Решетка Нимейера

В математике решетка Нимейера — одна из 24 определенные четные унимодулярные решетки ранга положительно 24,которые были классифицированы Гансом-Фолькером Нимейером ( 1973 ). Венков (1978) дал упрощенное доказательство классификации. Витт (1941) упоминает, что нашел более 10 таких решеток, но не приводит дальнейших подробностей. Одним из примеров решетки Нимейера является решетка Лича, обнаруженная в 1967 году.

Классификация

Решетки Нимейера обычно обозначаются диаграммой Дынкина их корневая решетка . Каждая решетка Нимейера может быть построена из своей корневой решетки (за исключением решетки Лича, которая не имеет корней) путем присоединения элементов, известных как векторы клея, как подробно описано в §16.1 работы Conway & Sloane (1998) . Диаграммы Дынкина, связанные с решеткой Нимейера, имеют ранг 0 или 24, и все их компоненты имеют одинаковое число Коксетера . (Число Кокстера, по крайней мере в этих случаях, равно число корней, разделенное на размерность.) Существует ровно 24 диаграммы Дынкина с этими свойствами, и оказывается, что существует единственная диаграмма Нимейерарешетка для каждой из этих диаграмм Дынкина.

Полный список решеток Нимейера приведен в следующей таблице.В таблице,

G ₀ — порядок группы, порожденной отражениями

G ₁ — порядок группы автоморфизмов, фиксирующих все компоненты диаграммы Дынкина.

G ₂ — порядок группы автоморфизмов перестановок компонент диаграммы Дынкина

G _∞ — индекс корневой решетки в решетке Нимейера, другими словами, порядок «клеевого кода». Это квадратный корень из дискриминанта корневой решетки.

G ₀ × G ₁ × G ₂ — порядок группы автоморфизмов решетки

G _∞ × G ₁ × G ₂ — порядок группы автоморфизмов соответствующей глубокой дыры.

Решетчатая корневая система	Номер Кокстера	г ₀	Г ₁	Г ₂	G _∞
Решетка пиявки (без корней)	0	1	2Со ₁	1	С ²⁴
А ₁²⁴	2	2 ²⁴	1	М ₂₄	2 ¹²
A_А2¹²	3	3! ¹²	2	М ₁₂	3 ⁶
A_А3⁸	4	4! ⁸	2	1344	4 ⁴
A ₄⁶	5	5! ⁶	2	120	5 ³
A_А5⁴Д ₄	6	6! ⁴(2 ³4!)	2	24	72
Д ₄⁶	6	(2 ³4!) ⁶	3	720	4 ³
А ₆⁴	7	7! ⁴	2	12	7 ²
A ₇²Д ₅²	8	8! ²(2 ⁴5!) ²	2	4	32
А ₈³	9	9! ³	2	6	27
A_А9²Д ₆	10	10! ²(2 ⁵6!)	2	2	20
Д ₆⁴	10	(2 ⁵6!) ⁴	1	24	16
E_Е6⁴	12	(2 ⁷3 ⁴5) ⁴	2	24	9
А ₁₁ Д ₇ Е ₆	12	12!(2 ⁶7!)(2 ⁷3 ⁴5)	2	1	12
А ₁₂²	13	13! ²	2	2	13
Д ₈³	14	(2 ⁷8!) ³	1	6	8
А ₁₅ Д ₉	16	16!(2 ⁸9!)	2	1	8
А ₁₇ Е ₇	18	18!(2 ¹⁰3 ⁴5.7)	2	1	6
Д ₁₀ Е ₇²	18	(2 ⁹10!)(2 ¹⁰3 ⁴5.7) ²	1	2	4
Д ₁₂²	22	(2 ¹¹12!) ²	1	2	4
А ₂₄	25	25!	2	1	5
Д ₁₆ Е ₈	30	(2 ¹⁵16!)(2 ¹⁴3 ⁵5 ²7)	1	1	2
E₈³	30	(2 ¹⁴3 ⁵5 ²7) ³	1	6	1
Д ₂₄	46	2 ²³24!	1	1	2

