Введение в калибровочную теорию

Эта статья представляет собой нетехническое введение в предмет. Основную статью энциклопедии см. в разделе Калибровочная теория .

Калибровочная теория — это разновидность теории в физике . Слово «калибровка» означает измерение , толщину, промежуточное расстояние (как в железнодорожных путях ) или результирующее количество единиц на определенный параметр (количество петель в дюйме ткани или количество свинцовых шариков в фунте). боеприпасов ). Современные теории описывают физические силы в терминах полей , например, электромагнитное поле , гравитационное поле и поля, которые описывают силы между элементарными частицами . Общая особенность этих теорий поля состоит в том, что фундаментальные поля не могут быть измерены напрямую; однако некоторые связанные величины можно измерить, например, заряды, энергии и скорости. Например, вы не можете измерить диаметр свинцового шарика, но можете определить, сколько свинцовых шариков, одинаковых во всех отношениях, требуется для изготовления фунта. Используя количество шариков, плотность свинца и формулу расчета объема сферы по ее диаметру, можно было косвенно определить диаметр одного свинцового шарика.

В теориях поля разные конфигурации ненаблюдаемых полей могут приводить к одинаковым наблюдаемым величинам . Преобразование одной такой конфигурации поля в другую называется калибровочным преобразованием ; отсутствие изменения измеримых величин, несмотря на преобразование поля, — это свойство, называемое калибровочной инвариантностью . Например, если бы вы могли измерить цвет свинцовых шариков и обнаружить, что при изменении цвета вы по-прежнему помещаете то же количество шариков в фунт, свойство «цвет» показало бы калибровочную инвариантность . Поскольку любой вид инвариантности относительно преобразования поля считается симметрией , калибровочную инвариантность иногда называют калибровочной симметрией . Обычно любая теория, обладающая свойством калибровочной инвариантности, считается калибровочной теорией.

Например, в электромагнетизме электрическое поле E и магнитное поле B наблюдаются, а потенциалы V («напряжение») и A ( векторный потенциал ) — нет. добавляется константа При калибровочном преобразовании, при котором к V , никаких наблюдаемых изменений в E или B не происходит .

С появлением квантовой механики в 1920-х годах и последовательными достижениями в квантовой теории поля важность калибровочных преобразований неуклонно росла. Калибровочные теории накладывают ограничения на законы физики, поскольку все изменения, вызванные калибровочным преобразованием, должны компенсировать друг друга, если их записать в терминах наблюдаемых величин. В течение 20-го века физики постепенно осознали, что все силы ( фундаментальные взаимодействия ) возникают из-за ограничений, налагаемых локальными калибровочными симметриями , и в этом случае преобразования изменяются от точки к точке в пространстве и времени . Пертурбативная квантовая теория поля (обычно используемая в теории рассеяния) описывает силы в терминах частиц, передающих силу, называемых калибровочными бозонами . Природа этих частиц определяется характером калибровочных преобразований. Кульминацией этих усилий является Стандартная модель , квантовая теория поля, которая точно предсказывает все фундаментальные взаимодействия, кроме гравитации .

История и значение

Самой ранней теорией поля, имеющей калибровочную симметрию, была Максвеллом формулировка электродинамики в 1864–1865 годах (« Динамическая теория электромагнитного поля »). Важность этой симметрии оставалась незамеченной в самых ранних формулировках. Точно так же незаметно Гильберт вывел уравнения общей теории относительности Эйнштейна, постулируя симметрию при любом изменении координат, как раз в тот момент, когда Эйнштейн завершал свою работу. Позже Герман Вейль Эйнштейна , вдохновленный успехом общей теории относительности , в 1919 году предположил (как оказалось, ошибочно), что инвариантность при изменении масштаба или «колеи» (термин, вдохновленный различной шириной колеи железных дорог) также может быть локальная симметрия электромагнетизма. Хотя выбор Вейлем калибра был неправильным, название «калибровка» закрепилось за этим подходом. После развития квантовой механики Вейль, Фок и Лондон изменили свой выбор калибровки, заменив масштабный коэффициент изменением фазы волны и успешно применив его к электромагнетизму. Калибровочная симметрия была математически обобщена в 1954 году Чэнь Нин Яном и Робертом Миллсом в попытке описать сильные ядерные взаимодействия . Эта идея, получившая название теории Янга-Миллса , позже нашла применение в квантовой теории поля слабого взаимодействия и ее объединение с электромагнетизмом в электрослабой теории.

