Чудовищный самогон

В математике чудовищный самогон , или теория самогона , — это неожиданная связь между группой монстров М и модулярными функциями , в частности, j- функцией . Первоначальное численное наблюдение было сделано Джоном Маккеем в 1978 году, а эта фраза была придумана Джоном Конвеем и Саймоном П. Нортоном в 1979 году.

Теперь известно, что в основе чудовищного самогона лежит алгебра вершинных операторов, называемая модулем самогонного аппарата (или вершинной алгеброй монстра), построенная Игорем Френкелем , Джеймсом Леповски и Арне Мерманом в 1988 году, в которой группа монстров является группой симметрий . Эта алгебра вершинных операторов обычно интерпретируется как структура, лежащая в основе двумерной конформной теории поля , позволяющая физике образовывать мост между двумя математическими областями. Гипотезы, выдвинутые Конвеем и Нортоном, были доказаны Ричардом Борчердсом для самогонного модуля в 1992 году с использованием теоремы об отсутствии призраков из теории струн , теории алгебр вершинных операторов и обобщенных алгебр Каца – Муди .

История

В 1978 году Джон Маккей обнаружил, что первые несколько членов в разложении Фурье нормализованного J-инварианта (последовательность A014708 в OEIS ) могут быть выражены через линейные комбинации размерностей . неприводимых представлений $r_{n}$ группы монстров M (последовательность A001379 в OEIS ) с небольшими неотрицательными коэффициентами. J-инвариант

$$J(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196884{q}+21493760{q}^{2}+864299970{q}^{3}+20245856256{q}^{4}+\cdots$$

с ${q}=e^{2\pi i\tau }$ и τ как отношение полупериода и выражения M , позволяющие $r_{n}$ = 1, 196883, 21296876, 842609326, 18538750076, 19360062527, 293553734298, ..., являются

$${\begin{aligned}1&=r_{1}\\196884&=r_{1}+r_{2}\\21493760&=r_{1}+r_{2}+r_{3}\\864299970&=2r_{1}+2r_{2}+r_{3}+r_{4}\\20245856256&=3r_{1}+3r_{2}+r_{3}+2r_{4}+r_{5}=2r_{1}+3r_{2}+2r_{3}+r_{4}+r_{6}\\333202640600&=5r_{1}+5r_{2}+2r_{3}+3r_{4}+2r_{5}+r_{7}=4r_{1}+5r_{2}+3r_{3}+2r_{4}+r_{5}+r_{6}+r_{7}\\\end{aligned}}$$

LHS – это коэффициенты $j(\tau )$, а в правой части целые числа $r_{n}$ размерности неприводимых представлений группы монстров M. — (Поскольку между $r_{n}$ такой как $r_{1}-r_{3}+r_{4}+r_{5}-r_{6}=0$представление может быть более чем одним способом.)

Маккей рассматривал это как свидетельство того, что существует естественно возникающее бесконечномерное градуированное представление M , и , градуированная размерность которого задается коэффициентами J чьи части с меньшим весом разлагаются на неприводимые представления, как указано выше. После того, как он сообщил Джону Г. Томпсону об этом наблюдении, Томпсон предположил, что, поскольку градуированное измерение - это всего лишь градуированный след единичного элемента , градуированные следы нетривиальных элементов g из M в таком представлении также могут быть интересны.

Конвей и Нортон вычислили члены низшего порядка таких градуированных следов, теперь известных как ряды Маккея-Томпсона T _g , и обнаружили, что все они оказались расширениями Hauptmoduln . словами, если Gg _с — подгруппа SL ₂ ( R ) фиксирующая Tg _, , то фактор верхней половины комплексной плоскости по Gg _{Другими} — это сфера конечным числом удаленных точек, причем T _g порождает поле мероморфных функций на этой сфере.

На основе своих вычислений Конвей и Нортон составили список Hauptmoduln и выдвинули гипотезу о существовании бесконечномерного градуированного представления M , градуированные следы которого T _g являются разложением именно функций из их списка.

