Калибровочная теория (математика)

В данной статье обсуждается математическая область калибровочной теории. О физической области калибровочной теории см. Калибровочная теория .

В математике , и особенно в дифференциальной геометрии и математической физике , калибровочная теория представляет собой общее исследование связей на векторных расслоениях , главных расслоениях и расслоениях . Калибровочную теорию в математике не следует путать с близкородственным понятием калибровочной теории в физике , которая представляет собой теорию поля , допускающую калибровочную симметрию . В математике теория означает математическую теорию , заключающую в себе общее исследование набора понятий или явлений, тогда как в физическом смысле калибровочная теория представляет собой математическую модель некоторого природного явления.

Калибровочная теория в математике обычно связана с изучением теоретико-калибровочных уравнений. Это дифференциальные уравнения существует сильная связь , включающие связи в векторных расслоениях или главных расслоениях или включающие сечения векторных расслоений, поэтому между калибровочной теорией и геометрическим анализом . Эти уравнения часто имеют физический смысл и соответствуют важным понятиям квантовой теории поля или теории струн , но также имеют важное математическое значение. Например, уравнения Янга-Миллса представляют собой систему уравнений в частных производных для связи на главном расслоении, а в физике решения этих уравнений соответствуют вакуумным решениям уравнений движения классической теории поля , частиц, известных как инстантоны .

Калибровочная теория нашла применение при построении новых инвариантов , гладких многообразий построении экзотических геометрических структур, таких как гиперкэлеровы многообразия , а также в предоставлении альтернативных описаний важных структур алгебраической геометрии , таких как пространства модулей векторных расслоений и когерентных пучков .

История

ДХ ​ ¹ ⊗σ ₃ коэффициент BPST-инстантона на (x ¹ ,Икс ² ) -кусок R ⁴ где σ ₃ — третья матрица Паули (вверху слева). ДХ ​ ² Коэффициент ⊗σ ₃ (справа вверху). Эти коэффициенты определяют ограничение инстантона A BPST с g=2,ρ=1,z=0 на этот срез. Соответствующая напряженность поля сосредоточена вокруг z=0 (внизу слева). Визуальное представление напряженности поля BPST-инстантона с центром z на компактификации S ⁴ Р ​ ⁴ (Нижний правый). Инстантон BPST представляет собой классическое инстантонное решение уравнений Янга–Миллса на R ⁴ .

Калибровочная теория берет свое начало еще в формулировке уравнений Максвелла, описывающих классический электромагнетизм, которые можно сформулировать как калибровочную теорию со структурной группой - группой кругов . Работы Поля Дирака о магнитных монополях и релятивистской квантовой механике породили идею о том, что расслоения и связи являются правильным способом формулировки многих проблем квантовой механики. Калибровочная теория в математической физике возникла как важная область исследований благодаря плодотворной работе Роберта Миллса и Чен-Нин Янга по так называемой калибровочной теории Янга-Миллса, которая сейчас является фундаментальной моделью, лежащей в основе стандартной модели физики элементарных частиц .

Математическое исследование калибровочной теории берет свое начало в работах Майкла Атьи , Айседора Сингера и Найджела Хитчина по уравнениям самодуальности на римановом многообразии в четырех измерениях. В этой работе было изучено пространство модулей самодуальных связностей (инстантонов) в евклидовом пространстве и показано, что оно имеет размерность $8k-3$ где $k$— положительный целочисленный параметр. Это связано с открытием физиками инстантонов BPST , вакуумных решений уравнений Янга – Миллса в четырех измерениях с $k=1$. Такие инстантоны определяются выбором 5 параметров: центр $z\in \mathbb {R} ^{4}$ и масштабировать $\rho \in \mathbb {R} _{>0}$, соответствующий $8-3=5$-мерное пространство модулей. Инстантон BPST изображен справа.

Примерно в то же время Атья и Ричард Уорд обнаружили связь между решениями уравнений самодуальности и алгебраическими расслоениями в комплексном проективном пространстве. $\mathbb {CP} ^{3}$. Еще одним важным ранним открытием стала разработка конструкции ADHM Атьей, Владимиром Дринфельдом , Хитчиным и Юрием Маниным . Эта конструкция позволила решить уравнения антиавтодуальности в евклидовом пространстве. $\mathbb {R} ^{4}$ из чисто линейных алгебраических данных.

Значительные прорывы, способствующие развитию математической калибровочной теории, произошли в начале 1980-х годов. В это время важная работа Атьи и Рауля Ботта об уравнениях Янга-Миллса над римановыми поверхностями показала, что проблемы калибровочной теории могут привести к появлению интересных геометрических структур, стимулируя развитие бесконечномерных отображений моментов , эквивариантной теории Морса и отношений между Калибровочная теория и алгебраическая геометрия. Важные аналитические инструменты геометрического анализа были разработаны в это время Карен Уленбек , которая изучала аналитические свойства соединений и кривизны, доказывая важные результаты о компактности. Наиболее значительные достижения в этой области произошли благодаря работам Саймона Дональдсона и Эдварда Виттена .

Дональдсон использовал комбинацию алгебраической геометрии и методов геометрического анализа для построения новых инвариантов четырех многообразий , теперь известных как инварианты Дональдсона . Благодаря этим инвариантам были получены новые результаты, такие как существование топологических многообразий, не допускающих гладких структур, или существование множества различных гладких структур в евклидовом пространстве. $\mathbb {R} ^{4}$можно было доказать. За эту работу Дональдсон был награжден медалью Филдса в 1986 году.

Виттен аналогичным образом наблюдал способность калибровочной теории описывать топологические инварианты, связывая величины, возникающие из теории Черна – Саймонса в трех измерениях, с полиномом Джонса , инвариантом узлов . Эта работа и открытие инвариантов Дональдсона, а также новая работа Андреаса Флоера по гомологии Флоера вдохновили на изучение топологической квантовой теории поля .

После открытия способности калибровочной теории определять инварианты многообразий популярность математической калибровочной теории возросла. Были открыты и другие инварианты, такие как инварианты Зайберга-Виттена и инварианты Вафа-Виттена . Сильные связи с алгебраической геометрией были реализованы в работах Дональдсона, Уленбека и Шинг-Тунг Яу о соответствии Кобаяши-Хитчина, связывающем соединения Янга-Миллса со стабильными векторными расслоениями . Работа Найджела Хитчина и Карлоса Симпсона над расслоениями Хиггса продемонстрировала, что пространства модулей, возникающие из калибровочной теории, могут иметь экзотические геометрические структуры, такие как структура гиперкелеровых многообразий , а также связи с интегрируемыми системами через систему Хитчина . Были реализованы связи с теорией струн и зеркальной симметрией , где калибровочная теория важна для формулировки гипотезы гомологической зеркальной симметрии и соответствия AdS/CFT .

Фундаментальные объекты, представляющие интерес

Основными объектами интереса в калибровочной теории являются связности на векторных и главных расслоениях . В этом разделе мы кратко напомним эти конструкции, а за подробностями отсылаем к основным статьям о них. Описанные здесь структуры являются стандартными в литературе по дифференциальной геометрии, а введение в эту тему с точки зрения калибровочной теории можно найти в книге Дональдсона и Питера Кронхаймера .

Основные пакеты

Основная статья: Основной пакет

Нетривиальное главное расслоение Z /2 Z над окружностью. Не существует очевидного способа определить, какая точка соответствует +1 или -1 в каждом волокне. Это расслоение нетривиально, поскольку не существует глобально определенного сечения проекции π .

Комплект рамок ${\mathcal {F}}(E)$ Мёбиуса ленты $E$ является нетривиальным принципалом $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$- связать по кругу.

Центральными объектами изучения калибровочной теории являются главные расслоения и векторные расслоения. Выбор того, что изучать, по существу произволен, поскольку между ними можно переходить, но главные расслоения являются с физической точки зрения естественными объектами для описания калибровочных полей , и математически они более элегантно кодируют соответствующую теорию связностей и кривизны для векторных расслоений, связанных с им.