Важность калибровочных теорий для физики проистекает из их огромного успеха в обеспечении единой основы для описания -механического поведения электромагнетизма квантово , слабого взаимодействия и сильного взаимодействия . Эта калибровочная теория, известная как Стандартная модель , точно описывает экспериментальные предсказания относительно трех из четырех фундаментальных сил природы.

В классической физике

Электромагнетизм

Основная статья: Крепление манометра

Исторически первым примером открытой калибровочной симметрии был классический электромагнетизм . Статическое электрическое поле можно описать с помощью электрического потенциала (напряжения, $V$), которая определена в каждой точке пространства, и в практической работе принято считать Землю физической точкой отсчета, определяющей нулевой уровень потенциала, или землю . Но физически измеримы только различия потенциалов, поэтому вольтметр должен иметь два щупа и может регистрировать только разность напряжений между ними. Таким образом, можно выбрать определение всех разностей напряжений относительно какого-либо другого стандарта, а не относительно Земли, что приведет к добавлению постоянного смещения. Если потенциал $V$ является решением уравнений Максвелла , то после этого калибровочного преобразования новый потенциал $V\rightarrow V+C$ также является решением уравнений Максвелла, и никакой эксперимент не сможет различить эти два решения. Другими словами, законы физики, управляющие электричеством и магнетизмом (то есть уравнения Максвелла), инвариантны относительно калибровочных преобразований. Уравнения Максвелла обладают калибровочной симметрией.

Обобщая статическое электричество на электромагнетизм, мы имеем второй потенциал, магнитный векторный потенциал A , который также может подвергаться калибровочным преобразованиям. Эти преобразования могут быть локальными. То есть вместо добавления константы к V можно добавить функцию, которая принимает разные значения в разных точках пространства и времени. Если А также изменить определенным образом, то в результате возникнут те же поля Е (электрическое) и В (магнитное). Подробная математическая связь между полями E и B и потенциалами V и A приведена в статье «Фиксация калибровки » вместе с точным изложением природы калибровочного преобразования. Важным моментом здесь является то, что поля остаются прежними при калибровочном преобразовании, и поэтому уравнения Максвелла по-прежнему удовлетворяются.

Калибровочная симметрия тесно связана с сохранением заряда . Предположим, что существует некоторый процесс, с помощью которого можно на короткое время нарушить сохранение заряда, создав заряд q в определенной точке пространства 1, переместив его в какую-то другую точку 2, а затем уничтожив его. Мы могли бы представить, что этот процесс соответствует закону сохранения энергии. Мы могли бы сформулировать правило, утверждающее, что создание заряда требует ввода энергии E ₁ = qV ₁ , а его разрушение высвобождает E ₂ = qV ₂ , что казалось бы естественным, поскольку qV измеряет дополнительную энергию, запасаемую в электрическом поле из-за существования заряд в определенный момент. Вне интервала, в течение которого существует частица, сохранение энергии будет соблюдаться, поскольку чистая энергия, выделяемая при рождении и разрушении частицы, qV ₂ - qV ₁ , будет равна работе, совершаемой при перемещении частицы из 1 в 2, qV ₂ - qV ₁ . Но хотя этот сценарий и спасает сохранение энергии, он нарушает калибровочную симметрию. Калибровочная симметрия требует, чтобы законы физики были инвариантны относительно преобразования $V\rightarrow V+C$Это означает, что ни один эксперимент не должен быть в состоянии измерить абсолютный потенциал без ссылки на какой-либо внешний стандарт, такой как электрическое заземление. Но предложенные правила E ₁ = qV ₁ и E ₂ = qV ₂ для энергий создания и разрушения позволили бы экспериментатору определить абсолютный потенциал, просто сравнивая затраты энергии, необходимые для создания заряда q в определенной точке пространства. в случае, когда потенциал $V$ и $V+C$ соответственно. Вывод состоит в том, что если сохраняется калибровочная симметрия и сохраняется энергия, то и заряд должен сохраняться.

