Решетка пиявки

В математике решетка Лича — это четная унимодулярная решетка Λ ₂₄ в 24-мерном евклидовом пространстве , которая является одной из лучших моделей для задачи целующегося числа . Его открыл Джон Лич ( 1967 ). Возможно, он также был открыт (но не опубликован) Эрнстом Виттом в 1940 году.

Характеристика

Решетка Лича Λ ₂₄ — единственная решетка в 24-мерном евклидовом пространстве , E ²⁴ , со следующим списком свойств:

• Он унимодулярный ; т. е. он может быть сгенерирован столбцами определенной матрицы 24×24 с определителем 1.
• Это даже; т. е. квадрат длины каждого вектора из Λ ₂₄ является четным целым числом.
• Длина каждого ненулевого вектора из Λ ₂₄ не меньше 2.

Последнее условие эквивалентно тому, что единичные шары с центрами в точках Λ ₂₄ не перекрываются. Каждый касается 196 560 соседей, и это, как известно, наибольшее количество непересекающихся 24-мерных единичных шаров, которые могут одновременно касаться одного единичного шара . Такое расположение 196 560 единичных шаров, центрированных вокруг другого единичного шара, настолько эффективно, что нет места для перемещения ни одного шара; эта конфигурация вместе со своим зеркальным отображением является единственной 24-мерной компоновкой, в которой 196 560 единичных шаров одновременно касаются друг друга. Это свойство также справедливо в 1, 2 и 8 измерениях с 2, 6 и 240 единичными шарами соответственно, основанными на целочисленной решетке , шестиугольной мозаике и E ₈ решетке соответственно.

Она не имеет корневой системы и фактически является первой унимодулярной решеткой без корней (векторы нормы меньше 4) и, следовательно, имеет плотность центра 1. Умножив это значение на объем единичного шара в 24 измерениях, ${\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}$, можно получить его абсолютную плотность.

Конвей (1983) показал, что решетка Лича изометрична множеству простых корней (или диаграмме Дынкина ) группы отражений 26-мерной четной лоренцевой унимодулярной решетки II _25,1 . Для сравнения: диаграммы Дынкина II _9,1 и II _17,1 конечны.

Приложения

Двоичный код Голея , независимо разработанный в 1949 году, представляет собой приложение в теории кодирования . Точнее, это код, исправляющий ошибки, способный исправлять до трёх ошибок в каждом 24-битном слове и обнаруживать до семи. Его использовали для связи с зондами «Вояджер» , так как он гораздо компактнее ранее использовавшегося кода Адамара .

Квантизаторы или аналого-цифровые преобразователи могут использовать решетки для минимизации средней среднеквадратической ошибки. Большинство квантователей основаны на одномерной целочисленной решетке , но использование многомерных решеток уменьшает среднеквадратическую ошибку. Решетка Лича является хорошим решением этой проблемы, поскольку ячейки Вороного имеют низкий второй момент .

Вершинная алгебра двумерной конформной теории поля, теорию бозонных струн , компактифицированная на 24-мерном факторторе описывающая R ²⁴ /Λ ₂₄ и орбифолдированная двухэлементной группой отражений, дает явную конструкцию алгебры Грисса , в которой группа монстров является группой автоморфизмов. Эта чудовищная вершинная алгебра также использовалась для доказательства чудовищных гипотез самогона .

Конструкции

Решетка Лича может быть построена различными способами. Как и все решетки, ее можно построить, взяв целый интервал столбцов ее порождающей матрицы , матрицы 24×24 с определителем 1.

show

Матрица генератора пиявки

A 24x24 generator (in row convention) for the Leech Lattice is given by the following matrix divided by ${\sqrt {8}}$:

 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0
 2 0 2 0 2 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0
 2 0 0 2 2 2 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0
 2 2 0 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0
 0 2 2 2 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0
 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0
 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
−3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Использование двоичного кода Голея

Решетку Лича можно явно построить как набор векторов вида 2 ^−3/2 ( a ₁ , a ₂ , ..., a ₂₄ ), где a _i — целые числа такие, что

$a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{24}\equiv 4a_{1}\equiv 4a_{2}\equiv \cdots \equiv 4a_{24}{\pmod {8}}$

и для каждого фиксированного класса вычетов по модулю 4 24-битное слово, чьи единицы соответствуют координатам i таким, что a _i принадлежит этому классу вычетов, является словом в двоичном коде Голея . Код Голея вместе с соответствующим планом Витта используется в конструкции для 196560 минимальных векторов в решетке Лича.