со Основной пакет структурной группой $G$или директор $G$-пучок , состоит из пятерки $(P,X,\pi ,G,\rho )$ где $\pi :P\to X$ — гладкое расслоение с расслоением, изоморфным группе Ли . $G$, и $\rho$ представляет собой свободное и транзитивное правое групповое действие $G$ на $P$ который сохраняет волокна, в том смысле, что для всех $p\in P$, $\pi (pg)=\pi (p)$ для всех $g\in G$. Здесь $P$ - это общее пространство , и $X$базовое пространство . Использование правильного группового действия для каждого $x\in X$ и любой выбор ${\textstyle p\in P_{x}}$, карта $g\mapsto pg$ определяет диффеоморфизм $P_{x}\cong G$ между волокном над $x$ и группа Лия $G$как гладкие многообразия. Однако обратите внимание, что не существует естественного способа оснащения волокон $P$ со структурой групп Ли, так как нет естественного выбора элемента $p\in P_{x}$ для каждого $x\in X$.

Простейшие примеры главных расслоений приводятся, когда $G=\operatorname {U} (1)$это круговая группа . В этом случае главный расслоение имеет размерность $\dim P=n+1$ где $\dim X=n$. Другой естественный пример имеет место, когда $P={\mathcal {F}}(TX)$ — расслоение реперов касательного расслоения многообразия $X$или, в более общем смысле, расслоение кадров векторного расслоения над $X$. В этом случае волокно $P$ задается общей линейной группой $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$.

Поскольку главное расслоение является расслоением, оно локально имеет структуру произведения. То есть существует открытое покрытие $\{U_{\alpha }\}$ из $X$ и диффеоморфизмы $\varphi _{\alpha }:P_{U_{\alpha }}\to U_{\alpha }\times G$ поездка с прогнозами $\pi$ и $\operatorname {pr} _{1}$, такие, что функции перехода $g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G$ определяется $\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}(x,g)=(x,g_{\alpha \beta }(x)g)$ удовлетворять условию коцикла

$g_{\alpha \beta }(x)g_{\beta \gamma }(x)=g_{\alpha \gamma }(x)$

при любом тройном перекрытии $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\gamma }$. Чтобы определить главный расслоение, достаточно указать такой выбор функций перехода. Тогда расслоение определяется склейкой тривиальных расслоений $U_{\alpha }\times G$ вдоль перекрестков $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$с помощью функций перехода. Условие коцикла точно гарантирует, что оно определяет отношение эквивалентности в непересекающемся объединении. $\bigsqcup _{\alpha }U_{\alpha }\times G$ и, следовательно, факторпространство $P=\bigsqcup _{\alpha }U_{\alpha }\times G/{\sim }$четко определен. Это известно как теорема о построении расслоений, и тот же процесс работает для любого расслоения, описываемого функциями перехода, а не только для главных расслоений или векторных расслоений.

Обратите внимание, что выбор локального раздела $s_{\alpha }:U_{\alpha }\to P_{U_{\alpha }}$ удовлетворяющий $\pi \circ s_{\alpha }=\operatorname {Id}$является эквивалентным методом задания локальной карты тривиализации. А именно, можно определить $\varphi _{\alpha }(p)=(\pi (p),{\tilde {s}}_{\alpha }(p))$ где ${\tilde {s}}_{\alpha }(p)\in G$ — единственный элемент группы такой, что $p{\tilde {s}}_{\alpha }(p)^{-1}=s_{\alpha }(\pi (p))$.

Векторные пучки

Основная статья: Векторный расслоение

Векторный расслоение $E$ над базой $M$ с разделом $s$.

Векторное расслоение — это тройка $(E,X,\pi )$ где $\pi :E\to X$ представляет собой расслоение со слоем, заданным векторным пространством $\mathbb {K} ^{r}$ где $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$это поле. Номер $r$— ранг векторного расслоения. И снова имеется локальное описание векторного расслоения в терминах тривиализирующего открытого покрытия. Если $\{U_{\alpha }\}$ такое накрытие, то при изоморфизме

$\varphi _{\alpha }:E_{U_{\alpha }}\to U_{\alpha }\times \mathbb {K} ^{r}$

получается $r$ выдающиеся местные секции $E$ соответствующий $r$ координатные базисные векторы $e_{1},\dots ,e_{r}$ из $\mathbb {K} ^{r}$, обозначенный ${\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{r}$. Они определяются уравнением

$\varphi _{\alpha }({\boldsymbol {e}}_{i}(x))=(x,e_{i}).$

Таким образом, определение тривиализации эквивалентно предоставлению набора $r$локальные сечения, которые всюду линейно независимы, и используют это выражение для определения соответствующего изоморфизма. Такая совокупность локальных разделов называется фреймом .

Аналогично основным расслоениям получаются функции перехода $g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to \operatorname {GL} (r,\mathbb {K} )$ для векторного расслоения, определенного формулой

$\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}(x,v)=(x,g_{\alpha \beta }(x)v).$

Если взять эти функции перехода и использовать их для построения локальной тривиализации главного расслоения со слоем, равным структурной группе $\operatorname {GL} (r,\mathbb {K} )$, получим в точности расслоение фреймов $E$, директор $\operatorname {GL} (r,\mathbb {K} )$-пучок.

Связанные пакеты

Основная статья: Связанный пакет

Учитывая принципал $G$-пучок $P$ и представительство $\rho$ из $G$ в векторном пространстве $V$, можно построить ассоциированное векторное расслоение $E=P\times _{\rho }V$ со волокном векторное пространство $V$. Чтобы определить это векторное расслоение, необходимо рассмотреть правильное действие на произведение $P\times V$ определяется $(p,v)g=(pg,\rho (g^{-1})v)$ и определяет $P\times _{\rho }V=(P\times V)/G$ как факторпространство по этому действию.

С точки зрения функций перехода соответствующий пучок можно понять проще. Если главный пучок $P$ имеет функции перехода $g_{\alpha \beta }$ относительно локальной тривиализации $\{U_{\alpha }\}$, то строится связанное векторное расслоение с использованием функций перехода $\rho \circ g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to \operatorname {GL} (V)$.

Соответствующее построение расслоения может быть выполнено для любого расслоенного пространства. $F$, а не просто векторное пространство, при условии $\rho :G\to \operatorname {Aut} (F)$является групповым гомоморфизмом. Одним из ключевых примеров является присоединенный расслоение с заглавной буквы A. $\operatorname {Ad} (P)$ с волокном $G$, построенный с помощью группового гомоморфизма $\rho :G\to \operatorname {Aut} (G)$ определяется спряжением $g\mapsto (h\mapsto ghg^{-1})$. Обратите внимание, что, несмотря на наличие клетчатки $G$, присоединенное расслоение не является ни основным расслоением, ни изоморфным как расслоение расслоению $P$сам. Например, если $G$ абелева, то действие сопряжения тривиально и $\operatorname {Ad} (P)$ будет тривиально $G$- пучок волокон над $X$ независимо от того, есть или нет $P$тривиально как расслоение. Другой ключевой пример — строчными буквами. присоединенный расслоение, записанное $\operatorname {ad} (P)$ построенное с использованием присоединенного представления $\rho :G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})$ где ${\mathfrak {g}}$ является Ли алгеброй $G$.

Калибровочные преобразования

Основная статья: Преобразование калибровки

Калибровочное преобразование векторного расслоения или главного расслоения является автоморфизмом этого объекта. Для главного расслоения калибровочное преобразование состоит из диффеоморфизма $\varphi :P\to P$ поездка с оператором проекции $\pi$ и правильные действия $\rho$. Для векторного расслоения калибровочное преобразование аналогично определяется диффеоморфизмом $\varphi :E\to E$ поездка с оператором проекции $\pi$ который является линейным изоморфизмом векторных пространств на каждом слое.