В 1980 году А. Оливер Л. Аткин Пол Фонг и Стивен Д. Смит предоставили убедительные вычислительные доказательства существования такого градуированного представления, разложив большое количество коэффициентов J на ​​представления M. , Градуированное представление, градуированная размерность которого равна J , называемое самогонным модулем, было явно построено Игорем Френкелем , Джеймсом Леповски и Арне Мёрманом , давая эффективное решение гипотезы Маккея-Томпсона, а также они определили градуированные следы для всех элементов в централизатор инволюции M , частично разрешающий гипотезу Конвея – Нортона. Кроме того, они показали, что построенное ими векторное пространство , названное «Модуль самогона», $V^{\natural }$, имеет дополнительную структуру алгебры вершинных операторов которой , группа автоморфизмов есть в точности M .

В 1985 году , опубликовала «Атлас конечных групп» группа математиков, в том числе Джон Конвей . Атлас, в котором перечислены все спорадические группы , включил «Самогон» как раздел в список примечательных свойств группы монстров .

Борчердс доказал гипотезу Конвея-Нортона для модуля самогона в 1992 году. Он выиграл медаль Филдса в 1998 году отчасти за решение гипотезы.

Самогонный модуль

Конструкция Френкеля-Леповского-Меурмана начинается с двух основных инструментов:

1. Построение решетчатой ​​вершинной операторной алгебры V _L для четной решетки L ранга n . Говоря физическими терминами, это киральная алгебра бозонной струны , компактифицированной на торе R. ^н / Л . Грубо его можно описать как тензорное произведение группового кольца L измерениях ( с представлением осциллятора в n которое само по себе изоморфно кольцу полиномов со счетным бесконечным числом образующих ). В рассматриваемом случае L в качестве полагается решетка Лича , имеющая ранг 24.
2. Орбифолдная конструкция . В физических терминах это описывает бозонную струну, распространяющуюся по фактор-орбифолду . Конструкция Френкеля-Леповского-Мермана была первым случаем появления орбифолдов в конформной теории поля . К инволюции –1 присоединена решетки Лича инволюция h группы V _L и неприводимый h -скрученный V _L -модуль, который наследует инволюцию, поднимающую h . Чтобы получить модуль самогона, нужно взять подпространство с фиксированной точкой h в прямой сумме V _L и его скрученного модуля .

Затем Френкель, Леповски и Мерман показали, что группа автоморфизмов самогонного модуля как алгебры вершинных операторов равна M . Кроме того, они установили, что градуированные следы элементов подгруппы 2 ¹⁺²⁴ . Co ₁ соответствует функциям, предсказанным Конвеем и Нортоном ( Frenkel, Lepowsky & Meurman (1988) ).

Доказательство Борчердса

Доказательство Ричарда Борчердса гипотезы Конвея и Нортона можно разбить на следующие основные этапы:

1. Начнем с вершинной операторной алгебры V с инвариантной билинейной формой, действием M автоморфизмами и известным разложением однородных пространств семи низших степеней в неприводимые M -представления. Это было обеспечено конструкцией Френкеля-Леповски-Меурмана и анализом модуля самогона.
2. Алгебра Ли ${\mathfrak {m}}$, называемая чудовищной алгеброй Ли , строится из V с использованием функтора квантования. Это обобщенная алгебра Ли Каца–Муди с чудовищным действием автоморфизмов. Используя теорему Годдарда-Торна об «отсутствии призраков» из теории струн , корневые кратности оказываются коэффициентами J .
3. Тождество бесконечного произведения Койке–Нортона–Загира используется для построения обобщенной алгебры Ли Каца–Муди с помощью генераторов и отношений. Тождество доказывается с использованием того факта, что операторы Гекке , примененные к J, дают полиномы от J .
4. Сравнивая корневые кратности, можно обнаружить, что две алгебры Ли изоморфны, и, в частности, формула знаменателя Вейля для ${\mathfrak {m}}$ это в точности тождество Койке-Нортона-Загира.
5. Используя гомологии алгебры Ли и операции Адамса , для каждого элемента дается скрученный знаменатель. Эти тождества связаны с рядом Маккея–Томпсона T _g во многом так же, как тождество Койке–Нортона–Загира связано с J .
6. Тождества с искривленным знаменателем подразумевают рекурсивные отношения к коэффициентам T _g , а неопубликованная работа Койке показала, что функции-кандидаты Конвея и Нортона удовлетворяют этим рекурсивным соотношениям. Эти отношения настолько сильны, что нужно только проверить, что первые семь членов согласуются с функциями, данными Конвеем и Нортоном. Самые низкие члены получаются путем разложения семи однородных пространств низшей степени, заданных на первом этапе.