Решетка Лича (L mod 8) может быть построена напрямую путем комбинации трех следующих наборов:

$L~=~~(4B+C)\otimes {1_{2^{12}}}~~+~~~{1_{2^{24}}}\otimes 2G~~~$ , ( ${1_{n}}$ вектор единиц размера n),

• G — 24-битный код Голея
• B — Двоичная целочисленная последовательность
• C - последовательность Туэ-Морса или целочисленная сумма битов четности (которые дают киральность решетки)

24-bit Golay  [2^12 codes]      24-bit integer[2^24 codes]      Parity      Leech Lattice [2^36 codes]
G =                             B =                             C =         L = (4B + C) ⊕ 2G
00000000 00000000 00000000      00000000 00000000 00000000      0           00000000 00000000 00000000
11111111 00000000 00000000      10000000 00000000 00000000      1           22222222 00000000 00000000
11110000 11110000 00000000      01000000 00000000 00000000      1           22220000 22220000 00000000
00001111 11110000 00000000      11000000 00000000 00000000      0           ...
11001100 11001100 00000000      00100000 00000000 00000000      1           51111111 11111111 11111111
00110011 11001100 00000000      10100000 00000000 00000000      0           73333333 11111111 11111111
00111100 00111100 00000000      01100000 00000000 00000000      0           ...
11000011 00111100 00000000      11100000 00000000 00000000      1           15111111 11111111 11111111
10101010 10101010 00000000      00010000 00000000 00000000      1           37333333 11111111 11111111
01010101 10101010 00000000      10010000 00000000 00000000      0           ...
01011010 01011010 00000000      01010000 00000000 00000000      0           44000000 00000000 00000000
10100101 01011010 00000000      11010000 00000000 00000000      1           66222222 00000000 00000000
...                             ...                             ...         ...
11111111 11111111 11111111      11111111 11111111 11111111      0           66666666 66666666 66666666

Используя лоренцеву решетку II _25,1

Решетка Лича также может быть построена как $w^{\perp }/w$ где w — вектор Вейля:

$(0,1,2,3,\dots ,22,23,24;70)$

в 26-мерной четной лоренцевой унимодулярной решетке II _25,1 . Существование такого целого вектора нулевой лоренцевой нормы основано на том, что 1 ² + 2 ² + ... + 24 ² — идеальный квадрат (фактически 70 ² ); число 24 — единственное целое число больше 1, обладающее этим свойством (см. задачу о пушечном ядре ). Эту гипотезу высказал Эдуард Люка , но доказательство пришло гораздо позже, основанное на эллиптических функциях .

Вектор $(0,1,2,3,\dots ,22,23,24)$ в этой конструкции действительно является вектором Вейля четной подрешетки D ₂₄ нечетной унимодулярной решетки I ²⁵ . В более общем смысле, если L - любая положительно определенная унимодулярная решетка размерности 25 с по крайней мере 4 векторами нормы 1, то вектор Вейля ее корней нормы 2 имеет целую длину, и существует аналогичная конструкция решетки Лича с использованием L и это Вектор Вейля.

На основе других решеток

Конвей и Слоан (1982) описали еще 23 конструкции решетки Лича, каждая из которых основана на решетке Нимейера . Его также можно построить с использованием трех копий решетки E8 , точно так же, как двоичный код Голея можно построить с использованием трех копий расширенного кода Хэмминга H ₈ . Эта конструкция известна как конструкция Тюрина решетки Лича.