Калибровочные преобразования (т. $P$ или $E$) образуют группу по составу, называемую калибровочной группой , обычно обозначаемую ${\mathcal {G}}$. Эту группу можно охарактеризовать как пространство глобальных разделов. ${\mathcal {G}}=\Gamma (\operatorname {Ad} (P))$ присоединенного расслоения, или ${\mathcal {G}}=\Gamma (\operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E)))$ в случае векторного расслоения, где ${\mathcal {F}}(E)$ обозначает пакет кадров.

Можно также определить локальное калибровочное преобразование как изоморфизм локального расслоения над тривиализирующим открытым подмножеством. $U_{\alpha }$. Это может быть однозначно указано как карта $g_{\alpha }:U_{\alpha }\to G$ (принимая $G=\operatorname {GL} (r,\mathbb {K} )$ в случае векторных расслоений), где индуцированный изоморфизм расслоения определяется формулой

$\varphi _{\alpha }(p)=pg_{\alpha }(\pi (p))$

и аналогично для векторных расслоений.

Обратите внимание, что для двух локальных тривиализаций главного расслоения над одним и тем же открытым подмножеством $U_{\alpha }$, функция перехода представляет собой в точности локальное калибровочное преобразование $g_{\alpha \alpha }:U_{\alpha }\to G$. То есть локальные калибровочные преобразования представляют собой изменения локальной тривиализации главных расслоений или векторных расслоений.

Соединения в основных пакетах

Основная статья: Подключение (основной пакет)

Основное связное соединение должно быть совместимо с правым групповым действием $G$ на $P$. Это можно представить как правильное умножение $R_{g}$переводя горизонтальные подпространства друг в друга. Эта эквивариантность горизонтальных подпространств $H\subset TP$ интерпретируется с точки зрения формы соединения $\omega$ приводит к его характерным свойствам эквивариантности.

Форма подключения основного пакета $\omega$ можно рассматривать как оператор проектирования на касательном расслоении $TP$ основного пакета $P$. Ядро формы связности задается горизонтальными подпространствами для соответствующей связности Эресмана .

Соединение на основном пучке — это метод соединения соседних волокон, позволяющий уловить понятие секции. $s:X\to P$быть постоянным или горизонтальным . Поскольку слои абстрактного главного расслоения естественным образом не отождествляются ни друг с другом, ни с расслоением $G$Сам по себе не существует канонического способа указать, какие разделы являются постоянными. Выбор локальной тривиализации приводит к одному возможному выбору, где если $P$ тривиально над множеством $U_{\alpha }$, то локальное сечение можно назвать горизонтальным, если оно постоянно относительно этой тривиализации, в том смысле, что $\varphi _{\alpha }(s(x))=(x,g)$ для всех $x\in U_{\alpha }$ и один $g\in G$. В частности, тривиальное главное расслоение $P=X\times G$ поставляется с простым подключением .

В общем случае связь задается выбором горизонтальных подпространств. $H_{p}\subset T_{p}P$ касательных пространств в каждой точке $p\in P$, такой, что в каждой точке имеется $T_{p}P=H_{p}\oplus V_{p}$ где $V$ представляет собой вертикальный расслоение, определяемое формулой $V=\ker d\pi$. Эти горизонтальные подпространства должны быть совместимы с основной структурой расслоения, требуя, чтобы горизонтальное распределение $H$ инвариантен относительно действия правой группы: $H_{pg}=d(R_{g})(H_{p})$ где $R_{g}:P\to P$ обозначает правильное умножение на $g$. Секция $s$ называется горизонтальным , если $T_{p}s\subset H_{p}$ где $s$ идентифицируется со своим изображением внутри $P$, которое является подмногообразием $P$ с касательным расслоением $Ts$. Учитывая векторное поле $v\in \Gamma (TX)$, имеется уникальный горизонтальный подъемник $v^{\#}\in \Gamma (H)$. Кривизна ​ соединения $H$ задается двойной формой со значениями в присоединенном расслоении $F\in \Omega ^{2}(X,\operatorname {ad} (P))$ определяется

$F(v_{1},v_{2})=[v_{1}^{\#},v_{2}^{\#}]-[v_{1},v_{2}]^{\#}$

где $[\cdot ,\cdot ]$— скобка Ли векторных полей . Поскольку вертикальное расслоение состоит из касательных пространств к слоям $P$ и эти слои изоморфны группе Ли $G$ касательное расслоение которого канонически отождествляется с $TG=G\times {\mathfrak {g}}$, существует единственная двузначная алгебра Ли -форма $F\in \Omega ^{2}(P,{\mathfrak {g}})$соответствующий кривизне. С точки зрения теоремы интегрируемости Фробениуса , кривизна точно измеряет степень, в которой горизонтальное распределение не может быть интегрируемым, и, следовательно, степень, в которой $H$ не получается встроить внутрь $P$ локально как горизонтальное подмногообразие.

Выбор горизонтальных подпространств может быть эквивалентно выражен оператором проектирования $\nu :TP\to V$которая является эквивариантной в правильном смысле, называемой одной формой связи . Для горизонтального распределения $H$, это определяется $\nu _{H}(h+v)=v$ где $h+v$ обозначает разложение касательного вектора по разложению в прямую сумму $TP=H\oplus V$. Из-за эквивариантности эту проекционную одну форму можно считать алгебраической со значениями, что дает некоторые $\nu \in \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})$.

Локальная тривиализация для $P$ эквивалентно задается локальным разделом $s_{\alpha }:U_{\alpha }\to P_{U_{\alpha }}$ связь однообразной и кривизной можно протянуть и по этой гладкой карте . Это дает локальному соединению единую форму $A_{\alpha }=s_{\alpha }^{*}\nu \in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {ad} (P))$ который принимает значения из пучка присоединенного $P$. Структурное уравнение Картана гласит, что кривизна может быть выражена через локальную форму $A_{\alpha }$ по выражению

$F=dA_{\alpha }+{\frac {1}{2}}[A_{\alpha },A_{\alpha }]$

где мы используем скобку Ли на расслоении алгебры Ли $\operatorname {ad} (P)$ который отождествляется с $U_{\alpha }\times {\mathfrak {g}}$ о местной тривиализации $U_{\alpha }$.

При локальном калибровочном преобразовании $g:U_{\alpha }\to G$ так что ${\tilde {A}}_{\alpha }=(g\circ s)^{*}\nu$, одноформовая форма локального соединения преобразуется по выражению

${\tilde {A}}_{\alpha }=\operatorname {ad} (g)\circ A_{\alpha }+(g^{-1})^{*}\theta$

где $\theta$ обозначает форму Маурера–Картана группы Ли. $G$. В случае, когда $G$ является матричной группой Ли , имеет место более простое выражение ${\tilde {A}}_{\alpha }=gA_{\alpha }g^{-1}-(dg)g^{-1}.$

Связности на векторных расслоениях

Основная статья: Соединение (векторный пакет)

Ковариантная производная соединения векторного расслоения может быть восстановлена ​​из его параллельного транспорта. Ценности $s(\gamma (t))$ раздела $s\in \Gamma (E)$ параллельно транспортируются по пути $\gamma$ вернуться к $\gamma (0)=x$, а затем ковариантная производная берется в фиксированном векторном пространстве, слое $E_{x}$ над $x$.

