Двойственность Монтонена – Оливы

Дуальность Монтонена-Оливе или электрическо-магнитная дуальность является старейшим известным примером сильной и слабой дуальности. или S-дуальность по современной терминологии. Он обобщает электромагнитную симметрию уравнений Максвелла , утверждая, что магнитные монополи , которые обычно рассматриваются как возникающие квазичастицы , которые являются «составными» (т.е. являются солитонами или топологическими дефектами ), на самом деле могут рассматриваться как «элементарные» квантованные частицы с электроны, играющие обратную роль «составных» топологических солитонов ; точки зрения эквивалентны, а ситуация зависит от двойственности. Позже было доказано, что это справедливо при работе с N = 4. суперсимметричной теорией Янга – Миллса с . Он назван в честь финского физика Клауса Монтонена и британского физика Дэвида Оливея после того, как они предложили эту идею в своей научной статье « Магнитные монополи как калибровочные частицы?» где они утверждают:

Должны существовать две «двойноэквивалентные» полевые формулировки одной и той же теории, в которых электрические (Нётер) и магнитные (топологические) квантовые числа меняются ролями.

- Монтонен и Олив (1977) , с. 117

S-дуальность в настоящее время является основным компонентом топологических квантовых теорий поля и теорий струн , особенно с 1990-х годов, с наступлением второй суперструнной революции . Эта двойственность теперь является одной из нескольких в теории струн, соответствия AdS/CFT, которое порождает голографический принцип . рассматриваются как одни из наиболее важных. Эти дуальности сыграли важную роль в физике конденсированного состояния , от предсказания дробных зарядов электрона до открытия магнитного монополя .

Электромагнитный дуализм

Идея о близком сходстве между электричеством и магнетизмом, восходящая ко временам Андре-Мари Ампера и Майкла Фарадея , впервые была уточнена благодаря формулировке Джеймсом Клерком Максвеллом его знаменитых уравнений единой теории электрического и магнитного полей. :

${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=\rho \quad &\nabla \times \mathbf {E} +{\dot {\mathbf {B} }}&=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\quad &\nabla \times \mathbf {B} -{\dot {\mathbf {E} }}&=\mathbf {j} .\end{aligned}}$

Симметрия между $\mathbf {E}$ и $\mathbf {B}$ в этих уравнениях поражает. Если игнорировать источники или добавлять магнитные источники, уравнения инвариантны относительно $\mathbf {E} \rightarrow \mathbf {B}$ и $\mathbf {B} \rightarrow -\mathbf {E}$.

Почему должна быть такая симметрия между $\mathbf {E}$ и $\mathbf {B}$? в 1931 году. Поль Дирак изучал квантовую механику электрического заряда, движущегося в магнитном монопольном поле, и обнаружил, что может последовательно определить волновую функцию только в том случае, если электрический заряд $e$ и магнитный заряд $q$ удовлетворять условию квантования:

${\begin{aligned}eq=2\pi \hbar n\quad \quad &n=0,\pm 1,\pm 2...\\\end{aligned}}$

Обратите внимание, что из вышесказанного, если только один монополь некоторого заряда $q$ существует где угодно, то все электрические заряды должны быть кратны единице $2\pi \hbar /q$. Это «объяснило бы», почему величина заряда электрона и протона должна быть точно равна и одинакова независимо от того, какой электрон или протон мы рассматриваем. факт, который, как известно, соответствует одной десятичной части ²¹ . Это побудило Дирака заявить:

Интерес теории магнитных полюсов состоит в том, что она представляет собой естественное обобщение обычной электродинамики и приводит к квантованию электричества. [...] Квантование электричества — одна из наиболее фундаментальных и ярких особенностей атомной физики, и, похоже, для него нет объяснения, кроме теории полюсов. Это дает некоторые основания верить в существование этих полюсов.

- Дирак (1948) , с. 817

Направление исследований магнитного монополя сделало шаг вперед в 1974 году, когда Джерард 'т Хоофт and Alexander Markovich Polyakov независимо построенные монополи не как квантованные точечные частицы, а как солитоны в $\operatorname {SU} (2)$ В системе Янга–Миллса–Хиггса ранее магнитные монополи всегда включали точечную особенность. Субъект был мотивирован вихрями Нильсена – Олесена .