Как ламинированная решетка

Начав с одной точки Λ ₀ , можно сложить копии решетки Λ _n, чтобы сформировать ( n + 1)-мерную решетку Λ _{n +1} , не уменьшая минимальное расстояние между точками. Λ ₁ соответствует целочисленной решетке , Λ ₂ — гексагональной решетке и Λ ₃ — гранецентрированной кубической упаковке. Конвей и Слоан (1982b) показали, что решетка Лича представляет собой уникальную слоистую решетку в 24 измерениях.

Как сложная решетка

Решетка Лича также является 12-мерной решеткой над целыми числами Эйзенштейна . Она известна как комплексная решетка Лича и изоморфна 24-мерной реальной решетке Лича. В сложной конструкции решетки Лича двоичный код Голея заменяется троичным кодом Голея , а группа Матье М ₂₄ заменяется группой Матье М ₁₂ . Решетка E ₆ , решетка E ₈ и решетка Кокстера – Тодда также имеют конструкции как комплексные решетки либо над целыми числами Эйзенштейна, либо над гауссовыми числами .

Использование икосианского кольца

Решетка Лича также может быть построена с использованием кольца икосианов . Икосианское кольцо абстрактно изоморфно решетке E8 , три копии которой можно использовать для построения решетки Лича с помощью конструкции Тьюрина.

Конструкция Витта

В 1972 году Витт предложил следующую конструкцию, которую, по его словам, он нашел в 1940 году, 28 января. Предположим, что H — размера n на n матрица Адамара , где n = 4 ab . Тогда матрица ${\begin{pmatrix}Ia&H/2\\H/2&Ib\end{pmatrix}}$ определяет билинейную форму в 2 n измерениях, ядро ​​которой имеет n измерений. Фактор по этому ядру представляет собой неособую билинейную форму, принимающую значения в (1/2) Z . Он имеет три подрешетки индекса 2, которые являются целочисленными билинейными формами. Витт получил решетку Лича как одну из этих трех подрешеток, взяв a =2, b =3 и приняв H в качестве матрицы 24 на 24 (с индексом Z /23 Z ∪ ∞) с элементами Χ( m + n ), где Χ(∞)=1, Χ(0)=−1, Χ( n )= — символ квадратичного вычета по модулю 23 для ненулевого n . Эта матрица H является матрицей Пэли с некоторыми незначительными изменениями знака.

Использование матрицы Пэли

Чепмен (2001) описал конструкцию с использованием косая матрица Адамара типа Пэли . с Решетка Нимейера корневой системой $D_{24}$ можно превратить в модуль для кольца целых полей $\mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})$. Умножая это Решетка Нимейера по неглавному идеалу кольца целых чисел дает решетку Лича.

Использование кодов остатка с более высокой степенью

Раджи (2005) построил решетку Лича, используя коды вычетов более высокой степени над кольцом. $Z_{4}$. Аналогичная конструкция используется для построения некоторых других решеток ранга 24.

Использование октонионов

Если L — множество октонионов с координатами на $E_{8}$ решётка , то решеткой Лича является множество троек $(x,y,z)$ такой, что

$x,y,z\in L$

$x+y,y+z,x+z\in L{\bar {s}}$

$x+y+z\in Ls$

где $s={\frac {1}{2}}(-e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4}+e_{5}+e_{6}+e_{7})$. Эта конструкция возникла благодаря ( Wilson 2009 ).

Симметрии

Решетка Лича очень симметрична. Ее группой автоморфизмов является группа Конвея Co ₀ , имеющая порядок 8 315 553 613 086 720 000. Центр Co ₀ имеет два элемента, а фактор Co ₀ по этому центру является группой Конвея Co ₁ , конечной простой группа. Многие другие спорадические группы , такие как оставшиеся группы Конвея и группы Матье , могут быть построены как стабилизаторы различных конфигураций векторов в решетке Лича.

Несмотря на такую ​​высокую группу вращательной симметрии, решетка Лича не обладает гиперплоскостями отражательной симметрии. Другими словами, решетка Лича киральна . Он также имеет гораздо меньше симметрий, чем 24-мерный гиперкуб и симплекс или даже декартово произведение трех копий решетки E8 .