Соединение на векторном расслоении может быть задано аналогично описанному выше случаю с основными расслоениями, известное как соединение Эресмана . Однако связи векторных расслоений допускают более мощное описание в терминах дифференциального оператора. Связность на векторном расслоении — это выбор $\mathbb {K}$-линейный дифференциальный оператор

$\nabla :\Gamma (E)\to \Gamma (T^{*}X\otimes E)=\Omega ^{1}(E)$

такой, что

$\nabla (fs)=df\otimes s+f\nabla s$

для всех $f\in C^{\infty }(X)$ и разделы $s\in \Gamma (E)$. Ковариантная производная сечения $s$ в направлении векторного поля $v$ определяется

$\nabla _{v}(s)=\nabla s(v)$

где справа мы используем естественное спаривание между $\Omega ^{1}(X)$ и $TX$. Это новый раздел векторного расслоения $E$, рассматриваемый как производная от $s$ в направлении $v$. Оператор $\nabla _{v}$ – ковариантный оператор производной в направлении $v$. Кривизна ​ ​ $\nabla$ задается оператором $F_{\nabla }\in \Omega ^{2}(\operatorname {End} (E))$ со значениями в расслоении эндоморфизмов , определяемом формулой

$F_{\nabla }(v_{1},v_{2})=\nabla _{v_{1}}\nabla _{v_{2}}-\nabla _{v_{2}}\nabla _{v_{1}}-\nabla _{[v_{1},v_{2}]}.$

В локальной тривиализации внешняя производная $d$действует как тривиальная связь (соответствующая в картине основного расслоения тривиальной связи, обсуждавшейся выше). А именно для локального фрейма ${\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{r}$ один определяет

$d(s^{i}{\boldsymbol {e}}_{i})=ds^{i}\otimes {\boldsymbol {e}}_{i}$

где здесь мы использовали обозначения Эйнштейна для локального сечения $s=s^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}$.

Любые два соединения $\nabla _{1},\nabla _{2}$ отличаться на $\operatorname {End} (E)$-значная одноформенная $A$. Чтобы убедиться в этом, заметим, что разница двух соединений равна $C^{\infty }(X)$-линейный:

$(\nabla _{1}-\nabla _{2})(fs)=f(\nabla _{1}-\nabla _{2})(s).$

В частности, поскольку каждое векторное расслоение допускает связность (с использованием разбиений единицы и локальных тривиальных связностей), набор связей векторного расслоения имеет структуру бесконечномерного аффинного пространства, смоделированного на векторном пространстве. $\Omega ^{1}(\operatorname {End} (E))$. Это пространство обычно обозначается ${\mathcal {A}}$.

Применяя это наблюдение локально, каждое соединение в тривиализирующем подмножестве $U_{\alpha }$ отличается от тривиальной связи $d$ по некоторому локальному соединению в одной форме $A_{\alpha }\in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {End} (E))$, с тем свойством, которое $\nabla =d+A_{\alpha }$ на $U_{\alpha }$. В терминах этой формы локального соединения кривизну можно записать как

$F_{A}=dA_{\alpha }+A_{\alpha }\wedge A_{\alpha }$

где клиновое произведение встречается на компоненте одной формы, а эндоморфизмы составляются на компоненте эндоморфизма. Возвращаясь к теории главных расслоений, заметим, что $A\wedge A={\frac {1}{2}}[A,A]$ где справа мы теперь осуществим объединение одноформ и коммутатор эндоморфизмов.

При калибровочном преобразовании $u$ векторного расслоения $E$, связь $\nabla$ превращается в соединение $u\cdot \nabla$ по спряжению $(u\cdot \nabla )_{v}(s)=u(\nabla _{v}(u^{-1}(s))$. Разница $u\cdot \nabla -\nabla =-(\nabla u)u^{-1}$ где здесь $\nabla$ действует на эндоморфизмы $E$. При локальном калибровочном преобразовании $g$ получается то же самое выражение

${\tilde {A}}_{\alpha }=gA_{\alpha }g^{-1}-(dg)g^{-1}$

как и в случае главных расслоений.

Индуцированные связи

См. Также: Связь (основной расслоение) § Индуцированные ковариантные и внешние производные.

Связность на главном расслоении индуцирует связи на связанных векторных расслоениях. Один из способов увидеть это — использовать формы локального подключения, описанные выше. А именно, если основное связное соединение $H$ имеет локальные формы подключения $A_{\alpha }\in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {ad} (P))$, и $\rho :G\to \operatorname {Aut} (V)$ является представлением $G$ определение связанного векторного расслоения $E=P\times _{\rho }V$, то индуцированные одноформы локальной связности определяются формулой

$\rho _{*}A_{\alpha }\in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {End} (E)).$

Здесь $\rho _{*}$ — индуцированный гомоморфизм алгебры Ли из ${\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)$, и мы воспользуемся тем, что это отображение индуцирует гомоморфизм векторных расслоений $\operatorname {ad} (P)\to \operatorname {End} (E)$.

Индуцированную кривизну можно просто определить как

$\rho _{*}F_{A}\in \Omega ^{2}(U_{\alpha },\operatorname {End} (E)).$

Здесь видно, как связаны локальные выражения кривизны для главных расслоений и векторных расслоений, как скобка Ли на алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$ отправляется в коммутатор эндоморфизмов $\operatorname {End} (V)$ при гомоморфизме алгебры Ли $\rho _{*}$.

Пространство связей

Центральным объектом исследования математической калибровочной теории является пространство связностей векторного или главного расслоения. Это бесконечномерное аффинное пространство ${\mathcal {A}}$ смоделировано в векторном пространстве $\Omega ^{1}(X,\operatorname {ad} (P))$ (или $\Omega ^{1}(X,\operatorname {End} (E))$в случае векторных расслоений). Два соединения $A,A'\in {\mathcal {A}}$ называются калибровочно эквивалентными, если существует калибровочное преобразование $u$ такой, что $A'=u\cdot A$. Калибровочная теория занимается классами калибровочной эквивалентности связностей. Поэтому в некотором смысле калибровочная теория связана со свойствами факторпространства . ${\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}$, которое, вообще говоря, не является ни хаусдорфовым пространством , ни гладким многообразием .

Множество интересных свойств базового многообразия $X$ может быть закодировано в геометрии и топологии пространств модулей связностей на главных расслоениях и векторных расслоениях над $X$. Инварианты $X$, такие как инварианты Дональдсона или инварианты Зайберга – Виттена, могут быть получены путем вычисления числовых величин, полученных из пространств модулей связностей над $X$. Самым известным применением этой идеи является теорема Дональдсона , которая использует пространство модулей связностей Янга – Миллса на главном $\operatorname {SU} (2)$-расслоение на односвязном четырехмногообразии $X$изучить форму его пересечения. За эту работу Дональдсон был награжден Филдсовской медалью .

Условные обозначения

Существуют различные соглашения об обозначениях, используемые для соединений векторных и основных расслоений, которые будут обобщены здесь.