Декартова координатная сетка на этом квадрате была искажена преобразованием координат, так что существует нелинейная связь между старыми (x,y) координатами и новыми. Уравнения общей теории относительности Эйнштейна все еще действительны в новой системе координат. Такие изменения системы координат являются калибровочными преобразованиями общей теории относительности.

Общая теория относительности

Как обсуждалось выше, калибровочные преобразования для классической (т. е. неквантовомеханической) общей теории относительности представляют собой произвольные преобразования координат. Технически преобразования должны быть обратимыми, и как преобразование, так и обратное ему должно быть гладким в том смысле, что его можно дифференцировать произвольное количество раз.

Пример симметрии в физической теории: трансляционная инвариантность

Некоторые глобальные симметрии при изменении координат возникли еще до общей теории относительности и концепции калибровки. Например, Галилей и Ньютон ввели понятие трансляционной инвариантности. , развитие аристотелевской концепции о том, что разные места в космосе, например, земля и небо, подчиняются разным физическим правилам.

Предположим, например, что один наблюдатель исследует свойства атома водорода на Земле, другой — на Луне (или в любом другом месте Вселенной), наблюдатель обнаружит, что их атомы водорода проявляют совершенно одинаковые свойства. Опять же, если бы один наблюдатель исследовал атом водорода сегодня, а другой — 100 лет назад (или в любое другое время в прошлом или будущем), оба эксперимента снова дали бы совершенно идентичные результаты. Инвариантность свойств атома водорода относительно времени и места, где эти свойства исследовались, называется трансляционной инвариантностью.

Вспоминая двух наших наблюдателей разного возраста: время в их экспериментах сдвинуто на 100 лет. Если время, когда старший наблюдатель проводил эксперимент, было t , время современного эксперимента равно t +100 лет. Оба наблюдателя открывают одни и те же законы физики. Поскольку свет атомов водорода в далеких галактиках может достичь Земли после путешествия в космосе в течение миллиардов лет, фактически можно проводить такие наблюдения, охватывающие периоды времени почти вплоть до Большого взрыва , и они показывают, что законы физика всегда была одинаковой.

Другими словами, если в теории мы изменим время t на t +100 лет (или любой другой временной сдвиг), теоретические предсказания не изменятся.

Другой пример симметрии: инвариантность уравнения поля Эйнштейна при произвольных преобразованиях координат.

Эйнштейна В общей теории относительности такие координаты, как x , y , z и t, являются не только «относительными» в глобальном смысле таких переводов, как $t\rightarrow t+C$, вращения и т. д., но становятся совершенно произвольными, так что, например, можно определить совершенно новую времяподобную координату в соответствии с каким-то произвольным правилом, таким как $t\rightarrow t+t^{3}/t_{0}^{2}$, где $t_{0}$ имеет измерения времени, и тем не менее уравнения Эйнштейна будут иметь ту же форму.

Инвариантность формы уравнения относительно произвольного преобразования координат принято называть общей ковариантностью , а уравнения, обладающие этим свойством, называют записанными в ковариантной форме. Общая ковариация является частным случаем калибровочной инвариантности.

Уравнения Максвелла также могут быть выражены в общековариантной форме, которая так же инвариантна относительно общего преобразования координат, как и уравнение поля Эйнштейна.

В квантовой механике

Квантовая электродинамика

До появления квантовой механики единственным хорошо известным примером калибровочной симметрии был электромагнетизм, и общее значение этой концепции не было полностью понято. Например, неясно, являются ли поля Е и В или потенциалы V и А фундаментальными величинами ; если первое, то калибровочные преобразования можно было бы рассматривать как не более чем математический трюк.

Эксперимент Ааронова-Бома

Двухщелевая дифракционная и интерференционная картина

Основная статья: эффект Ааронова – Бома

В квантовой механике такую ​​частицу, как электрон, также называют волной. Например, если эксперимент с двумя щелями провести с электронами, то наблюдается волнообразная интерференционная картина. Электрон имеет наибольшую вероятность быть обнаруженным в тех местах, где части волны, проходящие через две щели, находятся в фазе друг с другом, что приводит к конструктивной интерференции . Частота электронной волны связана с кинетической энергией отдельной электронной частицы квантово-механическим соотношением E = hf . Если в этом эксперименте нет ни электрического, ни магнитного поля, то энергия электрона постоянна, и, например, будет большая вероятность обнаружить электрон вдоль центральной оси эксперимента, где по симметрии две части волна находится в фазе.

