Теория Зайберга – Виттена

О приложениях к 4-многообразиям см. Инварианты Зайберга – Виттена .

В теоретической физике теория Зайберга-Виттена представляет собой ${\mathcal {N}}=2$ суперсимметричная калибровочная теория с точным низкоэнергетическим эффективным действием (для безмассовых степеней свободы), кинетическая часть которой совпадает с кэлеровым потенциалом пространства модулей вакуума . Прежде чем предпринимать эффективные действия с низким энергопотреблением, теория известна как ${\mathcal {N}}=2$ суперсимметричной теории Янга–Миллса , поскольку содержание поля представляет собой единое ${\mathcal {N}}=2$ векторный супермультиплет , аналогичный полевому содержанию теории Янга-Миллса, представляющему собой единое векторное калибровочное поле (на языке теории частиц) или соединение (на геометрическом языке).

Теория подробно изучалась Натаном Зайбергом и Эдвардом Виттеном (Seiberg & Witten 1994 ).

Кривые Зайберга – Виттена

Вообще говоря, эффективные лагранжианы суперсимметричных калибровочных теорий во многом определяются их голоморфными (на самом деле мероморфными ) свойствами и их поведением вблизи особенностей . В калибровочной теории с ${\mathcal {N}}=2$ расширенная суперсимметрия , пространство модулей вакуума представляет собой специальное кэлерово многообразие , и его кэлеров потенциал ограничен вышеуказанными условиями.

В оригинальном подходе По Зайбергу и Виттену , ограничения голоморфности и электромагнитной двойственности достаточно сильны, чтобы почти однозначно ограничивать препотенциал ${\mathcal {F}}$ (голоморфная функция, определяющая теорию) и, следовательно, метрика пространства модулей вакуума для теорий с SU (2) калибровочной группой .

В более общем плане рассмотрим пример с калибровочной группой SU(n) . Классический потенциал – это

$V(x)={\frac {1}{g^{2}}}\operatorname {Tr} [\phi ,{\bar {\phi }}]^{2}\,$ ( 1 )

где $\phi$ — скалярное поле, возникающее в разложении суперполей теории. Потенциал должен обращаться в нуль в пространстве модулей вакуума по определению, но $\phi$ не нужно. Вакуумное ожидание математическое $\phi$ может быть повернута в подалгебру Картана , что делает ее бесследовой диагональной комплексной матрицей. $a$.

Потому что поля $\phi$ больше не имеют исчезающего вакуумного среднего значения, другие поля становятся массивными из-за механизма Хиггса ( спонтанное нарушение симметрии ). Они интегрированы, чтобы найти эффективный ${\mathcal {N}}=2$ Калибровочная теория U(1). с двумя производными и четырьмя фермионами Его низкоэнергетическое действие задается лагранжианом , который можно выразить через одну голоморфную функцию ${\mathcal {F}}$ на ${\mathcal {N}}=1$ суперпространство следующим образом:

${\mathcal {L}}_{\text{eff}}^{\mathrm {U} (1)}={\frac {1}{4\pi }}\operatorname {Im} \left[\int d^{4}\theta {\frac {d{\mathcal {F}}}{dA}}{\bar {A}}+\int d^{2}\theta {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}{\mathcal {F}}}{dA^{2}}}W_{\alpha }W^{\alpha }\right]\,$ ( 3 )

где

${\mathcal {F}}={\frac {i}{2\pi }}{\mathcal {A}}^{2}\operatorname {\ln } {\frac {{\mathcal {A}}^{2}}{\Lambda ^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\mathcal {F}}_{k}{\frac {\Lambda ^{4k}}{{\mathcal {A}}^{4k}}}{\mathcal {A}}^{2}\,$ ( 4 )

и $A$ является киральным суперполем на ${\mathcal {N}}=1$ суперпространство, которое помещается внутри ${\mathcal {N}}=2$ киральный мультиплет ${\mathcal {A}}$.