• Письмо $A$— наиболее распространенный символ, используемый для обозначения соединения в векторном или основном расслоении. Это происходит из-за того, что если кто-то выбирает фиксированное соединение $\nabla _{0}\in {\mathcal {A}}$ всех связей, то можно записать любую другую связь $\nabla =\nabla _{0}+A$ для какой-то уникальной формы $A\in \Omega ^{1}(X,\operatorname {ad} (P))$. Это также происходит от использования $A_{\alpha }$ для обозначения локальной формы связи на векторном расслоении, которая впоследствии исходит из электромагнитного потенциала $A$по физике. Иногда символ $\omega$ также используется для обозначения формы подключения, обычно в основном пакете, и обычно в этом случае $\omega$ относится к глобальной связи в одной форме $\omega \in \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})$на всем пространстве главного расслоения, а не формируются соответствующие локальные связности. Этого соглашения обычно избегают в математической литературе, поскольку оно часто противоречит использованию $\omega$ для кэлеровой формы , когда основное многообразие $X$ является кэлеровым многообразием .
• Символ $\nabla$ чаще всего используется для представления соединения на векторном расслоении в виде дифференциального оператора и в этом смысле используется взаимозаменяемо с буквой $A$. Он также используется для обозначения ковариантных операторов производной. $\nabla _{X}$. Альтернативное обозначение оператора связи и ковариантных операторов производной: $\nabla _{A}$ подчеркнуть зависимость от выбора $A\in {\mathcal {A}}$, или $D_{A}$ или $d_{A}$.
• Оператор $d_{A}$ чаще всего относится к внешней ковариантной производной связи. $A$ (и так иногда пишут $d_{\nabla }$ для связи $\nabla$). Поскольку внешняя ковариантная производная в степени 0 совпадает с регулярной ковариантной производной, саму связность или ковариантную производную часто обозначают $d_{A}$ вместо $\nabla$.
• Символ $F_{A}$ или $F_{\nabla }$чаще всего используется для обозначения кривизны соединения. Когда соединение упоминается $\omega$, кривизной называется $\Omega$ скорее, чем $F_{\omega }$. Другие конвенции включают $R$ или $R_{A}$ или $R_{\nabla }$, по аналогии с тензором римановой кривизны в римановой геометрии , который обозначается $R$.
• Письмо $H$ часто используется для обозначения главного пучкового соединения или соединения Эресмана, когда акцент должен быть сделан на горизонтальном распределении. $H\subset TP$. В этом случае оператор вертикальной проекции, соответствующий $H$ (соединение одноформовое на $P$) обычно обозначается $\omega$, или $v$, или $\nu$. Используя это соглашение, кривизну иногда обозначают $F_{H}$ подчеркнуть зависимость и $F_{H}$ может относиться либо к оператору кривизны всего пространства $F_{H}\in \Omega ^{2}(P,{\mathfrak {g}})$, или кривизна основания $F_{H}\in \Omega ^{2}(X,\operatorname {ad} (P))$.
• алгебры Ли Сопряженное расслоение обычно обозначается $\operatorname {ad} (P)$, а присоединенное к группе Ли расслоение - $\operatorname {Ad} (P)$. Это противоречит правилам теории групп Ли , где $\operatorname {Ad}$ относится к представлению $G$ на ${\mathfrak {g}}$, и $\operatorname {ad}$ относится к алгебры Ли представлению ${\mathfrak {g}}$на себе скобкой Ли . В теории групп Ли действие сопряжения (определяющее расслоение $\operatorname {Ad} (P)$) часто обозначается $\Psi _{g}$.

Словарь математической и физической терминологии

Математическая и физическая области калибровочной теории предполагают изучение одних и тех же объектов, но для их описания используют разную терминологию. Ниже приводится краткое описание того, как эти термины соотносятся друг с другом.

Сравнение понятий математической и физической калибровочной теории

Математика	Физика
Основной пакет	Инстантонный сектор или сектор заряда
Структурная группа	Группа датчиков или местная группа датчиков
Группа датчиков	Группа глобальных калибровочных преобразований или глобальная калибровочная группа
Преобразование калибра	Калибровочное преобразование или калибровочная симметрия
Изменение локальной тривиализации	Локальное преобразование калибровки
Локальная тривиализация	Измерять
Выбор локальной тривиализации	Ремонт манометра
Функционал, определенный в пространстве связей	Лагранжиан калибровочной теории
Объект не изменяется под воздействием калибровочного преобразования.	Калибровочная инвариантность
Калибровочные преобразования, ковариантно постоянные относительно связности	Глобальная калибровочная симметрия
Калибровочные преобразования, не ковариантно постоянные относительно связности	Локальная калибровочная симметрия
Связь	Манометрическое поле или калибровочный потенциал
Кривизна	Измерительная напряженность поля или напряженность поля
Индуцированная связь/ковариантная производная на ассоциированном расслоении	Минимальная связь
Раздел связанного векторного расслоения	Поле материи
Член в лагранжевом функционале, включающий несколько разных величин (например, ковариантная производная, применяемая к части связанного пакета, или умножение двух членов)	Взаимодействие
Раздел вещественного или сложного (обычно тривиального) линейного расслоения	(Действительное или комплексное) Скалярное поле

В качестве демонстрации этого словаря рассмотрим взаимодействующий член поля электрон-позитронных частиц и электромагнитного поля в лагранжиане квантовой электродинамики :

${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu },$

Математически это можно переписать

${\mathcal {L}}=\langle \psi ,({D\!\!\!\!/}_{A}-m)\psi \rangle _{L^{2}}+\|F_{A}\|_{L^{2}}^{2}$

где $A$ это соединение на принципале $\operatorname {U} (1)$ пучок $P$, $\psi$ представляет собой сечение ассоциированного спинорного расслоения и ${D\!\!\!\!/}_{A}$ – индуцированный оператор Дирака индуцированной ковариантной производной $\nabla _{A}$в этом связанном пакете. Первый член представляет собой взаимодействующий член в лагранжиане между спинорным полем (полем, представляющим электрон-позитрон) и калибровочным полем (представляющим электромагнитное поле). Второе слагаемое представляет собой регулярный функционал Янга–Миллса , описывающий основные невзаимодействующие свойства электромагнитного поля (связь $A$). Срок формы $\nabla _{A}\psi$ является примером того, что в физике называется минимальной связью, то есть простейшим возможным взаимодействием между полем материи $\psi$ и калибровочное поле $A$.

-

Основная статья: уравнения Янга – Миллса

Смотрите также: теория Янга – Миллса

Преобладающей теорией, которая встречается в математической калибровочной теории, является теория Янга – Миллса. Эта теория предполагает изучение связей, которые являются критическими точками функционала Янга–Миллса, определяемого формулой

$\operatorname {YM} (A)=\int _{X}\|F_{A}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}$

где $(X,g)$ представляет собой ориентированное риманово многообразие с $d\mathrm {vol} _{g}$ риманова форма объема и $\|\cdot \|^{2}$ а $L^{2}$-норма на присоединенном пучке $\operatorname {ad} (P)$. Этот функционал представляет собой квадрат $L^{2}$-норма кривизны соединения $A$, поэтому критическими точками этой функции являются соединения с минимально возможной кривизной (или с более высокими локальными минимумами $\operatorname {YM}$).

Эти критические точки характеризуются как решения связанных с ними уравнений Эйлера–Лагранжа , уравнений Янга–Миллса.

$d_{A}\star F_{A}=0$

где $d_{A}$ — индуцированная внешняя ковариантная производная $\nabla _{A}$ на $\operatorname {ad} (P)$ и $\star$— оператор звезды Ходжа . Такие решения называются связями Янга – Миллса и представляют значительный геометрический интерес.

Тождество Бьянки утверждает, что для любой связи $d_{A}F_{A}=0$. По аналогии с дифференциальными формами гармоническая форма $\omega$ характеризуется состоянием

$d\star \omega =d\omega =0.$

Если определить гармоническую связь условием, что

$d_{A}\star F_{A}=d_{A}F_{A}=0$

тогдашнее изучение связей Янга–Миллса по своему характеру сходно с изучением гармонических форм. Теория Ходжа предоставляет уникального гармонического представителя каждого когомологий де Рама. класса $[\omega ]$. Замена класса когомологий калибровочной орбитой $\{u\cdot A\mid u\in {\mathcal {G}}\}$, исследование связей Янга – Миллса можно рассматривать как попытку найти уникальных представителей для каждой орбиты в факторпространстве. ${\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}$ связей по модулю калибровочных преобразований.

антисамодуальности

В четвертом измерении оператор звезды Ходжа отправляет две формы в две формы, $\star :\Omega ^{2}(X)\to \Omega ^{2}(X)$и квадраты к тождественному оператору, $\star ^{2}=\operatorname {Id}$. Таким образом, звезда Ходжа, действующая в двух формах, имеет собственные значения $\pm 1$, а две формы на ориентированном римановом четырехмногообразии распадаются в прямую сумму

$\Omega ^{2}(X)=\Omega _{+}(X)\oplus \Omega _{-}(X)$

на самодуальную и антисамодвойственную две формы, заданные $+1$ и $-1$собственные пространства оператора звезды Ходжа соответственно. То есть, $\alpha \in \Omega ^{2}(X)$ является самодвойственным, если $\star \alpha =\alpha$, и антисамодвойственный, если $\star \alpha =-\alpha$, и каждая дифференциальная двуформа допускает расщепление $\alpha =\alpha _{+}+\alpha _{-}$ на самодуальную и антисамодуальную части.

