Многообразие Адамара

В математике многообразие Адамара , названное в честь Жака Адамара — чаще называемое многообразием Картана-Адамара в честь Эли Картана — является римановым многообразием. $(M,g)$ полная , односвязная и всюду имеющая неположительную секционную кривизну . По теореме Картана–Адамара все многообразия Картана–Адамара диффеоморфны евклидову пространству. $\mathbb {R} ^{n}.$ следует Более того, из теоремы Хопфа–Ринова , что любые пары точек в многообразии Картана–Адамара могут быть соединены единственным геодезическим отрезком. Таким образом, многообразия Картана–Адамара являются одними из ближайших родственников многообразий Картана–Адамара. $\mathbb {R} ^{n}.$

Примеры

Евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ со своей обычной метрикой представляет собой многообразие Картана–Адамара с постоянной секционной кривизной, равной $0.$

Стандартный $n$-мерное гиперболическое пространство $\mathbb {H} ^{n}$ представляет собой многообразие Картана–Адамара с постоянной секционной кривизной, равной $-1.$

Свойства

В многообразиях Картана-Адамара отображение $\exp _{p}:\operatorname {T} M_{p}\to M$ является диффеоморфизмом для всех $p\in M.$

См. также

• Гипотеза Картана–Адамара
• Теорема Картана–Адамара . О строении полных римановых многообразий неположительной секционной кривизны.
• Пространство Адамара - геодезически полное метрическое пространство неположительной кривизны. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.