Группа автоморфизмов была впервые описана Джоном Конвеем . 398034000 векторов нормы 8 распадаются на 8292375 «крестов» из 48 векторов. Каждый крест содержит 24 взаимно ортогональных вектора и их отрицательные значения и, таким образом, описывает вершины 24-мерного ортоплекса . Каждый из этих крестов можно принять за систему координат решетки и имеет ту же симметрию, что и код Голея , а именно 2 ¹² × |М ₂₄ |. Следовательно, полная группа автоморфизмов решетки Лича имеет порядок 8292375 × 4096 × 244823040, или 8 315 553 613 086 720 000.

Геометрия

Конвей, Паркер и Слоан (1982) показали, что радиус покрытия решетки Лича равен ${\sqrt {2}}$; другими словами, если мы поместим замкнутый шар этого радиуса вокруг каждой точки решетки, то они просто покроют евклидово пространство. Точки на расстоянии не менее ${\sqrt {2}}$ из всех точек решетки называются глубокими дырами решетки Лича. Под группой автоморфизмов решетки Лича их 23 орбиты, и эти орбиты соответствуют 23 решеткам Нимейера, отличным от решетки Лича: множество вершин глубокой дыры изометрично аффинной диаграмме Дынкина соответствующей решетки Нимейера.

Решетка Лича имеет плотность ${\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}\approx 0.001930$. Кон и Кумар (2009) показали, что это дает самую плотную решетчатую упаковку шаров в 24-мерном пространстве. Генри Кон, Абхинав Кумар и Стивен Д. Миллер и др. ( 2017 ) улучшили этот показатель, показав, что это самая плотная сферическая упаковка, даже среди нерешетчатых упаковок.

196560 минимальных векторов бывают трех разных разновидностей, известных как фигуры :

• $1104={\binom {24}{2}}\cdot 2^{2}$ векторы формы (4 ² ,0 ²² ), для всех перестановок и выбора знака;
• $97152=759\cdot 2^{8}\cdot {\frac {1}{2}}$ векторы формы (2 ⁸ ,0 ¹⁶ ), где 2 соответствуют октаде в коде Голея и имеется любое четное количество знаков минус;
• $98304=2^{12}\cdot 24$ векторы формы (∓3,±1 ²³ ), где нижний знак используется для единиц любого кодового слова кода Голея, а «∓3» может появляться в любой позиции.

Тернарный код Голея , двоичный код Голея и решетка Лича дают очень эффективные 24-мерные сферические коды из 729, 4096 и 196560 точек соответственно. Сферические коды — это многомерные аналоги проблемы Таммеса , возникшей как попытка объяснить распределение пор на пыльцевых зернах. Они распределены так, чтобы максимизировать минимальный угол между ними. В двух измерениях проблема тривиальна, а в трех измерениях и выше — нет. Примером сферического кода в трех измерениях является набор из 12 вершин правильного икосаэдра.

Серия Тета

Любой (положительно определенной) решетке Λ можно сопоставить тэта-функцию, заданную формулой

$\Theta _{\Lambda }(\tau )=\sum _{x\in \Lambda }e^{i\pi \tau \|x\|^{2}}\qquad \operatorname {Im} \tau >0.$

Тогда тэта-функция решетки является голоморфной функцией в верхней полуплоскости . Более того, тэта-функция четной унимодулярной решетки ранга n на самом деле является модулярной формой веса n /2 для полной модулярной группы PSL(2, Z ). Тета-функция целой решетки часто записывается в виде степенного ряда в $q=e^{2i\pi \tau }$ так что коэффициент при q ^н дает число векторов решетки квадрата нормы 2 n . В решетке Лича имеется 196560 векторов квадрата нормы 4, 16773120 векторов квадрата нормы 6, 398034000 векторов квадрата нормы 8 и так далее. Тета-ряд решетки Лича:

${\begin{aligned}\Theta _{\Lambda _{24}}(\tau )&=E_{12}(\tau )-{\frac {65520}{691}}\Delta (\tau )\\[5pt]&=1+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {65520}{691}}\left(\sigma _{11}(m)-\tau (m)\right)q^{m}\\[5pt]&=1+196560q^{2}+16773120q^{3}+398034000q^{4}+\cdots ,\end{aligned}}$