Если кривизна соединения $A$ на главном расслоении над четырехмногообразием самодуален или антиавтодуален, то по тождеству Бьянки $d_{A}\star F_{A}=\pm d_{A}F_{A}=0$, поэтому соединение автоматически становится соединением Янга – Миллса. Уравнение

$\star F_{A}=\pm F_{A}$

представляет собой уравнение в частных производных первого порядка для связи $A$, и поэтому его проще изучать, чем полное уравнение Янга – Миллса второго порядка. Уравнение $\star F_{A}=F_{A}$ называется уравнением самодуальности , а уравнением $\star F_{A}=-F_{A}$ называется уравнением антиавтодуальности , а решениями этих уравнений являются самодуальные связи или антиавтодуальные связи соответственно.

Уменьшение размеров

Один из способов получения новых и интересных калибровочных уравнений — применить процесс уменьшения размерностей к уравнениям Янга–Миллса. Этот процесс включает в себя использование уравнений Янга – Миллса на многообразии. $X$ (обычно принимают за евклидово пространство $X=\mathbb {R} ^{4}$), и предполагая, что решения уравнений будут инвариантны относительно группы трансляционных или других симметрий. Благодаря этому процессу уравнения Янга – Миллса приводят к уравнениям Богомольного , описывающим монополи на $\mathbb {R} ^{3}$, уравнения Хитчина , описывающие расслоения Хиггса на римановых поверхностях , и уравнения Нама на вещественных интервалах путем наложения симметрии относительно сдвигов в одном, двух и трех направлениях соответственно.

Калибровочная теория в одном и двух измерениях

Здесь уравнения Янга–Миллса, когда базовое многообразие $X$имеет низкую размерность. В этом случае уравнения резко упрощаются из-за того, что в первом измерении нет двух-форм, а во втором измерении звездный оператор Ходжа на двух-формах действует как $\star :\Omega ^{2}(X)\to C^{\infty }(X)$.

-

Уравнения Янга–Миллса можно изучать непосредственно на многообразии размерности два. Теория уравнений Янга-Миллса, когда базовое многообразие представляет собой компактную риманову поверхность, была разработана Майклом Атьей и Раулем Боттом . В этом случае пространство модулей связностей Янга–Миллса над комплексным векторным расслоением $E$допускает различные богатые интерпретации, и эта теория служит простейшим случаем для понимания уравнений в более высоких измерениях. Уравнения Янга–Миллса в этом случае принимают вид

$\star F_{A}=\lambda (E)\operatorname {Id} _{E}$

для некоторой топологической константы $\lambda (E)\in \mathbb {C}$ в зависимости от $E$. Такие связности называются проективно плоскими , а в случае, когда векторное расслоение топологически тривиально (поэтому $\lambda (E)=0$) это именно плоские связи.

Когда ранг и степень векторного расслоения взаимно просты , пространство модулей ${\mathcal {M}}$связностей Янга–Миллса гладко и имеет естественную структуру симплектического многообразия . Атья и Ботт заметили, что, поскольку связности Янга–Миллса проективно плоские, их голономия дает проективные унитарные представления фундаментальной группы поверхности, так что это пространство имеет эквивалентное описание как пространство модулей проективных унитарных представлений фундаментальной группы поверхности. Риманова поверхность, многообразие характеров . Теорема Нарасимхана и Сешадри дает альтернативное описание этого пространства представлений как пространства модулей стабильных голоморфных векторных расслоений , гладко изоморфных $E$. Благодаря этому изоморфизму пространство модулей связностей Янга–Миллса приобретает сложную структуру, которая взаимодействует с симплектической структурой Атьи и Ботта, превращая его в компактное кэлерово многообразие.

Саймон Дональдсон дал альтернативное доказательство теоремы Нарасимхана и Сешадри, которое напрямую перешло от связей Янга – Миллса к стабильным голоморфным структурам. Атья и Ботт использовали эту переформулировку проблемы, чтобы пролить свет на тесную связь между экстремальными связями Янга – Миллса и устойчивостью векторных расслоений как бесконечномерного отображения моментов для действия калибровочной группы. ${\mathcal {G}}$, заданный картой кривизны $A\mapsto F_{A}$сам. Это наблюдение формулирует теорему Нарасимхана-Сешадри как своего рода бесконечномерную версию теоремы Кемпфа-Несса из геометрической теории инвариантов , связывающую критические точки квадрата нормы отображения моментов (в данном случае связей Янга-Миллса) со стабильными точками. на соответствующем алгебраическом факторе (в данном случае стабильных голоморфных векторных расслоениях). Эта идея впоследствии оказала большое влияние на калибровочную теорию и сложную геометрию с момента ее появления.

Взял уравнения

Основная статья: Принял уравнения

Уравнения Нама, введенные Вернером Намом , получены как размерная редукция антиавтодуальности в четырех измерениях к одному измерению путем наложения трансляционной инвариантности в трех направлениях. Конкретно требуется, чтобы связь имела форму $A=A_{0}\,dx^{0}+A_{1}\,dx^{1}+A_{2}\,dx^{2}+A_{3}\,dx^{3}$ не зависит от координат $x^{1},x^{2},x^{3}$. В этой постановке уравнения Нама между системой уравнений на отрезке $I\subset \mathbb {R}$ для четырех матриц $T_{0},T_{1},T_{2},T_{3}\in C^{\infty }(I,{\mathfrak {g}})$ удовлетворяющее тройке уравнений

${\begin{cases}{\frac {dT_{1}}{dt}}+[T_{0},T_{1}]+[T_{2},T_{3}]=0\\{\frac {dT_{2}}{dt}}+[T_{0},T_{2}]+[T_{3},T_{1}]=0\\{\frac {dT_{3}}{dt}}+[T_{0},T_{3}]+[T_{1},T_{2}]=0.\end{cases}}$

Нам было показано, что решения этих уравнений (которые можно получить довольно легко, поскольку они представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений ) можно использовать для построения решений уравнений Богомольного , описывающих монополи на $\mathbb {R} ^{3}$. Найджел Хитчин показал, что решения уравнений Богомольного можно использовать для построения решений уравнений Нама, показав, что решения этих двух проблем эквивалентны. Дональдсон далее показал, что решения уравнений Нама эквивалентны рациональным отображениям степени $k$ от комплексной проективной прямой $\mathbb {CP} ^{1}$ себе, где $k$ – заряд соответствующего магнитного монополя.

Пространство модулей решений уравнений Нама имеет структуру гиперкэлова многообразия.

Уравнения Хитчина

Основная статья: уравнения Хитчина

Уравнения Хитчина, представленные Найджелом Хитчиным , получены как размерное сокращение уравнений самодуальности в четырех измерениях до двух измерений путем введения трансляционной инвариантности в двух направлениях. В этой настройке два дополнительных компонента формы соединения $A_{3}\,dx^{3}+A_{4}\,dx^{4}$ можно объединить в один комплекснозначный эндоморфизм $\Phi =A_{3}+iA_{4}$, и в такой формулировке уравнения становятся конформно-инвариантными , и поэтому их естественно изучать на компактной римановой поверхности, а не на $\mathbb {R} ^{2}$. Уравнения Хитчина гласят, что для пары $(A,\Phi )$ на комплексном векторном расслоении $E\to \Sigma$ где $\Phi \in \Omega ^{1,0}(\Sigma ,\operatorname {End} (E))$, что

${\begin{cases}F_{A}+[\Phi ,\Phi ^{*}]=0\\{\bar {\partial }}_{A}\Phi =0\end{cases}}$

где ${\bar {\partial }}_{A}$ это $(0,1)$-компонент $d_{A}$. Решения уравнений Хитчина называются парами Хитчина .

