Группа Конвея

В области современной алгебры, известной как теория групп , группы Конвея — это три спорадические простые группы Co ₁ , Co ₂ и Co ₃ вместе с связанной с ними конечной группой Co _0, введенной ( Conway   1968 , 1969 ).

Самая большая из групп Конвея Co ₀ — это группа автоморфизмов решетки Лича Λ относительно сложения и скалярного произведения . Там есть порядок

8,315,553,613,086,720,000

но это не простая группа. Простая группа Co ₁ порядка

4,157,776,806,543,360,000 =  2 ²¹  · 3 ⁹  · 5 ⁴  · 7 ²  · 11  · 13  · 23

определяется как частное Co ₀ по его центру , состоящему из скалярных матриц ±1. Группы Co ₂ порядка

42,305,421,312,000 =  2 ¹⁸  · 3 ⁶  · 5 ³  · 7  · 11  · 23

и Co ₃ порядка

495,766,656,000 =  2 ¹⁰  · 3 ⁷  · 5 ³  · 7  · 11  · 23

состоят из автоморфизмов Λ, фиксирующих решёточный вектор типа 2 и типа 3 соответственно. Поскольку скаляр −1 не фиксирует ненулевой вектор, эти две группы изоморфны подгруппам Co ₁ .

Внутренний продукт в решетке Лича определяется как 1/8 суммы произведений соответствующих координат двух векторов множимого; это целое число. Квадратная норма вектора — это его внутренний продукт на самого себя, всегда четное целое число. Обычно говорят о типе вектора решетки Лича: половина квадратной нормы. Подгруппы часто называются в соответствии с типами соответствующих фиксированных точек. В этой решетке нет векторов типа 1.

История

Томас Томпсон ( 1983 ) рассказывает, как примерно в 1964 году Джон Лич исследовал плотные упаковки сфер в евклидовых пространствах большой размерности. Одним из открытий Лича была решетчатая упаковка в 24-мерном пространстве, основанная на том, что стало называться решеткой Лича Λ. Он задавался вопросом, содержит ли группа симметрии его решетки интересную простую группу, но чувствовал, что ему нужна помощь кого-то, кто лучше знаком с теорией групп. Ему приходилось много расспрашивать, потому что математики были заняты своими собственными делами. Джон Конвей согласился разобраться в проблеме. Джон Г. Томпсон сказал, что ему было бы интересно, если бы ему передали приказ группы. Конвей рассчитывал потратить на решение этой проблемы месяцы или годы, но добился результатов всего за несколько сеансов.

Витт (1998 , стр. 329) заявил, что он нашел решетку Лича в 1940 году, и намекнул, что он вычислил порядок ее группы автоморфизмов Co ₀ .

Мономиальная подгруппа N Co ₀

Конвей начал свое исследование Co ₀ с подгруппы, которую он назвал N , голоморфа (расширенного) двоичного кода Голея (в виде диагональных матриц с 1 или -1 в качестве диагональных элементов) группой Матье M ₂₄ (в качестве матриц перестановок ). Н ≈ 2 ¹² :М ₂₄ .

Стандартное представление , используемое в этой статье, двоичного кода Голея упорядочивает 24 координаты так, что 6 последовательных блоков (тетрад) по 4 составляют секстет .

Матрицы ₀ ортогональны ; Co т. е. они оставляют внутренний продукт неизменным. Обратное — это транспонирование . Co ₀ не имеет матриц определителя −1.

Решетку Лича легко определить как Z - модуль, порожденный множеством Λ ₂ всех векторов типа 2, состоящим из

(4, 4, 0 ²² )

(2 ⁸ , 0 ¹⁶ )

(−3, 1 ²³ )

их изображения под Н. и Λ ₂ под N попадает на 3 орбиты размерами 1104, 97152 и 98304 . Тогда | Λ ₂ | = 196 560 = 2 ⁴ ⋅3 ³ ⋅5⋅7⋅13 . Конвей сильно подозревал, что Co _на Λ 0 транзитивен 2 _, и действительно нашел новую матрицу, не мономиальную и не целочисленную.