Граф окрестностей решеток Нимейера

Если L — нечетная унимодулярная решетка размерности 8 n , а M — ее подрешетка четных векторов, то M содержится ровно в трех унимодулярных решетках, одна из которых — L , а две другие — четные. (Если L имеет вектор нормы 1, то две четные решетки изоморфны . ) Граф окрестностей Кнезера в 8 n измерениях имеет точку для каждой четной решетки и линию, соединяющую две точки для каждой нечетной 8 n размерной решетки без нормы 1. векторы, где вершины каждой линии представляют собой две четные решетки, связанные с нечетной решеткой. Между одной и той же парой вершин может быть несколько прямых, а также могут быть линии от вершины к самой себе. Кнезер доказал, что этот граф всегда связен. В 8 измерениях он имеет одну точку и не имеет линий, в 16 измерениях он имеет две точки, соединенные одной линией, а в 24 измерениях это следующий график:

Каждая точка представляет одну из 24 решеток Нимейера, а соединяющие их линии представляют собой 24-мерные нечетные унимодулярные решетки без векторов нормы 1. (Толстые линии обозначают несколько линий.) Число справа — это число Кокстера решетки Нимейера.

В 32 измерениях граф окрестности имеет более миллиарда вершин.

Характеристики

Некоторые из решеток Нимейера относятся к спорадическим простым группам . На решетку Лича действует двойное накрытие группы Конвея : и решетки A ₁²⁴ и А ₂¹²на которые действуют группы Матье М ₂₄ и М ₁₂ .

Решетки Нимейера, отличные от решетки Лича, соответствуют глубокие дыры решетки Лича. Это означает, что аффинные диаграммы Дынкина решеток Нимейера можно увидеть внутри решетки Лича, когда две точки решетки Лича не соединяются никакими линиями, если между ними есть расстояние ${\sqrt {4}}$ , на 1 строку, если между ними есть расстояние ${\sqrt {6}}$ ,и двойной линией, если между ними есть расстояние ${\sqrt {8}}$ .

Решетки Нимейера также соответствуют 24 орбитам примитивных векторов нулевой нормы w четной унимодулярной лоренцевой решетки II _25,1 , где решетка Нимейера, соответствующая w, равна w ^⊥/ В .

См. также

Ссылки

Шеневье, Гаэтан; Ланн, Жан (2014), Автоморфные формы и соседи Кнезера сетей Нимейера , arXiv : 1409.7616 , Bibcode : 2014arXiv1409.7616C
Конвей, Дж. Х. ; Слоан, Нью-Джерси (1998). Сферические упаковки, решетки и группы (3-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-98585-9 .
Эбелинг, Вольфганг (2002) [1994], Решетки и коды , Лекции продвинутого уровня по математике (переработанное издание), Брауншвейг: Фридр. Vieweg & Son, номер документа : 10.1007/978-3-322-90014-2 , ISBN. 978-3-528-16497-3 , г-н 1938666
Нимейер, Ганс Фолькер (1973). «Определенные квадратичные формы размерности 24 и дискриминант 1» (на немецком языке) . Журнал теории чисел . 5 (2): 142–178. Бибкод : 1973JNT.....5..142N . дои : 10.1016/0022-314X(73)90068-1 . MR0316384 .
Venkov, B. B. (1978), "On the classification of integral even unimodular 24-dimensional quadratic forms", Akademiya Nauk Soyuza Sovetskikh Sotsialisticheskikh Respublik. Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova , 148 : 65–76, ISSN 0371-9685 , MR 0558941 English translation in Conway & Sloane (1998)
Витт, Эрнст (1941), «Тождество между модульными формами второй степени», Статьи математического семинара Гамбургского университета , 14 : 323–337, doi : 10.1007/BF02940750 , MR 0005508 , S2CID 120849019
Витт, Эрнст (1998), Сборник статей. Сборник статей , Сборник сочинений Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-41970-6 , ISBN 978-3-540-57061-5 , МР 1643949

Внешние ссылки

Каталог решеток Ахенского университета