В то время как решения уравнений Янга-Миллса на компактной римановой поверхности соответствуют проективным унитарным представлениям группы поверхностей, Хитчин показал, что решения уравнений Хитчина соответствуют проективным комплексным представлениям группы поверхностей. Пространство модулей пар Хитчина естественным образом имеет (когда ранг и степень расслоения взаимно просты) структуру кэлерова многообразия. С помощью аналога наблюдения Атьи и Ботта об уравнениях Янга–Миллса Хитчин показал, что пары Хитчина соответствуют так называемым стабильным расслоениям Хиггса , где расслоение Хиггса — это пара $(E,\Phi )$ где $E\to \Sigma$ является голоморфным векторным расслоением и $\Phi :E\to E\otimes K$ является голоморфным эндоморфизмом $E$ со значениями в каноническом расслоении римановой поверхности $\Sigma$. Это показано посредством построения бесконечномерного отображения моментов, и это пространство модулей расслоений Хиггса также имеет сложную структуру, которая отличается от структуры, исходящей от пар Хитчина, что приводит к двум комплексным структурам в пространстве модулей. ${\mathcal {M}}$расслоений Хиггса. В совокупности они дают третье, что делает это пространство модулей гиперкэлеровым многообразием .

Работа Хитчина впоследствии была широко обобщена Карлосом Симпсоном , а соответствие между решениями уравнений Хитчина и расслоениями Хиггса над произвольным кэлером многообразием известно как неабелева теорема Ходжа .

Калибровочная теория в трёх измерениях

Монополии

Основная статья: уравнения Богомольного

Размерная редукция уравнений Янга–Миллса к трехмерным путем введения трансляционной инвариантности в одном направлении приводит к уравнениям Богомольного для пары $(A,\Phi )$ где $\Phi :\mathbb {R} ^{3}\to {\mathfrak {g}}$ представляет собой семейство матриц. Уравнения

$F_{A}=\star d_{A}\Phi .$

Когда главный пучок $P\to \mathbb {R} ^{3}$ имеет структурную группу $\operatorname {U} (1)$группа кругов , решения уравнений Богомольного моделируют монополь Дирака, описывающий магнитный монополь в классическом электромагнетизме. Работа Нама и Хитчина показывает, что когда структурная группа является специальной унитарной группой $\operatorname {SU} (2)$ решения уравнений монополя соответствуют решениям уравнений Нама, а согласно работе Дональдсона они далее соответствуют рациональным отображениям из $\mathbb {CP} ^{1}$ себе степени $k$ где $k$есть заряд монополя. Эта плата определяется как предел

$\lim _{R\to \infty }\int _{S_{R}}(\Phi ,F_{A})=4\pi k$

интеграла спаривания $(\Phi ,F_{A})\in \Omega ^{2}(\mathbb {R} ^{3})$ над сферами $S_{R}$ в $\mathbb {R} ^{3}$ увеличения радиуса $R$.

Chern–Simons theory

Основная статья: теория Черна – Саймонса

Теория Черна-Саймонса в трех измерениях представляет собой топологическую квантовую теорию поля с функционалом действия, пропорциональным интегралу формы Черна-Саймонса , трехформы, определяемой формулой

$\operatorname {Tr} (F_{A}\wedge A-{\frac {1}{3}}A\wedge A\wedge A).$

Классические решения уравнений Эйлера–Лагранжа функционала Черна–Саймонса на замкнутом трехмерном многообразии $X$ соответствуют плоским связям на главной $G$-пучок $P\to X$. Однако, когда $X$имеет границу, ситуация усложняется. Теория Черна-Саймонса использовалась Эдвардом Виттеном для выражения полинома Джонса , инварианта узла, через вакуумное математическое ожидание Вильсона петли в $\operatorname {SU} (2)$ Теория Черна – Саймонса о трехсфере $S^{3}$. Это была яркая демонстрация способности задач калибровочной теории обеспечить новое понимание топологии и один из первых примеров топологической квантовой теории поля .

При квантовании классической теории Черна – Саймонса изучаются индуцированные плоские или проективно плоские связности на главном расслоении, ограниченном поверхностями. $\Sigma \subset X$внутри 3-многообразия. Классические пространства состояний, соответствующие каждой поверхности, являются в точности пространствами модулей уравнений Янга – Миллса, изученных Атьей и Боттом. Геометрическое квантование этих пространств было достигнуто Найджелом Хитчиным и Аксельродом-Деллой Пьетра-Виттеном независимо, а в случае, когда структурная группа комплексна, конфигурационное пространство представляет собой пространство модулей расслоений Хиггса, и его квантование было достигнуто Виттеном.

Гомология Флоера

Смотрите также: гомология Флоера

Андреас Флоер ввел тип гомологии на 3-многообразиях, определенный аналогично гомологиям Морса в конечных измерениях. В этой теории гомологии функция Морса представляет собой функционал Черна – Саймонса в пространстве связей на $\operatorname {SU} (2)$ главное расслоение над 3-многообразием $X$. Критическими точками являются плоские соединения, а линии тока определяются как инстантоны Янга–Миллса на $M\times I$которые ограничиваются критическими плоскими соединениями на двух граничных компонентах. Это приводит к инстантонной гомологии Флоера . Гипотеза Атьи – Флоера утверждает, что инстантонные гомологии Флоера согласуются с лагранжевыми пересечениями Флоера гомологиями пространства модулей плоских связностей на поверхности. $\Sigma \subset X$ определяя Хегора расщепление $X$, что является симплектическим по наблюдениям Атьи и Ботта.

По аналогии с инстантонными гомологиями Флёра можно определить гомологии Флёера Зайберга–Виттена , в которых инстантоны заменяются решениями уравнений Зайберга–Виттена . По работам Клиффорда Таубса известно, что он изоморфен вложенным контактным гомологиям, а затем гомологиям Хегаарда Флоера.

теория в

Калибровочная теория наиболее интенсивно изучалась в четырех измерениях. Здесь математическое исследование калибровочной теории существенно пересекается с ее физическим происхождением, поскольку стандартную модель физики элементарных частиц можно рассматривать как квантовую теорию поля в четырехмерном пространстве-времени . Изучение задач калибровочной теории в четырех измерениях естественным образом приводит к изучению топологической квантовой теории поля . Такие теории представляют собой физические калибровочные теории, которые нечувствительны к изменениям римановой метрики основного четырехмногообразия и, следовательно, могут использоваться для определения топологических (или гладких) инвариантов многообразия.

Уравнения антисамодуальности

См. Также: уравнения Янга – Миллса и теорема Дональдсона.

В четырех измерениях уравнения Янга – Миллса допускают упрощение до уравнений антиавтодуальности первого порядка. $\star F_{A}=-F_{A}$ для связи $A$ на основном пакете $P\to X$ над ориентированным римановым четырехмногообразием $X$. Эти решения уравнений Янга–Миллса представляют собой абсолютные минимумы функционала Янга–Миллса, а высшие критические точки соответствуют решениям $d_{A}\star F_{A}=0$которые не возникают из антисамодвойственных связей. Пространство модулей решений уравнений антиавтодуальности ${\mathcal {M}}_{P}$, позволяет вывести полезные инварианты относительно лежащего в основе четырехмерного многообразия.