Таким образом, доказательство завершено ( Борчердс (1992) ). Позже Борчердс сказал: «Я был на седьмом небе от счастья, когда доказал гипотезу о самогоне» и «Иногда я задаюсь вопросом, возникает ли такое чувство, когда вы принимаете определенные наркотики. На самом деле я не знаю, поскольку я не проверял». эта моя теория». ( Робертс 2009 , стр. 361)

Более поздние работы упростили и прояснили последние этапы доказательства. Юрисич ( Jurisich (1998) , Jurisich, Lepowsky & Wilson (1995) ) обнаружил, что вычисление гомологии можно существенно сократить, заменив обычное треугольное разложение алгебры Ли Монстра на разложение в сумму gl ₂ и двух свободных алгебр Ли. . Камминс и Гэннон показали, что рекурсивные соотношения автоматически подразумевают, что ряд Маккея-Томпсона либо является гауптмодульным, либо завершается не более чем через 3 члена, что устраняет необходимость вычислений на последнем шаге.

Обобщенный самогон

Конвей и Нортон в своей статье 1979 года предположили, что, возможно, самогон не ограничивается монстром, но что аналогичные явления могут быть обнаружены и для других групп. Хотя утверждения Конвея и Нортона не были очень конкретными, вычисления Ларисы Куин в 1980 году убедительно показали, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций измерений неприводимых представлений спорадических групп . В частности, она разложила коэффициенты ряда Маккея-Томпсона на представления подчастных Монстра в следующих случаях:

• T _2B и T _4A в представления группы Конвея Co ₀
• T _3B и T _6B в представления группы Сузуки 3.2. Суз
• T _3C в представления группы Томпсона Th = F ₃
• T _5A в представления группы Харады–Нортона HN = F ₅
• T _5B и T _10D в представления группы Холла–Янко 2. HJ
• T _7A в представления группы Хелда He = F ₇
• Т _7В и Т _14С в представления 2. А ₇
• T _11A в представления группы Матье 2. M ₁₂

Куин обнаружил, что следы нетождественных элементов также дают q -разложения Гауптмодульна, некоторые из которых не были сериями Маккея – Томпсона из «Монстра». В 1987 году Нортон объединил результаты Куина со своими собственными вычислениями, чтобы сформулировать гипотезу обобщенного самогона. Эта гипотеза утверждает, что существует правило, которое ставит в соответствие каждому элементу g монстра градуированное векторное пространство V ( g ) и каждой коммутирующей паре элементов ( g , h ) голоморфную функцию f ( g , h , τ). в верхней полуплоскости такой, что:

1. Каждое V ( g градуированным проективным представлением централизатора g M. в является )
2. Каждый f ( g , h , τ) является либо постоянной функцией, либо Хауптмодулем.
3. Каждый f ( g , h ) инвариантен относительно одновременного сопряжения g , τ и h в M с точностью до скалярной неоднозначности.
4. Для каждого ( g , h ) существует подъем h до линейного преобразования на V ( g ), так что разложение f ( g , h , τ) задается градуированным следом.
5. Для любого ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbf {Z} )$, $f\left(g,h,{\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)$ пропорционально $f\left(g^{a}h^{c},g^{b}h^{d},\tau \right)$.
6. f ( g , h , τ ) пропорциональна J тогда и только тогда, когда g = h = 1.

Это обобщение гипотезы Конвея-Нортона, поскольку теорема Борчердса касается случая, когда g равен единице.