Пусть η — матрица 4х4

${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1\end{pmatrix}}$

Теперь пусть ζ — блочная сумма шести матриц: каждая из η и − η нечетных чисел . ζ — симметричная и ортогональная матрица, то есть инволюция . Некоторые эксперименты показывают, что он меняет векторы между разными N. орбитами

Чтобы вычислить |Co ₀ | лучше всего рассматривать Λ ₄ , набор векторов типа 4. Любой вектор типа 4 является одним из ровно 48 векторов типа 4, конгруэнтных друг другу по модулю 2Λ, распадающихся на 24 ортогональные пары { v , – v }. Набор из 48 таких векторов называется рамкой или крестом . N имеет в качестве орбиты стандартную систему координат из 48 векторов формы (±8, 0 ²³ ). Подгруппа, фиксирующая данный фрейм, сопряженной к N. является Группа 2 ¹² , изоморфный коду Голея, действует как смена знака векторов кадра, а M ₂₄ переставляет местами 24 пары кадра. Co ₀ Можно показать, что транзитивно на Λ ₄ . Конвей умножил порядок 2 ¹² |М ₂₄ | N | последнее равно частному по числу кадров, причем Λ ₄ |/48 = 8 252 375 = 3 ⁶ ⋅5 ³ ⋅7⋅13 . Это произведение является порядком любой подгруппы Co ₀ , которая собственно содержит N ; следовательно, N — максимальная подгруппа Co ₀ и содержит 2-силовские подгруппы Co ₀ . N также является подгруппой в Co ₀ всех матриц с целыми компонентами.

Поскольку в Λ входят векторы вида (±8, 0 ²³ ) , Co ₀ состоит из рациональных матриц, все знаменатели которых являются делителями 8.

Наименьшее нетривиальное представление Co ₀ над любым полем — это 24-мерное представление, исходящее из решетки Лича, и оно точно над полями характеристики, отличной от 2.

Инволюции в Co ₀

любая инволюция в Со0 _{сопряжена} Можно показать, что с элементом кода Голея. Со ₀ имеет 4 класса сопряженности инволюций.

Матрица перестановок формы 2 ¹² можно показать, что оно сопряжено с додекадой . Его централизатор имеет вид 2 ¹² :M ₁₂ и имеет сопряжения внутри мономиальной подгруппы. Любая матрица в этом классе сопряженности имеет след 0.

Матрица перестановок формы 2 ⁸ 1 ⁸ можно показать, что оно сопряжено с октадой ; он имеет след 8. Этот и его отрицательный след (след −8) имеют общий централизатор вида (2 ¹⁺⁸ ×2).Или ₈ ⁺ (2) , подгруппа максимальная в Co ₀ .

Группы подрешеток

Конвей и Томпсон обнаружили, что четыре недавно открытые спорадические простые группы, описанные в материалах конференции ( Брауэр и Сах, 1969 ), были изоморфны подгруппам или факторам подгрупп Co ₀ .

Сам Конвей использовал обозначение стабилизаторов точек и подпространств, в котором он ставил точку. Исключительными были .0 и .1 , то есть Co ₀ и Co ₁ . Для целого числа n ≥ 2 пусть .n обозначает стабилизатор точки типа n (см. выше) в решетке Лича.

Затем Конвей назвал стабилизаторы плоскостей, определяемых треугольниками, имеющими начало в вершине. Пусть .hkl — поточечный стабилизатор треугольника с рёбрами (разностями вершин) типов h , k и l . Треугольник обычно называют треугольником hkl . В простейших случаях Со0 _{транзитивна} в рассматриваемых точках или треугольниках и группы стабилизаторов определены с точностью до сопряженности.

Конвей идентифицировал 0,322 с группой Маклафлина McL (порядок 898 128 000 ) и 0,332 с группой Хигмана-Симса HS (порядок 44 352 000 ); оба они были недавно обнаружены.