Первый член представляет собой расчет пертурбативного цикла, а второй — инстантонную часть, где $k$ метки фиксированные номера инстантонов. В теориях, калибровочные группы которых являются произведениями унитарных групп, ${\mathcal {F}}$ можно точно вычислить с помощью локализации и методы предельной формы.

Потенциал Кэлера является кинетической частью низкоэнергетического действия и явно записывается в терминах ${\mathcal {F}}$ как

$K(A,{\bar {A}})=\mathrm {Im} \left({\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial A}}{\bar {A}}\right).$ ( 5 )

От ${\mathcal {F}}$ мы можем получить массу частиц БПС .

$M\approx |na+ma_{D}|\,$ ( 6 )

$a_{D}={\frac {d{\mathcal {F}}}{da}}\,$ ( 7 )

Один из способов интерпретировать это состоит в том, что эти переменные $a$ и его двойственный элемент может быть выражен как периоды мероморфного дифференциала на римановой поверхности, называемой кривой Зайберга – Виттена.

N = 2 суперсимметричная теория Янга – Миллса

Прежде чем будет достигнут предел низкой энергии или инфракрасного диапазона, действие можно выразить в терминах лагранжиана по ${\mathcal {N}}=2$ суперпространство с содержимым полей $\Psi$, который является единственным ${\mathcal {N}}=2$ векторное/киральное суперполе в присоединенном представлении калибровочной группы и голоморфная функция ${\mathcal {F}}$ из $\Psi$ называется препотенциалом. Тогда лагранжиан имеет вид $${\mathcal {L}}_{SYM2}=\mathrm {Im} \mathrm {Tr} \left({\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}\theta d^{2}\vartheta {\mathcal {F}}(\Psi )\right)$$ где $\theta ,\vartheta$ являются координатами спинорных направлений суперпространства. Как только будет достигнут нижний энергетический предел, ${\mathcal {N}}=2$ суперполе $\Psi$ обычно обозначается ${\mathcal {A}}$ вместо.

Так называемая минимальная теория задается конкретным выбором ${\mathcal {F}}$, $${\mathcal {F}}(\psi )={\frac {1}{2}}\tau \Psi ^{2},$$ где $\tau$ – комплексная константа связи.

Минимальную теорию можно записать в пространстве-времени Минковского как $${\mathcal {L}}={\frac {1}{g^{2}}}\mathrm {Tr} \left(-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+g^{2}{\frac {\theta }{32\pi ^{2}}}F_{\mu \nu }*F^{\mu \nu }+(D_{\mu }\phi )^{\dagger }(D^{\mu }\phi )-{\frac {1}{2}}[\phi ,\phi ^{\dagger }]^{2}-i\lambda \sigma ^{\mu }D_{\mu }{\bar {\lambda }}-i{\bar {\psi }}{\bar {\sigma }}^{\mu }D_{\mu }\psi -i{\sqrt {2}}[\lambda ,\psi ]\phi ^{\dagger }-i{\sqrt {2}}[{\bar {\lambda }},{\bar {\psi }}]\phi \right)$$ с $A_{\mu },\lambda ,\psi ,\phi$ составляя ${\mathcal {N}}=2$ киральный мультиплет.