Как и гипотеза Конвея-Нортона, «Обобщенный самогон» также имеет физическую интерпретацию, предложенную Диксоном-Гинспаргом-Харви в 1988 году ( Dixon, Ginsparg & Harvey (1989) ). Они интерпретировали векторные пространства V ( g ) как скрученные сектора конформной теории поля с монстр-симметрией и интерпретировали функции f ( g , h , τ) как рода первого статистические суммы , где каждый образует тор путем склеивания по скрученным граничным условиям. . На математическом языке скрученные сектора представляют собой неприводимые скрученные модули, а статистические суммы присваиваются эллиптическим кривым с главными расслоениями-монстрами, тип изоморфизма которых описывается монодромией вдоль базиса 1 , -циклов т. е. пары коммутирующих элементов.

Модульный самогонный аппарат

В начале 1990-х годов теоретик групп А. Е. Рыба обнаружил поразительное сходство между частями таблицы персонажей монстра и персонажами Брауэра определенных подгрупп. В частности, для элемента g простого порядка p в монстре многие неприводимые характеры элемента порядка kp которого , k -я степень равна g, представляют собой простые комбинации характеров Брауэра для элемента порядка k в централизаторе g . Это было числовое свидетельство явления, похожего на чудовищный самогон, но представлений в положительной характеристике. В частности, Рыба в 1994 году выдвинула гипотезу, что для каждого простого множителя p порядка монстра существует градуированная вершинная алгебра над конечным полем F _p с действием централизатора элемента p g порядка , такая что градуированный Брауэр характер любого p -регулярного автоморфизма h равен ряду Маккея-Томпсона для gh ( Рыба (1996) ).

В 1996 году Борчердс и Рыба переосмыслили эту гипотезу как утверждение о когомологиях Тейта самодуальной интегральной формы $V^{\natural }$. О существовании этой интегральной формы не было известно, но они построили самодвойственную форму над Z [1/2], которая позволила им работать с нечетными простыми числами p . Когомологии Тейта для элемента простого порядка естественным образом имеют структуру супервертексной алгебры над F _p , и они разбили проблему на простой шаг, приравнивающий градуированный суперслед Брауэра с рядом Маккея-Томпсона, и сложный шаг, показывающий что когомологии Тейта исчезают в нечетной степени. Они доказали утверждение об исчезновении для маленьких нечетных простых чисел, перенеся результат об исчезновении из решетки Лича ( Борчердс и Рыба (1996) ). В 1998 году Борчердс показал, что обращение в нуль справедливо для остальных нечетных простых чисел, используя комбинацию теории Ходжа и интегрального уточнения теоремы об отсутствии призраков ( Борчердс (1998) , Борчердс (1999) ).

Случай 2-го порядка требует существования формы $V^{\natural }$ над 2-адическим кольцом, т. е. конструкцией, которая не делится на 2, о существовании которой в то время не было известно. Остается много дополнительных вопросов без ответа, например, как гипотеза Рыбы должна обобщать когомологии Тейта составных элементов порядка, а также природу любых связей с обобщенным самогоном и другими самогонными явлениями.

связь с

В 2007 году Э. Виттен предположил, что соответствие AdS/CFT приводит к двойственности между чистой квантовой гравитацией в (2 + 1)-мерном антидеситтеровском пространстве и экстремальными голоморфными CFT. Чистая гравитация в измерениях 2 + 1 не имеет локальных степеней свободы, но когда космологическая постоянная отрицательна, в теории появляется нетривиальное содержание из-за существования решений БТЗ для черных дыр . Экстремальные КТМ, предложенные Г. Хёном, отличаются отсутствием первичных полей Вирасоро при низкой энергии, и модуль самогонного аппарата является одним из примеров.