При слабой связи электрически и магнитно заряженные объекты выглядят совершенно по-разному: один представляет собой электронную точечную частицу со слабой связью, а другой — монопольный солитон с сильной связью . Постоянная магнитной тонкой структуры примерно обратна обычной: $\alpha _{m}q^{2}/4\pi \hbar =n^{2}/4\alpha$

В 1977 году Клаус Монтонен и Дэвид Олив. предположил, что при сильной связи ситуация будет обратной: электрически заряженные объекты будут сильно связаны и будут иметь несингулярные ядра, тогда как магнитно заряженные объекты станут слабо связанными и станут точечными. Теория сильной связи была бы эквивалентна теории слабой связи, в которой основные кванты несли магнитные, а не электрические заряды. В последующих работах эта гипотеза была уточнена Эдом Виттеном и Дэвидом Оливом. они показали, что в суперсимметричном расширении модели Джорджи– Глэшоу $N=2$ суперсимметричной версии (N — число сохраняющихся суперсимметрий), не было никаких квантовых поправок к классическому спектру масс и можно было получить точные вычисления масс. Проблема, связанная с единичным спином монополя, для этого осталась. $N=2$ случае, но вскоре было получено его решение для случая $N=4$ Суперсимметрия: Хью Осборн смог показать, что когда в суперсимметричной калибровочной теории N = 4 налагается спонтанное нарушение симметрии, спины топологических монопольных состояний идентичны спинам массивных калибровочных частиц.

Двойная гравитация

с более высоким спином В 1979–1980 годах двойственность Монтонена-Оливе стимулировала разработку смешанного симметричного поля Куртрайта . Для случая спина 2 динамика калибровочного преобразования поля Куртрайта двойственна гравитону в пространстве-времени D>4. Между тем, поле со спином 0, разработанное Куртрайтом - Фройндом , двойственен полю Фрейнда - Намбу , связанный со следом его тензора энергии-импульса.

Безмассовая линеаризованная двойная гравитация была теоретически реализована в 2000-х годах для широкого класса калибровочных полей с более высоким спином , особенно связанных с $\mathrm {SO} (8)$, $E_{7}$ и $E_{11}$ супергравитация.

Массивная двойная гравитация со спином 2, низшего порядка, в D = 4. и Н - Д недавно была представлена ​​как теория, двойственная теории массивной гравитации Огиевецкого – Полубаринова. Двойное поле связано с ротором тензора энергии-импульса.

Математический формализм

В четырехмерной теории Янга-Миллса с N суперсимметрией = 4 , что является случаем применения двойственности Монтонена-Оливе, можно получить физически эквивалентную теорию, если заменить калибровочную константу связи g на 1/ g . Это также включает в себя обмен электрически заряженными частицами и магнитными монополями . См. также двойственность Зейберга .

Фактически, существует более крупная симметрия SL(2, Z ) , в которой как g, так и тета-угол преобразуются нетривиальным образом.

Калибровочная связь и тета-угол могут быть объединены в одну сложную связь.

$\tau ={\frac {\theta }{2\pi }}+{\frac {4\pi i}{g^{2}}}.$

Поскольку тета-угол периодичен, существует симметрия

$\tau \mapsto \tau +1.$

Квантово-механическая теория с калибровочной группой G (но не классическая теория, за исключением случая, когда ) также G абелева инвариантна относительно симметрии

$\tau \mapsto {\frac {-1}{n_{G}\tau }}$

а калибровочная группа G одновременно заменяется дуальной к ней группой Ленглендса ^л Г и $n_{G}$ — целое число, зависящее от выбора калибровочной группы. В случае, когда тета-угол равен 0, это сводится к простой форме двойственности Монтонена – Оливе, изложенной выше.

Философские последствия

Дуальность Монтонена-Оливе ставит под сомнение идею о том, что мы можем получить полную теорию физики, разбивая вещи на их «фундаментальные» части. Философия редукционизма утверждает, что если мы поймем «фундаментальные» или «элементарные» части системы, мы сможем вывести все свойства системы в целом. Дуальность говорит, что не существует физически измеримого свойства, которое могло бы определить, что является фундаментальным, а что нет; представление о том, что является элементарным, а что составным, просто относительно, действуя как своего рода калибровочная симметрия. Кажется, это поддерживает точку зрения эмерджентизма , поскольку и нётеровский заряд (частица), и топологический заряд (солитон) имеют одинаковую онтологию. Несколько известных физиков подчеркнули последствия дуальности:

При отображении дуальности элементарная частица в одной теории струн часто отображается в составную частицу в двойной теории струн и наоборот. Таким образом, классификация частиц на элементарные и составные теряет значение, поскольку зависит от того, какую именно теорию мы используем для описания системы.

- Сен (2001) , с. 3

Я мог бы продолжать и продолжать, отправляя вас в путешествие по пространству теорий струн и показывая, что все изменчиво, и нет ничего более элементарного, чем все остальное. Лично я готов поспорить, что такого рода антиредукционистское поведение справедливо для любого последовательного синтеза квантовой механики и гравитации.