где $E_{12}(\tau )$ — нормированный ряд Эйзенштейна веса 12, $\Delta (\tau )$ – модульный дискриминант , $\sigma _{11}(n)$ - функция делителя показателя 11, а $\tau (n)$ — тау-функция Рамануджана . Отсюда следует, что при m ≥1 количество векторов квадрата нормы 2 m равно

${\frac {65520}{691}}\left(\sigma _{11}(m)-\tau (m)\right).$

История

Многие сечения решетки Лича, включая решетку Коксетера-Тодда и решетку Барнса-Уолла , в 12 и 16 измерениях, были обнаружены намного раньше, чем решетка Лича. О'Коннор и Палл (1944) обнаружили родственную нечетную унимодулярную решетку в 24 измерениях, теперь называемую нечетной решеткой Лича , одним из двух четных соседей которой является решетка Лича. Решетка Лича была открыта в 1965 году Джоном Личем ( 1967 , 2.31, стр. 262) путем улучшения некоторых ранее обнаруженных им упаковок сфер ( Leech 1964 ).

Конвей ( 1968 ) вычислил порядок группы автоморфизмов решетки Лича и, работая с Джоном Г. Томпсоном три новые спорадические группы , открыл в качестве побочного продукта : группы Конвея , Co ₁ , Co ₂ , Co ₃ . Они также показали, что четыре других (тогда) недавно объявленных спорадических группы, а именно, Хигмана-Симса , Сузуки , Маклафлина и группу Янко J2 _, можно было найти внутри групп Конвея, используя геометрию решетки Лича. (Ронан, стр. 155)

Пытаясь определить форму такого класса, я обнаружил в Γ _{24 более 10 различных классов.}

Витт (1941 , стр. 324)

У Витта (1941 , стр. 324) есть единственное довольно загадочное предложение, в котором упоминается, что он обнаружил более 10 даже унимодулярных решеток в 24 измерениях, но не приводится дополнительных подробностей. Витт (1998 , стр. 328–329) заявил, что он нашел 9 таких решеток ранее в 1938 году и нашел еще две: решетку Нимейера с A ²⁴
₁ корневая система и решетка Лича (а также нечетная решетка Лича), 1940 г.