Вот таблица некоторых групп подрешеток:

Имя	Заказ	Структура	Примеры вершин
•2	2 18 3 6 5 3 7 11 23	Со 2	(−3, 1 23 )
•3	2 10 3 7 5 3 7 11 23	CoСо3	(5, 1 23 )
•4	2 18 3 2 5 7 11 23	2 11 :М 23	(8, 0 23 )
•222	2 15 3 6 5 7 11	БП 6 (2) ≈ Фи 21	(4, −4, 0 22 ), (0, −4, 4, 0 21 )
•322	2 7 3 6 5 3 7 11	МакЛ	(5, 1 23 ),(4, 4, 0 22 )
•332	2 9 3 2 5 3 7 11	HS	(5, 1 23 ), (4, −4, 0 22 )
•333	2 4 3 7 5 11	3 5 М 11	(5, 1 23 ), (0, 2 12 , 0 11 )
•422	2 17 3 2 5 7 11	2 10 :М 22	(8, 0 23 ), (4, 4, 0 22 )
•432	2 7 3 2 5 7 11 23	М 23	(8, 0 23 ), (5, 1 23 )
•433	2 10 3 2 5 7	2 4 .А 8	(8, 0 23 ), (4, 2 7 , −2, 0 15 )
•442	2 12 3 2 5 7	2 1+8 .A 7	(8, 0 23 ), (6, −2 7 , 0 16 )
•443	2 7 3 2 5 7	М 21 :2 ≈ ПСЛ 3 (4):2	(8, 0 23 ), (5, −3, −3, 1 21 )

Две

Две спорадические подгруппы можно определить как факторы стабилизаторов структур на решетке Лича. Идентификация R ²⁴ с С ¹² и Λ с

$\mathbf {Z} \left[e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right]^{12},$

результирующая группа автоморфизмов (т. е. группа автоморфизмов решетки Лича, сохраняющих комплексную структуру ) при делении на шестиэлементную группу комплексных скалярных матриц дает группу Сузуки Suz (порядок 448 345 497 600 ). Эта группа была открыта Мичио Судзуки в 1968 году.

Аналогичная конструкция дает группу Холла–Янко J ₂ (порядок 604 800 ) как факторгруппу группы кватернионных автоморфизмов Λ по группе ±1 скаляров.

Семь простых групп, описанных выше, составляют то, что Роберт Грис называет вторым поколением Счастливой Семьи , которое состоит из 20 спорадических простых групп, обнаруженных в группе Монстров . Некоторые из семи групп содержат по крайней мере некоторые из пяти групп Матье , составляющих первое поколение .

Сеть

Со ₀ имеет 4 класса сопряженности элементов порядка 3. В М ₂₄ элемент формы 3 ⁸ порождает нормаль группы в копии S3 _, которая коммутирует с простой подгруппой порядка 168. Прямое произведение PSL(2,7) × S3 _в M24 _{переставляет} октады трио и переставляет 14 додекадных диагональных матриц в мономиальная подгруппа. В Co ₀ этот мономиальный нормализатор 2 ⁴ :PSL(2,7) × S ₃ расширяется до максимальной подгруппы вида 2.A ₉ × S ₃ , где 2.A ₉ — двойное накрытие знакопеременной группы A ₉ .

Джон Томпсон отметил, что было бы плодотворно исследовать нормализаторы меньших подгрупп вида 2.A _n ( Conway 1971 , стр. 242). еще несколько максимальных подгрупп группы Co ₀ Таким образом находятся . При этом в образовавшейся цепочке появляются две спорадические группы.

Существует подгруппа 2.A ₈ × S ₄ , единственная в этой цепочке, не максимальная в Co ₀ . Далее идет подгруппа (2.A ₇ × PSL ₂ (7)):2 . Далее идет (2.А ₆ × SU ₃ (3)):2 . Унитарная группа SU ₃ (3) (порядок 6048 ) обладает графом из 36 вершин в ожидании следующей подгруппы. Этой подгруппой является (2.A ₅ o 2.HJ):2 , в которой группа Холла–Янко появляется HJ. Вышеупомянутый граф расширяется до графа Холла-Янко со 100 вершинами. Далее следует (2.A ₄ o 2.G ₂ (4)):2 , G ₂ (4) — исключительная группа лиева типа .