Геометрия пространства модулей

Для этого раздела зафиксируйте группу датчиков как $\mathrm {SU(2)}$. Низкоэнергетическое вакуумное решение – это ${\mathcal {N}}=2$ векторное суперполе ${\mathcal {A}}$ решение уравнений движения низкоэнергетического лагранжиана, для которого скалярная часть $\phi$ имеет исчезающий потенциал, который, как упоминалось ранее, имеет место, если $[\phi ,\phi ^{\dagger }]=0$ (что именно означает $\phi$ — нормальный оператор и, следовательно, диагонализуем). Скаляр $\phi$ преобразуется в сопряженном, то есть его можно идентифицировать как элемент ${\mathfrak {su}}(2)_{\mathbb {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$, усложнение ​ ${\mathfrak {su}}(2)$. Таким образом $\phi$ бесследен и диагонализуем, поэтому его можно калибровочно повернуть до (находится в классе сопряженности ) матрицы вида ${\frac {1}{2}}a\sigma _{3}$ (где $\sigma _{3}$ — третья матрица Паули ) для $a\in \mathbb {C}$. Однако, $a$ и $-a$ дают сопряженные матрицы (соответствующие тому, что Вейля группа $\mathrm {SU} (2)$ является $\mathbb {Z} _{2}$), поэтому оба обозначают один и тот же вакуум. Таким образом, калибровочно-инвариантная величина, обозначающая неэквивалентный вакуум, равна $u=a^{2}/2=\mathrm {Tr} \phi ^{2}$. (Классическое) пространство модулей вакуума представляет собой одномерное комплексное многообразие (риманову поверхность), параметризованное формулой $u$, хотя метрика Кэлера задается через $a$ как $$ds^{2}=\mathrm {Im} {\frac {\partial ^{2}{\mathcal {F}}}{\partial a^{2}}}dad{\bar {a}}=\mathrm {Im} da_{D}d{\bar {a}}=-{\frac {i}{2}}(da_{D}d{\bar {a}}-dad{\bar {a}}_{D})=:\mathrm {Im} \tau (a)dad{\bar {a}},$$

где $a_{D}={\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial a}}$. Это не инвариантно относительно произвольной замены координат, а обусловлено симметрией $a$ и $a_{D}$, переход на локальную координату $a_{D}$ дает метрику, аналогичную окончательной форме, но с другой гармонической функцией, заменяющей $\mathrm {Im} \tau (a)$. Переключение двух координат можно интерпретировать как пример электромагнитного дуализма (Seiberg & Witten 1994 ).

При минимальном предположении, что в пространстве модулей имеется только три особенности в точке $u=-1,+1$ и $\infty$, с предписанными данными монодромии в каждой точке, полученными из аргументов квантовой теории поля, пространство модулей ${\mathcal {M}}$ было обнаружено, что $H/\Gamma (2)$, где $H$ - гиперболическая полуплоскость и $\Gamma (2)<\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ — вторая главная конгруэнтная подгруппа , подгруппа матриц, конгруэнтных 1 по модулю 2, порожденная $$M_{\infty }={\begin{pmatrix}-1&2\\0&-1\end{pmatrix}},M_{1}={\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}},M_{-1}={\begin{pmatrix}-1&2\\-2&3\end{pmatrix}}.$$ Это пространство представляет собой шестикратное накрытие фундаментальной области модулярной группы и допускает явное описание как параметризацию пространства эллиптических кривых. $E_{u}$ обусловленное исчезновением $$y^{2}=(x-1)(x+1)(x-u),$$ которые представляют собой кривые Зайберга–Виттена . Кривая становится сингулярной именно тогда, когда $u=-1,+1$ или $\infty$.

График метрической функции $\mathrm {Im} \tau (u)$ в пространстве модулей, параметризованном $u$, с явными особенностями при $u=-1,+1$. Функция $\tau$ определяется с помощью полного эллиптического интеграла первого рода (Хантер-Джонс 2012 ).

Монопольная конденсация и удержание

Теория демонстрирует физические явления, включающие и связывающие магнитные монополи , конфайнмент , достигнутый массовый разрыв и сильную-слабую двойственность, описанные в разделе 5.6 работы Зайберга и Виттена ( 1994 ). Изучение этих физических явлений также послужило мотивом для создания теории инвариантов Зайберга – Виттена .