Но теперь предположим, что электроны в эксперименте находятся под действием электрических или магнитных полей. Например, если бы электрическое поле было наложено с одной стороны оси, а не с другой, это повлияет на результаты эксперимента. Часть электронной волны, проходящая через эту сторону, колеблется с другой скоростью, поскольку - эВ к ее энергии добавилось , где - е - заряд электрона, а V - электрический потенциал. Результаты эксперимента будут разными, поскольку фазовые соотношения между двумя частями электронной волны изменились, а значит, места конструктивной и деструктивной интерференции будут смещены в ту или иную сторону. Здесь имеет место именно электрический потенциал, а не электрическое поле, и это является проявлением того, что именно потенциалы, а не поля имеют фундаментальное значение в квантовой механике.

Схема двухщелевого эксперимента, в котором можно наблюдать эффект Ааронова-Бома: электроны проходят через две щели, интерферируя на экране наблюдения, при этом интерференционная картина смещается при магнитного поля B включении в цилиндрическом соленоиде, отмеченном синим цветом на рисунке. диаграмма.

Пояснение с потенциалами

Возможны даже случаи, когда результаты эксперимента различаются при изменении потенциалов, даже если ни одна заряженная частица никогда не подвергалась воздействию другого поля. Одним из таких примеров является эффект Ааронова-Бома , показанный на рисунке. В этом примере включение соленоида вызывает только существование магнитного поля B внутри соленоида. Но соленоид расположен так, что электрон не может пройти через его внутреннюю часть. Если бы кто-то считал, что поля являются фундаментальными величинами, то можно было бы ожидать, что результаты эксперимента не изменятся. В действительности результаты иные, поскольку включение соленоида изменило векторный потенциал А в области, через которую проходят электроны. Теперь, когда установлено, что фундаментальными являются именно потенциалы V и A , а не поля E и B , мы можем видеть, что калибровочные преобразования, изменяющие V и A , имеют реальный физический смысл, а не просто математический смысл. артефакты.

Калибровочная инвариантность: результаты экспериментов не зависят от выбора калибровки потенциалов.

Обратите внимание, что в этих экспериментах единственной величиной, влияющей на результат, является разность фаз между двумя частями электронной волны. Предположим, мы представляем себе две части электронной волны как крошечные часы, каждая из которых имеет одну стрелку, которая движется по кругу, отслеживая свою собственную фазу. Хотя в этом мультфильме игнорируются некоторые технические детали, он сохраняет важные здесь физические явления. Если оба часа ускорить на одинаковую величину, фазовое соотношение между ними не изменится и результаты экспериментов будут одинаковыми. Более того, нет даже необходимости изменять скорость каждого такта на фиксированную величину. Мы могли бы изменить угол стрелки на каждых часах на разную величину θ, где θ может зависеть как от положения в пространстве, так и от времени. Это не повлияло бы на результат эксперимента, поскольку окончательное наблюдение местоположения электрона происходит в одном месте и в одно и то же время, так что фазовый сдвиг в «часах» каждого электрона был бы одинаковым, и оба эффекта бы аннулировать. Это еще один пример калибровочного преобразования: оно локально и не меняет результатов экспериментов.

Краткое содержание

Таким образом, калибровочная симметрия приобретает всю свою важность в контексте квантовой механики. В приложении квантовой механики к электромагнетизму, т. е. к квантовой электродинамике , калибровочная симметрия применима как к электромагнитным волнам, так и к электронным волнам. Эти две калибровочные симметрии на самом деле тесно связаны. Если, например, к электронным волнам применить калибровочное преобразование θ, то необходимо применить соответствующее преобразование и к потенциалам, описывающим электромагнитные волны. Калибровочная симметрия необходима для того, чтобы сделать квантовую электродинамику перенормируемой теорией, т. е. такой, в которой расчетные предсказания всех физически измеримых величин конечны.

