )$ возможно тогда и только тогда, когда расслоение почти кватернионной структуры $H\subset \operatorname {End} (TM)$ тривиален (т.е. изоморфен $M\times \mathbb {H}$). Почти гиперкомплексная структура соответствует глобальной системе координат $H$, или, что то же самое, тройка почти сложных структур $I,J$, и $K$ такой, что

$I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1$

Гиперкомплексная структура — это почти гиперкомплексная структура, в которой каждая из $I,J$, и $K$ интегрируемы.

Кэлера

Кватернионное кэлерово многообразие — это кватернионное многообразие с пространством без кручения. $\operatorname {Sp} (n)\cdot \operatorname {Sp} (1)$-состав.

Гиперкэлеровы многообразия

Гиперкэлерово многообразие — это кватернионное многообразие с пространством без кручения. $\operatorname {Sp} (n)$-состав. Гиперкэлерово многообразие одновременно является гиперкомплексным многообразием и кватернионным кэлеровым многообразием.

Твисторное пространство

Учитывая кватернион $n$-многообразие $M$, единичное 2-сферное подрасслоение $Z=S(E)$ соответствующие чистым единичным мнимым кватернионам (или почти комплексным структурам), называется пространством твисторным $M$. Оказывается, когда $n\geq 2$, существует естественная комплексная структура на $Z$ такая, что слои проекции $Z\to M$ изоморфны $\mathbb {CP} ^{1}$. Когда $n=1$, космос $Z$допускает естественную почти комплексную структуру , но эта структура интегрируема только в том случае, если многообразие самодвойственно . Оказывается, кватернионная геометрия на $M$ можно полностью восстановить по голоморфным данным о $Z$.

Теория твисторного пространства дает метод перевода задач о кватернионных многообразиях в задачи о комплексных многообразиях, которые гораздо лучше понятны и поддаются методам алгебраической геометрии . К сожалению, твисторное пространство кватернионного многообразия может быть довольно сложным даже для таких простых пространств, как $\mathbb {H} ^{n}$.

Ссылки

• Бесс, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна . Берлин: Springer Verlag. ISBN  3-540-15279-2 .
• Джойс, Доминик (2000). Компактные многообразия со специальной голономией . Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-850601-5 .