См. также

• Сферическая упаковка
• Е ₈ Решетка

Ссылки

• Чепмен, Робин (2001), «Матрицы конференций и унимодулярные решетки», Европейский журнал комбинаторики , 22 (8): 1033–1045, arXiv : math.NT/0007116 , doi : 10.1006/eujc.2001.0539 , ISSN   0195-6698 , МР   1861046 , С2КИД   744078 , Збл   0993.05036
• Раджи, Мехрдад Ахмадзаде (2005), «Коды вычетов высшей степени и решетка пиявки», Журнал алгебраической комбинаторики , 21 (1): 39–53, doi : 10.1007/s10801-005-6279-4 , ISSN   1572-9192 , S2CID   120908420
• Кон, Генри; Кумар, Абхинав (2009), «Оптимальность и уникальность решетки Лича среди решеток», Annals of Mathematics , 170 (3): 1003–1050, arXiv : math.MG/0403263 , doi : 10.4007/annals.2009.170.1003 , ISSN   1939-8980 , MR   2600869 , S2CID   10696627 , Збл   1213.11144
• Кон, Генри; Кумар, Абхинав (2004), «Самая плотная решетка в двадцати четырех измерениях», Электронные объявления об исследованиях Американского математического общества , 10 (7): 58–67, arXiv : math.MG/0408174 , Bibcode : 2004math... ...8174C , doi : 10.1090/S1079-6762-04-00130-1 , ISSN   1079-6762 , MR   2075897 , S2CID   15874595
• Кон, Генри; Кумар, Абхинав; Миллер, Стивен Д.; Радченко Даниил; Вязовская, Марина (2017), «Проблема упаковки сфер в размерности 24», Annals of Mathematics , 185 (3): 1017–1033, arXiv : 1603.06518 , Bibcode : 2016arXiv160306518C , doi : 10.4007/annals.2017.185.3.8 , S2CID   119281758
• Конвей, Джон Хортон (1968), «Идеальная группа порядка 8 315 553 613 086 720 000 и спорадические простые группы», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 61 (2): 398–400, Bibcode : 1968PNAS.. .61..398C , doi : 10.1073/pnas.61.2.398 , MR   0237634 , PMC   225171 , PMID   16591697
• Конвей, Джон Хортон (1983), «Группа автоморфизмов 26-мерной даже унимодулярной лоренцевой решетки», Journal of Algebra , 80 (1): 159–163, doi : 10.1016/0021-8693(83)90025-X , ISSN   0021-8693 , МР   0690711
• Конвей, Джон Хортон ; Слоан, NJA (1982b), «Ламинированные решетки», Annals of Mathematics , Second Series, 116 (3): 593–620, doi : 10.2307/2007025 , ISSN   0003-486X , JSTOR   2007025 , MR   0678483
• Конвей, Джон Хортон ; Паркер, РА; Слоан, Нью-Джерси (1982), «Радиус покрытия решетки Лича», Proceedings of the Royal Society A , 380 (1779): 261–290, Бибкод : 1982RSPSA.380..261C , doi : 10.1098/rspa.1982.0042 , ISSN   0080-4630 , MR   0660415 , S2CID   202575323
• Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нью-Джерси (1982), «Двадцать три конструкции решетки Лича», Proceedings of the Royal Society A , 381 (1781): 275–283, Бибкод : 1982RSPSA.381..275C , doi : 10.1098/rspa.1982.0071 , ISSN   0080-4630 , MR   0661720 , S2CID   202575295
• Конвей, Дж. Х. ; Слоан, NJA (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 290, При участии Баннаи Э.; Борчердс, RE; Лич, Дж.; Нортон, СП; Одлыжко А.М.; Паркер, РА; Королева, Л.; Венков, BB (Третье изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-98585-5 , МР   0662447 , Збл   0915.52003
• Дю Сотой, Маркус (2009), В поисках самогона , Четвертая власть, ISBN  978-0-00-721462-4
• Грисс, Роберт Л. (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-662-03516-0 , ISBN  978-3-540-62778-4 , МР   1707296
• Лич, Джон (1964), «Некоторые упаковки сфер в высшем пространстве», Canadian Journal of Mathematics , 16 : 657–682, doi : 10.4153/CJM-1964-065-1 , ISSN   0008-414X , MR   0167901 , S2CID   123244939
• Лич, Джон (1967), «Заметки об упаковках сфер», Canadian Journal of Mathematics , 19 : 251–267, doi : 10.4153/CJM-1967-017-0 , ISSN   0008-414X , MR   0209983
• О'Коннор, RE; Палл, Г. (1944), «Построение целых квадратичных форм определителя 1», Duke Mathematical Journal , 11 (2): 319–331, doi : 10.1215/S0012-7094-44-01127-0 , ISSN   0012- 7094 , МР   0010153
• Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок через сферические упаковки к простым группам , Carus Mathematical Monographs, vol. 21, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, ISBN.  978-0-88385-023-7 , МР   0749038
• Ронан, Марк (2006), Симметрия и монстр , Оксфорд: Oxford University Press, ISBN  978-0-19-280722-9 , МР   2215662
• Уилсон, Роберт А. (2009), «Октонионы и решетка Лича», Journal of Algebra , 322 (6): 2186–2190, doi : 10.1016/j.jalgebra.2009.03.021 , MR   2542837
• Витт, Эрнст (1941), «Тождество между модульными формами второй степени», Статьи математического семинара Гамбургского университета , 14 : 323–337, doi : 10.1007/BF02940750 , MR   0005508 , S2CID   120849019
• Витт, Эрнст (1998), Сборник статей. Сборник трактатов , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-57061-5 , МР   1643949

Внешние ссылки

• Решетка пиявки (CP4space)
• Вайсштейн, Эрик В. «Решетка пиявки» . Математический мир .
• The Leech Lattice, Университет Иллинойса в Чикаго, сайт Марка Ронана
• Статьи Р.Э. Борчердса