Виды калибровочных симметрий

Описание электронов в приведенном выше подразделе как маленьких часов на самом деле является формулировкой математических правил, согласно которым фазы электронов должны складывать и вычитать: их следует рассматривать как обычные числа, за исключением случая, когда результат расчета выходит за пределы диапазона 0≤θ<360°, мы заставляем его «завернуться» в разрешенный диапазон, охватывающий круг. Другими словами, фазовый угол, скажем, 5° считается полностью эквивалентным углу в 365°. Эксперименты подтвердили это проверяемое утверждение об интерференционных картинах, образуемых электронными волнами. За исключением свойства «зацикливания», алгебраические свойства этой математической структуры точно такие же, как и у обычных действительных чисел.

В математической терминологии электронные фазы при присоединении образуют абелеву группу , называемую группой круга или U (1). «Абелев» означает, что сложение коммутирует , так что θ + φ = φ + θ. Группа означает, что сложение связано и имеет идентификационный элемент , а именно «0». Кроме того, для каждой фазы существует обратная, такая что сумма фазы и ее обратной равна 0. Другими примерами абелевых групп являются целые числа при сложении 0 и отрицании, а также ненулевые дроби при произведении 1 и обратном.

Фиксация манометра скрученного цилиндра

Чтобы наглядно проиллюстрировать выбор калибра, подумайте, можно ли определить, был ли цилиндр перекручен. Мы не можем сказать, нет ли на цилиндре неровностей, пятен или царапин. Однако мы могли бы нарисовать произвольную кривую вдоль цилиндра, определяемую некоторой функцией θ( x ), где x измеряет расстояние вдоль оси цилиндра. Как только этот произвольный выбор (выбор калибра) сделан, становится возможным обнаружить его, если кто-то позже повернет цилиндр.

В 1954 году Чэнь Нин Ян и Роберт Миллс предложили обобщить эти идеи на некоммутативные группы. Некоммутативная калибровочная группа может описывать поле, которое, в отличие от электромагнитного поля, взаимодействует само с собой. Например, общая теория относительности утверждает, что гравитационные поля обладают энергией, а специальная теория относительности приходит к выводу, что энергия эквивалентна массе. Следовательно, гравитационное поле индуцирует дальнейшее гравитационное поле. Ядерные силы также обладают этим свойством самодействия.

Калибровочные бозоны

Удивительно, но калибровочная симметрия может дать более глубокое объяснение существования взаимодействий, таких как электрическое и ядерное. Это возникает из-за калибровочной симметрии, связанной с тем фактом, что все частицы данного типа экспериментально неотличимы друг от друга. Представьте себе, что Алиса и Бетти — однояйцевые близнецы, помеченные при рождении браслетами с буквами «А» и «Б». Поскольку девочки идентичны, никто не сможет сказать, поменялись ли они местами при рождении; метки A и B произвольны и могут быть заменены местами. Такая постоянная смена их тождеств подобна глобальной калибровочной симметрии. Существует также соответствующая локальная калибровочная симметрия, которая описывает тот факт, что в любой момент Алиса и Бетти могут поменяться ролями, пока никто не смотрит, и никто не сможет этого сказать. Если мы заметим, что любимая мамина ваза разбита, мы можем только сделать вывод, что вина лежит на том или ином близнеце, но мы не можем сказать, на 100% ли вина лежит на Алисе и на 0% на Бетти, или наоборот. Если Алиса и Бетти на самом деле являются квантовомеханическими частицами, а не людьми, то они также обладают волновыми свойствами, в том числе свойством суперпозиция , которая позволяет произвольно добавлять, вычитать и смешивать волны. Из этого следует, что мы не ограничены даже полной сменой идентичности. Например, если мы наблюдаем, что определенное количество энергии существует в определенном месте в пространстве, не существует эксперимента, который мог бы сказать нам, состоит ли эта энергия из 100% А и 0% Б, 0% А и 100% Б или 20% энергии. % А и 80% Б или какая-то другая смесь. Тот факт, что симметрия является локальной, означает, что мы не можем даже рассчитывать на то, что эти пропорции останутся неизменными по мере распространения частиц в пространстве. Детали того, как это представляется математически, зависят от технических вопросов, связанных со спинами частиц, но для наших нынешних целей мы рассматриваем бесспиновую частицу, для которой оказывается, что смешивание может быть задано произвольным выбором калибровки θ( x ), где угол θ = 0° представляет собой 100 % A и 0 % B, θ = 90 ° означает 0 % A и 100 % B, а промежуточные углы представляют собой смеси.