Кобордизмы, заданные пространством модулей антиавтодуальных связностей в теореме Дональдсона

Эта теория наиболее эффективна в том случае, когда $X$просто связано . Например, в этом случае теорема Дональдсона утверждает, что если четырехмерное многообразие имеет отрицательно определенную форму пересечения (4-многообразие) и если главное расслоение имеет структурную группу, то специальная унитарная группа $\operatorname {SU} (2)$ и второй класс Черна $c_{2}(P)=1$, то пространство модулей ${\mathcal {M}}_{P}$ пятимерен и дает кобордизм между $X$ себя и несвязный союз $b_{2}(X)$ копии $\mathbb {CP} ^{2}$с обратной ориентацией. Отсюда следует, что форма пересечения такого четырехмногообразия диагонализуема. Существуют примеры односвязных топологических четырехмногообразий с недиагонализируемой формой пересечения, такие как многообразие E8 , поэтому теорема Дональдсона подразумевает существование топологических четырехмногообразий без гладкой структуры . Это резко контрастирует с двумя или тремя измерениями, в которых топологические структуры и гладкие структуры эквивалентны: любое топологическое многообразие размерности меньше или равной 3 имеет уникальную гладкую структуру.

Подобные методы использовались Клиффордом Таубсом и Дональдсоном, чтобы показать, что евклидово пространство $\mathbb {R} ^{4}$допускает несчетное множество различных гладких структур. Это резко контрастирует с любым другим измерением, кроме четырех, где евклидово пространство имеет уникальную гладкую структуру.

Расширение этих идей приводит к теории Дональдсона , которая строит дальнейшие инварианты гладких четырехмерных многообразий из пространств модулей связностей над ними. Эти инварианты получены путем оценки классов когомологий в пространстве модулей по сравнению с фундаментальным классом показывающей ориентируемость и компактность пространства модулей , который существует благодаря аналитической работе Карен Уленбек , Таубса и Дональдсона, .

Когда четырехмногообразие является кэлеровым многообразием или алгебраической поверхностью и главное расслоение имеет исчезающий первый класс Черна, уравнения антиавтодуальности эквивалентны эрмитовым уравнениям Янга – Миллса на комплексном многообразии $X$. Соответствие Кобаяши -Хитчина , доказанное для алгебраических поверхностей Дональдсоном и в целом Уленбеком и Яу, утверждает, что решения уравнений HYM соответствуют стабильным голоморфным векторным расслоениям . Эта работа дала альтернативное алгебраическое описание пространства модулей и его компактификации, поскольку пространство модулей полустабильных голоморфных векторных расслоений над комплексным многообразием является проективным многообразием и, следовательно, компактным. Это указывает на то, что одним из способов компактификации пространства модулей связностей является добавление связностей, соответствующих полустабильным векторным расслоениям, так называемых почти эрмитовых связей Янга – Миллса .

Зайберга

Основная статья: Инварианты Зайберга – Виттена

Во время исследования суперсимметрии в четырех измерениях Эдвард Виттен и Натан Зайберг обнаружили систему уравнений, которая теперь называется уравнениями Зайберга – Виттена, для связи $A$ и спинорное поле $\psi$. В этом случае четырехмногообразие должно допускать спин ^С структура , которая определяет основной спин ^С пучок $P$ с детерминантным линейным пучком $L$и связанное с ним спинорное расслоение $S^{+}$. Связь $A$ включен $L$, и спинорное поле $\psi \in \Gamma (S^{+})$. Уравнения Зайберга – Виттена имеют вид

${\begin{cases}F_{A}^{+}=\psi \otimes \psi ^{*}-{\frac {1}{2}}|\psi |^{2}\\d_{A}\psi =0.\end{cases}}$

Решения уравнений Зайберга–Виттена называются монополями. Пространство модулей решений уравнений Зайберга–Виттена ${\mathcal {M}}_{\sigma }$ где $\sigma$обозначает выбор спиновой структуры, используется для вывода инвариантов Зайберга – Виттена. Уравнения Зайберга – Виттена имеют преимущество перед уравнениями антиавтодуальности в том, что сами уравнения можно слегка исказить, чтобы придать пространству модулей решений лучшие свойства. Для этого к первому уравнению добавляется произвольная самодвойственная двуформа. Для общего выбора метрики $g$на базовом четырехмногообразии и выборе возмущающей двухформы пространство модулей решений представляет собой компактное гладкое многообразие. В хороших обстоятельствах (когда коллектор $X$имеет простой тип ), это пространство модулей нульмерно: конечный набор точек. Инвариант Зайберга–Виттена в этом случае — это просто количество точек в пространстве модулей. Инварианты Зайберга – Виттена можно использовать для доказательства многих из тех же результатов, что и инварианты Дональдсона, но часто с более простыми доказательствами, которые применимы в большей общности.

теория в

Янга

Основная статья: эрмитовые уравнения Янга – Миллса

Особый класс связностей Янга–Миллса можно изучать над кэлеровыми многообразиями или эрмитовыми многообразиями . Эрмитовы уравнения Янга–Миллса обобщают уравнения антиавтодуальности, встречающиеся в четырехмерной теории Янга–Миллса, на голоморфные векторные расслоения над эрмитовыми комплексными многообразиями в любом измерении. Если $E\to X$ — голоморфное векторное расслоение над компактным кэлеровым многообразием $(X,\omega )$, и $A$ является эрмитовой связностью на $E$ относительно некоторой эрмитовой метрики $h$. Эрмитовые уравнения Янга – Миллса имеют вид

${\begin{cases}F_{A}^{0,2}=0\\\Lambda _{\omega }F_{A}=\lambda (E)\operatorname {Id} _{E},\end{cases}}$

где $\lambda (E)\in \mathbb {C}$ является топологической константой, зависящей от $E$. Их можно рассматривать либо как уравнение эрмитовой связи. $A$ или для соответствующей эрмитовой метрики $h$ со связанным соединением Черна $A$. В четырех измерениях уравнения HYM эквивалентны уравнениям ASD. В двух измерениях уравнения HYM соответствуют уравнениям Янга – Миллса, рассмотренным Атьей и Боттом. Соответствие Кобаяши – Хитчина утверждает, что решения уравнений HYM соответствуют полистабильным голоморфным векторным расслоениям. В случае компактных римановых поверхностей это теорема Нарасимхана и Сешадри, доказанная Дональдсоном. Для алгебраических поверхностей это было доказано Дональдсоном, а в целом — Карен Уленбек и Шинг-Тунг Яу . Эта теорема обобщена Симпсоном в неабелевой теореме Ходжа и фактически является ее частным случаем, когда поле Хиггса расслоения Хиггса $(E,\Phi )$ устанавливается на ноль.

Исключительные

Эффективность решений уравнений Янга–Миллса при определении инвариантов четырехмногообразий вызвала интерес к тому, что они могут помочь различать исключительные многообразия голономии , такие как многообразия G2 в размерности 7 и многообразия Spin(7) в размерности 8, а также родственные структуры, такие как 6-многообразия Калаби – Яу и почти кэлеровы многообразия .

Теория струн

Новые калибровочные проблемы возникают из моделей теории суперструн . В таких моделях Вселенная является 10-мерной, состоящей из четырех измерений регулярного пространства-времени и 6-мерного многообразия Калаби – Яу. В таких теориях поля, действующие на струны, живут на расслоениях над этими пространствами более высоких размерностей, и нас интересуют связанные с ними теоретико-калибровочные проблемы. Например, предел естественных теорий поля в теории суперструн, когда радиус струны приближается к нулю (так называемый предел большого объема ) в 6-мерном многообразии Калаби – Яу, задается эрмитовыми уравнениями Янга – Миллса на этом многообразии. Отойдя от предела большого объема, получаем деформированное эрмитово уравнение Янга–Миллса , которое описывает уравнения движения D-браны в B-модели теории суперструн. Зеркальная симметрия предсказывает, что решения этих уравнений должны соответствовать специальным лагранжевым подмногообразиям зеркально-двойственного Калаби – Яу.

См. также

• Калибровочная теория
• Введение в калибровочную теорию
• Группа датчиков (математика)
• Калибровочная симметрия (математика)
• Теория Янга – Миллса
• Уравнения Янга – Миллса