Согласно предложению Виттена ( Witten (2007) ), гравитация в пространстве AdS с максимально отрицательной космологической постоянной является AdS/CFT двойственной голоморфной CFT с центральным зарядом c=24 , а статистическая сумма CFT равна точно j -744, т.е. ступенчатость самогонного модуля. Приняв гипотезу Френкеля-Леповского-Меурмана о том, что самогонный модуль представляет собой уникальный голоморфный VOA с центральным зарядом 24 и характером j -744, Виттен пришел к выводу, что чистая гравитация с максимально отрицательной космологической постоянной двойственна монстру CFT. Часть предложения Виттена заключается в том, что первичные поля Вирасоро двойственны операторам, создающим черные дыры, и в качестве проверки непротиворечивости он обнаружил, что в пределе больших масс квазиклассическая оценка энтропии Бекенштейна-Хокинга для данной массы черной дыры согласуется с логарифм соответствующей первичной кратности Вирасоро в самогонном модуле. В режиме малой массы имеется небольшая квантовая поправка к энтропии, например, первичные поля с наименьшей энергией дают ln(196883) ~ 12,19, тогда как оценка Бекенштейна–Хокинга дает 4 р ~ 12,57.

Более поздние работы усовершенствовали предложение Виттена. Виттен предположил, что экстремальные CFT с большей космологической постоянной могут иметь чудовищную симметрию, очень похожую на минимальный случай, но это было быстро исключено независимой работой Гайотто и Хёна. Работа Виттена и Мэлони ( Maloney & Witten (2007) ) предположила, что чистая квантовая гравитация может не удовлетворять некоторым проверкам на непротиворечивость, связанным с ее статистической суммой, если только некоторые тонкие свойства сложных седел не окажутся благоприятными. Однако Ли-Сонг-Стромингер ( Li, Song & Strominger (2008) ) предположили, что киральная теория квантовой гравитации, предложенная Маншотом в 2007 году, может иметь лучшие свойства стабильности, будучи при этом двойственной к киральной части монстра CFT, т.е. вершинная алгебра монстров. Дункан-Френкель ( Duncan & Frenkel (2009) ) предоставил дополнительные доказательства этой двойственности, используя суммы Радемахера для получения ряда Маккея-Томпсона как (2 + 1)-мерной статистической суммы гравитации с помощью регуляризованной суммы по глобальной геометрии тора-изогении. Более того, они предположили существование семейства извращенных теорий киральной гравитации, параметризованных элементами монстра, предполагая связь с обобщенной самогонной и гравитационными инстантонными суммами. В настоящее время все эти идеи все еще довольно умозрительны, отчасти потому, что трехмерная квантовая гравитация не имеет строгого математического обоснования.

Самогон Матье

В 2010 году Тору Эгучи , Хироси Оогури и Юджи Тачикава заметили, что эллиптический род поверхности K3 можно разложить на символы N = (4,4) суперконформной алгебры , так что кратности массивных состояний кажутся простыми комбинациями. неприводимых представлений группы Матье M24 . Это говорит о том, что существует сигма-модели конформная теория поля с мишенью K3, обладающая симметрией M24. Однако согласно классификации Мукая–Кондо не существует точного действия этой группы на любой поверхности K3 посредством симплектических автоморфизмов , а согласно работе Габердиэля–Хогенеггера–Вольпато, нет точного действия ни в одной конформной теории поля сигма-модели K3, поэтому появление действия в базовом гильбертовом пространстве до сих пор остается загадкой.

По аналогии с рядами Маккея–Томпсона Ченг предположил, что как функции кратности , так и градуированные следы нетривиальных элементов M24 образуют ложные модулярные формы . В 2012 году Ганнон доказал, что все кратности, кроме первой, являются неотрицательными целыми комбинациями представлений M24, а Габердиль-Перссон-Ронелленфитч-Вольпато вычислил все аналоги обобщенных самогонных функций: это наводит на мысль, что за самогонностью Матье стоит некий аналог голоморфной конформной теории поля. Также в 2012 году Ченг, Дункан и Харви собрали численные доказательства феномена теневого самогона , когда семейства псевдомодульных форм кажутся прикрепленными к решеткам Нимейера . Особый случай А ²⁴
_{Решетка 1} дает Матьё Муншайн, но в целом явление пока не имеет интерпретации с точки зрения геометрии.

Происхождение термина

Термин «чудовищный самогон» был придуман Конвеем, который, когда в конце 1970-х годов Джон Маккей сказал , что коэффициент ${q}$ (а именно 196884) было ровно на единицу больше, чем степень наименьшего верного комплексного представления группы монстров (а именно 196883), ответил, что это « самогон » (в смысле безумной или глупой идеи). Таким образом, этот термин относится не только к группе монстров M ; это также относится к воспринимаемому безумию сложных отношений между М и теорией модульных функций.