Согласно принципам квантовой механики, частицы на самом деле не имеют траекторий в пространстве. Движение можно описать только с помощью волн, а импульс p отдельной частицы связан с ее длиной волны λ соотношением p = h / λ . С точки зрения эмпирических измерений длину волны можно определить только путем наблюдения за изменением волны между одной точкой пространства и другой близлежащей точкой (математически, путем дифференцирования ). Волна с более короткой длиной волны колеблется быстрее и, следовательно, быстрее меняется между соседними точками. Теперь предположим, что мы произвольно фиксируем датчик в одной точке пространства, говоря, что энергия в этом месте составляет 20% энергии А и 80% энергии В. Затем мы измеряем две волны в какой-то другой, близлежащей точке, чтобы определить их длины волн. Но есть две совершенно разные причины, по которым волны могли измениться. Они могли измениться, потому что колебались с определенной длиной волны, или они могли измениться, потому что калибровочная функция изменилась со смеси 20–80 на, скажем, 21–79. Если мы проигнорируем вторую возможность, полученная теория не будет работать; проявятся странные несоответствия в импульсе, нарушающие принцип сохранения импульса. Что-то в теории надо изменить.

Опять же, существуют технические проблемы, связанные со спином, но в нескольких важных случаях, включая электрически заряженные частицы и частицы, взаимодействующие посредством ядерных сил, решение проблемы состоит в том, чтобы приписать физическую реальность калибровочной функции θ( x ). Мы говорим, что если функция θ колеблется, то она представляет собой новый тип квантово-механической волны, и эта новая волна имеет свой собственный импульс p = h / λ , который, как оказывается, исправляет несоответствия, которые в противном случае нарушили бы сохранение импульса. . В контексте электромагнетизма частицы A и B будут заряженными частицами, такими как электроны, а квантово-механическая волна, представленная θ, будет электромагнитным полем. (Здесь мы игнорируем технические проблемы, возникающие в связи с тем фактом, что электроны на самом деле имеют спин 1/2, а не нулевой спин. Это чрезмерное упрощение является причиной того, что калибровочное поле θ оказывается скаляром, тогда как электромагнитное поле фактически представлено вектор, состоящий из V и A. ) В результате у нас есть объяснение наличию электромагнитных взаимодействий: если мы попытаемся построить калибровочно-симметричную теорию идентичных, невзаимодействующих частиц, результат не будет самосогласованным, и можно исправить только добавлением электрических и магнитных полей, которые заставляют частицы взаимодействовать.

Хотя функция θ( x ) описывает волну, законы квантовой механики требуют, чтобы она также обладала свойствами частицы. В случае электромагнетизма частицей, соответствующей электромагнитным волнам, является фотон. В общем, такие частицы называются калибровочными бозонами , где термин «бозон» относится к частице с целым спином. В простейших версиях теории калибровочные бозоны безмассовы, но можно построить и версии, в которых они обладают массой. Так обстоит дело с калибровочными бозонами, которые несут слабое взаимодействие: силу, ответственную за ядерный распад.

Дальнейшее чтение

Эти книги предназначены для широкого круга читателей и содержат минимум математических знаний.

• 'т Хоофт, Джерард : «Калибровочные теории силы между элементарными частицами», Scientific American , 242(6):104–138 (июнь 1980 г.).
• «Пресс-релиз: Нобелевская премия по физике 1999 года» . Нобелевская премия . Nobel Media AB 2013. 20 августа 2013 г.
• Шумм, Брюс (2004) Вещи в глубине . Издательство Университета Джонса Хопкинса. Серьезная попытка физика объяснить калибровочную теорию и Стандартную модель.
• Фейнман, Ричард (2006) QED: Странная теория света и материи . Издательство Принстонского университета. Нетехническое описание квантовой теории поля (не конкретно калибровочной теории).