Цепочка заканчивается 6.Suz:2 (Suz= спорадическая группа Сузуки ), которая, как упоминалось выше, соответствует комплексному представлению решетки Лича.

самогон

Конвей и Нортон в своей статье 1979 года предположили, что чудовищный самогон не ограничивается монстром. Ларисса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций измерений спорадических групп. Для групп Конвея соответствующий ряд Маккея – Томпсона имеет вид $T_{2A}(\tau )$ = {1, 0, 276, -2,048 , 11,202 , -49,152 , ...} ( OEIS : A007246 ) и $T_{4A}(\tau )$ = {1, 0, 276, 2,048 , 11,202 , 49,152 , ...} ( OEIS : A097340 ), где можно установить постоянный член a(0) = 24 ,

${\begin{aligned}j_{4A}(\tau )&=T_{4A}(\tau )+24\\&=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}\\&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{4}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q}}+24+276q+2048q^{2}+11202q^{3}+49152q^{4}+\dots \end{aligned}}$

η Дедекинда ( τ ) — эта-функция .

Ссылки

• Конвей, Джон Хортон (1968), «Идеальная группа порядка 8 315 553 613 086 720 000 и спорадические простые группы», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 61 (2): 398–400, Bibcode : 1968PNAS.. .61..398C , doi : 10.1073/pnas.61.2.398 , MR   0237634 , PMC   225171 , PMID   16591697
• Брауэр, Р .; Сах, Чи-хан, ред. (1969), Теория конечных групп: симпозиум , WA Benjamin, Inc., Нью-Йорк-Амстердам, MR   0240186
• Конвей, Джон Хортон (1969), «Группа порядка 8 315 553 613 086 720 000», Бюллетень Лондонского математического общества , 1 : 79–88, doi : 10.1112/blms/1.1.79 , ISSN   0024-6093 , MR   0248216
• Конвей, Джон Хортон (1971), «Три лекции об исключительных группах», в Пауэлле, МБ; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы , Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институт перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 215–247, ISBN  978-0-12-563850-0 , MR   0338152 Перепечатано в Conway & Sloane (1999 , 267–298).
• Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Основы математических наук, том. 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4757-2016-7 , ISBN  978-0-387-98585-5 , МР   0920369
• Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок через упаковки сфер к простым группам , Carus Mathematical Monographs, vol. 21, Математическая ассоциация Америки , ISBN  978-0-88385-023-7 , МР   0749038
• Конвей, Джон Хортон ; Паркер, Ричард А.; Нортон, Саймон П.; Кертис, RT; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп , Oxford University Press , ISBN  978-0-19-853199-9 , МР   0827219
• Грисс, Роберт Л. младший (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/978-3-662-03516-0 , ISBN  978-3-540-62778-4 , МР   1707296
• Атлас представлений конечных групп: Co ₁ , версия 2
• Атлас представлений конечных групп: Co ₁ , версия 3
• Уилсон, Роберт А. (1983), «Максимальные подгруппы группы Конвея Co₁», Journal of Algebra , 85 (1): 144–165, doi : 10.1016/0021-8693(83)90122-9 , ISSN   0021-8693 , МР   0723071
• Уилсон, Роберт А. (1988), «О 3-локальных подгруппах группы Конвея Co₁», Journal of Algebra , 113 (1): 261–262, doi : 10.1016/0021-8693(88)90192-5 , ISSN   0021-8693 , МР   0928064
• Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы. , Тексты для аспирантов по математике 251, том. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN.  978-1-84800-987-5 , Збл   1203.20012
• Витт, Эрнст (1998), Сборник статей. Сборник статей , Сборник сочинений Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-41970-6 , ISBN  978-3-540-57061-5 , МР   1643949
• Р.Т. Кертис и Б.Т. Фэйрберн (2009), «Симметричное представление элементов группы Конвея .0», Журнал символических вычислений, 44: 1044–1067.