- Сасскинд (2011) , с. 178

Первый вывод состоит в том, что объяснение Дирака квантования заряда триумфально подтверждено. На первый взгляд казалось, что идея объединения дает альтернативное объяснение, избегая монополей, но это было иллюзорно, поскольку магнитные монополи действительно скрывались в теории, замаскированные под солитоны. Это поднимает важный концептуальный момент. Магнитный монополь здесь рассматривается как настоящая частица, хотя он возник как солитон, а именно как решение классических уравнений движения. Таким образом, она, по-видимому, имеет другой статус, чем «планковские частицы», рассмотренные до сих пор и обсуждавшиеся в начале лекции. Они возникли как квантовые возбуждения исходных полей исходной формулировки теории, продуктов процедур квантования, примененных к этим динамическим переменным (полям).

- Олив (2001) , с. 5

Однако этот аргумент не имеет большого значения для реальности теории струн в целом, и, возможно, лучшая перспектива могла бы попытаться выяснить последствия соответствия AdS/CFT и таких глубоких математических связей, как «Чудовищный самогон» . Поскольку экспериментально проверенные данные не имеют ничего общего с ландшафтом теории струн ; где с философской точки зрения антропный принцип является в своей сильнейшей форме самооправданием любой недоказуемой теории.

Дальнейшее чтение

Научные статьи

• Кастеллани, Э. (2016). «Двойственность и «частичная» демократия» (PDF) . Исследования по истории и философии науки. Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 59 : 100–108. Бибкод : 2017ШПМП..59..100С . дои : 10.1016/j.shpsb.2016.03.002 . ISSN   1355-2198 .
• Дирак, ПАМ (1931). «Квантованные особенности в электромагнитном поле». Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 133 (821): 60–72. Бибкод : 1931РСПСА.133...60Д . дои : 10.1098/rspa.1931.0130 . ISSN   1364-5021 .
• Дирак, ПАМ (1948). «Теория магнитных полюсов». Физический обзор . 74 (7): 817–830. Бибкод : 1948PhRv...74..817D . дои : 10.1103/PhysRev.74.817 . ISSN   0031-899X .
• Дафф, MJ ; Хури, Рамзи Р.; Лу, JX (1995). «Струнные солитоны». Отчеты по физике . 259 (4–5): 213–326. arXiv : hep-th/9412184 . Бибкод : 1995PhR...259..213D . дои : 10.1016/0370-1573(95)00002-X . ISSN   0370-1573 . S2CID   119524337 .
• Фонт, А.; Ибаньес, Ле; Люст, Д.; Кеведо, Ф. (1990). «Двойственность сильной и слабой связи и непертурбативные эффекты в теории струн» . Буквы по физике Б. 249 (1): 35–43. Бибкод : 1990PhLB..249...35F . дои : 10.1016/0370-2693(90)90523-9 . ISSN   0370-2693 .
• Годдард, П .; Нуйц, Дж.; Олив, ДИ (1977). «Калибровочные теории и магнитный заряд» (PDF) . Ядерная физика Б . 125 (1): 1–28. Бибкод : 1977НуФБ.125....1Г . дои : 10.1016/0550-3213(77)90221-8 . ISSN   0550-3213 .
• Годдард, П ; Олив, ДИ (1978). «Магнитные монополи в калибровочных теориях поля» . Отчеты о прогрессе в физике . 41 (9): 1357–1437. Бибкод : 1978РПФ...41.1357Г . дои : 10.1088/0034-4885/41/9/001 . ISSN   0034-4885 .
• Харви, Дж. А. (1996). «Магнитные монополи, дуальность и суперсимметрия». Физика высоких энергий и космология . 12 :66.arXiv : hep -th/9603086 . Бибкод : 1997hepcbconf...66H .
• Капустин А. ; Виттен, Э. (2006). «Электро-магнитный дуализм и геометрическая программа Ленглендса». Связь в теории чисел и физике . 1 :1–236. arXiv : hep-th/0604151 . Бибкод : 2007CNTP....1....1K . дои : 10.4310/CNTP.2007.v1.n1.a1 . S2CID   30505126 .
• Монтонен, К. ; Олив, ДИ (1977). «Магнитные монополи как калибровочные частицы?» (PDF) . Буквы по физике Б. 72 (1): 117–120. Бибкод : 1977PhLB...72..117M . дои : 10.1016/0370-2693(77)90076-4 . ISSN   0370-2693 .