Связанные наблюдения

Группу монстров исследовали в 1970-х годах математики Жан-Пьер Серр , Эндрю Огг и Джон Г. Томпсон ; они изучали фактор гиперболической плоскости по подгруппам SL ₂ ( R ), в частности, по нормализатору Γ ₀ ( p ) ⁺ конгруэнц-подгруппы Гекке Γ ₀ ( p ) в SL(2, R ). Они обнаружили, что риманова поверхность , возникающая в результате факторизации гиперболической плоскости по Γ ₀ ( p ), ⁺ имеет род нулевой тогда и только тогда, когда p равно 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 или 71. Когда Огг позже услышал о группе монстров, и заметил, что это именно главные факторы размера M , он опубликовал статью, предлагающую бутылку виски Jack Daniel's любому, кто сможет объяснить этот факт ( Ogg (1974) ).

Источники

• Борчердс, RE (1998), «Modular Moonshine III», Duke Mathematical Journal , 93 (1): 129–154, arXiv : math/9801101 , Bibcode : 1998math......1101B , doi : 10.1215/S0012-7094 -98-09305-X , S2CID   119593942 .
• Борчердс, RE (1999), «Формальная группа фальшивых монстров», Duke Mathematical Journal , 100 (1): 139–165, arXiv : math/9805123 , doi : 10.1215/S0012-7094-99-10005-6 , S2CID   14404234 .
• Борчердс, RE; Рыба, AJE (1996), «Модульный самогон II», Duke Mathematical Journal , 83 (2): 435–459, doi : 10.1215/S0012-7094-96-08315-5 , S2CID   119593942 .
• Борчердс, Ричард (1992), «Чудовищный самогон и чудовищные супералгебры лжи» (PDF) , Invent. Математика. , 109 : 405–444, Bibcode : 1992InMat.109..405B , CiteSeerX   10.1.1.165.2714 , doi : 10.1007/bf01232032 , MR   1172696 , S2CID   16145482 .
• Конвей, Джон Хортон; Нортон, Саймон П. (1979), «Чудовищный самогон», Bull. Лондонская математика. Соц. , 11 (3): 308–339, doi : 10.1112/blms/11.3.308 , MR   0554399 .
• Конвей, Джон Хортон; Маккей, Джон; Троян, Аллан (2010), «Группы Галуа над функциональными полями положительной характеристики» , Proc. амер. Математика. Соц. , 138 (4): 1205–1212, arXiv : 0811.0076 , doi : 10.1090/S0002-9939-09-10130-2 , ISSN   0002-9939 .
• Камминс, CJ; Ганнон, Т. (1997), «Модульные уравнения и свойство нулевого рода самогонных функций», Invent. Математика. , 129 (3): 413–443, Bibcode : 1997InMat.129..413C , doi : 10.1007/s002220050167 , S2CID   123073432 .
• Диксон, Л.; Гинспарг, П.; Харви, Дж. (1989), «Красавица и чудовище: суперконформная симметрия в модуле монстра» , Comm. Математика. Физ. , 119 (2): 221–241, Bibcode : 1988CMaPh.119..221D , doi : 10.1007/bf01217740 , S2CID   55102822 .
• Дю Сотуа, Маркус (2008), В поисках самогона, Путешествие математика через симметрию , Четвертое сословие, ISBN  978-0-00-721461-7 .
• Дункан, Джон Ф.Р.; Френкель, Игорь Б. (2012), Суммы Радемахера, самогон и гравитация , arXiv : 0907.4529 , Бибкод : 2009arXiv0907.4529D .
• Френкель, Игорь Б.; Леповски, Джеймс; Мерман, Арне (1988), Вершинные операторные алгебры и монстр , Чистая и прикладная математика, том. 134, Академик Пресс, ISBN  0-12-267065-5 , МР   0996026 .
• Ганнон, Терри (2000), «Чудовищный самогон и классификация конформных теорий поля», в Саклиоглу, Джихан; Тургут, Теоман; Нутку, Явуз (ред.), Конформная теория поля, Новые непертурбативные методы в теории струн и поля , Cambridge Mass: Perseus Publishing, ISBN  0-7382-0204-5 (Предоставляет вводные обзоры приложений в физике) .