Низкоэнергетическое действие описывается формулой ${\mathcal {N}}=2$ киральный мультиплет ${\mathcal {A}}$ с группой датчиков $\mathrm {U} (1)$, остаточная неразбитая калибровка от оригинала $\mathrm {SU} (2)$ симметрия. Это описание слабо связано для больших $u$, но сильно связан для небольших $u$. Однако в точке сильной связи теория допускает двойственное описание, которое является слабо связанным. Дуальная теория имеет различное полевое содержание: две ${\mathcal {N}}=1$ киральные суперполя $M,{\tilde {M}}$, и калибровочное поле двойного фотона ${\mathcal {A}}_{D}$ Виттена , с потенциалом, который дает уравнения движения, которые являются уравнениями монополя , также известными как уравнения Зайберга – Виттена в критических точках $u=\pm u_{0}$ где монополи становятся безмассовыми.

В контексте инвариантов Зайберга – Виттена можно рассматривать инварианты Дональдсона как результат изменения исходной теории в $u=\infty$ дающий топологическую теорию поля . С другой стороны, инварианты Зайберга – Виттена возникают в результате искажения двойственной теории в $u=\pm u_{0}$. Теоретически такие инварианты должны получать вклады от всех конечных $u$ но на самом деле они могут быть локализованы в двух критических точках, а топологические инварианты можно считать из пространств решений уравнений монополя.

Связь с интегрируемыми системами

Специальную кэлерову геометрию на пространстве модулей вакуума в теории Зайберга–Виттена можно отождествить с геометрией базы сложной вполне интегрируемой системы . Полную фазу этой сложной вполне интегрируемой системы можно отождествить с пространством модулей вакуумов 4d-теории, компактифицированным на окружности. Связь между теорией Зайберга-Виттена и интегрируемыми системами была рассмотрена Эриком Д'Хокером и Д. Х. Фонгом . См. систему Хитчина .

Препотенциал Зайберга – Виттена посредством подсчета инстантонов

Используя методы суперсимметричной локализации, можно явно определить статистическую сумму инстантонов ${\mathcal {N}}=2$ Супертеория Янга–Миллса. Препотенциал Зайберга – Виттена затем можно извлечь, используя подход локализации. Никиты Некрасова . Оно возникает в пределе плоского пространства $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon _{2}\to 0$, статистической суммы теории с учетом так называемого $\Omega$-фон. Последнее представляет собой специфический фон четырехмерного ${\mathcal {N}}=2$ супергравитация . Формально ее можно сконструировать, подняв супертеорию Янга–Миллса до шести измерений, затем компактифицировав ее на 2- торе и скрутив четырехмерное пространство-время вокруг двух несжимаемых циклов . Кроме того, фермионы скручиваются так, что возникают ковариантно постоянные спиноры, порождающие непрерывную суперсимметрию. Два параметра $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon _{2}$ принадлежащий $\Omega$-фоны соответствуют углам вращения пространства-времени.

В Ω-фоне все ненулевые моды можно проинтегрировать, поэтому интеграл по путям с граничным условием $\phi \to a$ в $x\to \infty$ может быть выражена как сумма по инстантонному числу произведений и отношений фермионных и бозонных определителей , образуя так называемую статистическую сумму Некрасова . В пределе, где $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon _{2}$ приближаясь к 0, в этой сумме доминирует единственная седловая точка . С другой стороны, когда $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon _{2}$ подход 0,

$Z(a;\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\Lambda )=\exp \left(-{\frac {1}{\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}}}\left({\mathcal {F}}(a;\Lambda )+{\mathcal {O}}(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2})\right)\right)\,$ ( 8 )

держит.

См. также

• Теория Гинзбурга – Ландау
• Теория Дональдсона

Ссылки

• Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ . Спрингер-Верлаг. ISBN  3-540-42627-2 . ( См. раздел 7.2 )
• Хантер-Джонс, Николас Р. (сентябрь 2012 г.). Теория Зайберга – Виттена и двойственность в суперсимметричных калибровочных теориях с N = 2 (магистратура). Имперский колледж Лондона.