• Нильсен, Х.Б. ; Олесен, П. (1973). «Вихрево-линейные модели для двойных струн» . Ядерная физика Б . 61 : 45–61. Бибкод : 1973НуФБ..61...45Н . дои : 10.1016/0550-3213(73)90350-7 . ISSN   0550-3213 .
• Олив, ДИ (2001). «Квантование зарядов». Лекция на симпозиуме «Сто лет H», Павия, 2000 г. arXiv : hep-th/0104063 . Бибкод : 2001hep.th....4063O .
• Осборн, Х. (1979). «Топологические заряды для N = 4 суперсимметричных калибровочных теорий и монополей спина 1». Буквы по физике Б. 83 (3–4): 321–326. Бибкод : 1979PhLB...83..321O . дои : 10.1016/0370-2693(79)91118-3 . ISSN   0370-2693 .
• Полчински, Дж. (1996). «Струнная двойственность». Обзоры современной физики . 68 (4): 1245–1258. arXiv : hep-th/9607050 . Бибкод : 1996РвМП...68.1245П . дои : 10.1103/RevModPhys.68.1245 . ISSN   0034-6861 . S2CID   14147542 .
• Поляков, А.М. (1974). «Спектр частиц в квантовой теории поля» (PDF) . Письма ЖЭТФ . 20 (6): 194–195. Бибкод : 1974JETPL..20..194P . ISSN   0370-274X .
• Рен, Дж.; Месснер, Р. (2016). «Максвелловский электромагнетизм как новое явление в конденсированном состоянии». Философские труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 374 (2075): 20160093. arXiv : 1605.05874 . Бибкод : 2016RSPTA.37460093R . дои : 10.1098/rsta.2016.0093 . ISSN   1364-503X . ПМИД   27458263 . S2CID   206159482 .
• Риклз, Д. (2015). «Двойные теории: «То же самое, но разные» или «Разные, но одинаковые»?» (PDF) . Исследования по истории и философии науки. Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 59 : 62–67. Бибкод : 2017ШПМП..59...62Р . дои : 10.1016/j.shpsb.2015.09.005 . ISSN   1355-2198 .
• Шварц, Дж. Х. (1997). «Лекции по суперструнам и двойственности теории М». Ядерная физика B - Приложения к сборнику трудов . 55 (2): 1–32. arXiv : hep-th/9607201 . Бибкод : 1997НуФС..55....1С . дои : 10.1016/S0920-5632(97)00070-4 . ISSN   0920-5632 . S2CID   7541625 .
• Зайберг, Н .; Виттен, Э. (1994). «Электро-магнитная двойственность, монопольная конденсация и конфайнмент в суперсимметричной теории Янга-Миллса N = 2». Ядерная физика Б . 426 (1): 19–52. arXiv : hep-th/9407087 . Бибкод : 1994НуФБ.426...19С . дои : 10.1016/0550-3213(94)90124-4 . ISSN   0550-3213 . S2CID   14361074 .
• Зайберг, Н. (1995). «Электро-магнитная двойственность в суперсимметричных неабелевых калибровочных теориях». Ядерная физика Б . 435 (1–2): 129–146. arXiv : hep-th/9411149 . Бибкод : 1995НуФБ.435..129С . дои : 10.1016/0550-3213(94)00023-8 . ISSN   0550-3213 . S2CID   18466754 .
• Сен, А. (2001). «Последние достижения в теории суперструн». Ядерная физика B - Приложения к сборнику трудов . 94 (1–3): 35–48. arXiv : hep-lat/0011073 . Бибкод : 2001НуФС..94...35С . дои : 10.1016/S0920-5632(01)00929-X . ISSN   0920-5632 . S2CID   17842520 .
• Сасскинд, Л. (2011). «Теория струн». Основы физики . 43 (1): 174–181. Бибкод : 2013FoPh...43..174S . дои : 10.1007/s10701-011-9620-x . ISSN   0015-9018 . S2CID   189843984 .
• 'т Хоофт, Г. (1974). «Магнитные монополи в единых калибровочных теориях» (PDF) . Ядерная физика Б . 79 (2): 276–284. Бибкод : 1974НуФБ..79..276Т . дои : 10.1016/0550-3213(74)90486-6 . hdl : 1874/4686 .
• Виттен, Э .; Олив, ДИ (1978). «Алгебры суперсимметрии, включающие топологические заряды». Буквы по физике Б. 78 (1): 97–101. Бибкод : 1978PhLB...78...97W . дои : 10.1016/0370-2693(78)90357-X . ISSN   0370-2693 .

Книги

• Олив, Д.; Уэст, ПК (8 июля 1999 г.). Двойственность и суперсимметричные теории . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-64158-6 .