• Гэннон, Терри (2006a), «Чудовищный самогон: первые двадцать пять лет», Bull. Лондонская математика. Соц. , 38 (1): 1–33, arXiv : math.QA/0402345 , doi : 10.1112/S0024609305018217 , MR   2201600 , S2CID   119626718 .
• Гэннон, Терри (2006b), Самогон за пределами монстра: мост, соединяющий алгебру, модульные формы и физику , Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-83531-2 .
• Харада, Коитиро (1999), Монстр , паб Иванами, ISBN  4-00-006055-4 {{cite book}}:CS1 maint:postscript ( ссылка ) (Первая книга о Monster Group, написанная на японском языке) .
• Харада, Коитиро (2010), «Самогон» конечных групп , Европейское математическое общество , ISBN  978-3-03719-090-6 , МР   2722318 .
• Юрисич, Э.; Леповски Дж.; Уилсон, Р.Л. (1995), «Реализации чудовищной алгебры лжи», Selecta Math. , New Series, 1 : 129–161, arXiv : hep-th/9408037 , doi : 10.1007/bf01614075 , S2CID   119594012 .
• Юрисич, Элизабет (1998), «Обобщенные алгебры Ли Каца – Муди, свободные алгебры Ли и структура чудовищной алгебры Ли», Journal of Pure and Applied Algebra , 126 (1–3): 233–266, arXiv : 1311.3258 , doi : 10.1016/s0022-4049(96)00142-9 , S2CID   119320010 .
• Ли, Вэй; Сун, Вэй; Строминджер, Эндрю (21 июля 2008 г.), «Киральная гравитация в трех измерениях», Журнал физики высоких энергий , 2008 (4): 082, arXiv : 0801.4566 , Бибкод : 2008JHEP...04..082L , doi : 10.1088/1126 -6708/2008/04/082 , S2CID   2138904 .
• Мэлони, Александр; Сун, Вэй; Строминджер, Эндрю (2010), «Киральная гравитация, логарифмическая гравитация и экстремальная ЦФТ», Phys. Rev. D , 81 (6): 064007, arXiv : 0903.4573 , Bibcode : 2010PhRvD..81f4007M , doi : 10.1103/physrevd.81.064007 , S2CID   17752143 .
• Мэлони, Александр; Виттен, Эдвард (2010), «Функции распределения квантовой гравитации в трех измерениях», J. High Energy Phys. , 2010 (2): 29, arXiv : 0712.0155 , Bibcode : 2010JHEP...02..029M , doi : 10.1007/JHEP02(2010)029 , MR   2672754 , S2CID   118363782 .
• Огг, Эндрю П. (1974), «Автоморфизмы модулярных кривых» (PDF) , Семинар Деланжа-Пизо-Пуату. Теория чисел, том 16, вып. 1 (1974–1975), эксп. нет. 7 (на французском языке), том. 16, с. 1–8, МР   0417184 .
• Робертс, Шивон (2009), Король бесконечного пространства: Дональд Коксетер, человек, который спас геометрию , Bloomsbury Publishing USA, стр. 361, ISBN  978-080271832-7 .
• Ронан, Марк (2006), Симметрия и монстр , Oxford University Press, ISBN  978-0-19-280723-6 {{cite book}}:CS1 maint:postscript ( ссылка ) (Краткое введение для непрофессионала) .
• Рыба, AJE (1996), «Модульный самогон?», Мейсон, Джеффри; Донг, Чунъин (ред.), Самогон, Монстр и смежные темы , Современная математика, том. 193, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 307–336 .
• Виттен, Эдвард (22 июня 2007 г.), «Возвращение к трехмерной гравитации» , arXiv : 0706.3359 , Bibcode : 2007arXiv0706.3359W .

Внешние ссылки

• Библиография самогона в Wayback Machine (архивировано 5 декабря 2006 г.)