р -группа

Не путать с n-группой (теория категорий) .

В математике , особенно в теории групп , для данного простого числа p p - группа — это группа , в которой порядок каждого элемента является степенью числа p . То есть для каждого элемента g -группы p такое , G существует неотрицательное целое число n что произведение p ^н копий g , и не меньше, равно единичному элементу . Порядки разных элементов могут быть разными степенями p .

Абелевы p -группы называются также p -примарными или просто примарными .

Конечная группа является p -группой тогда и только тогда, когда ее порядок (число ее элементов) является степенью p . Для конечной группы G теоремы Силова существование подгруппы G p порядка гарантируют ^н для каждой простой степени p ^н который делит порядок G .

Любая конечная p -группа нильпотентна .

Оставшаяся часть статьи посвящена конечным p -группам. Пример бесконечной абелевой p -группы см. в группе Прюфера , а пример бесконечной простой p -группы см. в группе монстров Тарского .

Свойства

Каждая p -группа периодична, поскольку по определению каждый элемент имеет конечный порядок .

Если p простое число и G — группа порядка p ^к , то G имеет нормальную подгруппу порядка p ^м для каждого 1 ≤ m ≤ k . Это следует по индукции с использованием теоремы Коши и теоремы о соответствии для групп. Схема доказательства такова: поскольку центр Z группы G нетривиален (см . ниже), согласно теореме Коши Z имеет подгруппу H порядка p . Будучи центральным в , H обязательно нормально в G. G Теперь мы можем применить индуктивное предположение к G/H , и результат следует из теоремы о соответствии.

Нетривиальный центр

Одним из первых стандартных результатов использования уравнения классов является то, что центр нетривиальной конечной p -группы не может быть тривиальной подгруппой.

Это составляет основу многих индуктивных методов в p -группах.

Например, нормализатор N собственной подгруппы H конечной p -группы G собственно содержит H , потому что для любого контрпримера с H = N центр Z содержится в N , а значит, и в H , но тогда существует пример меньшего размера H / Z, нормализатор которого в G / Z равен N / Z = H / Z , создавая бесконечный спуск. Как следствие, каждая конечная p -группа нильпотентна .

В другом направлении каждая нормальная подгруппа N конечной p -группы нетривиально пересекает центр, что можно доказать, рассматривая элементы N , которые фиксируются, когда G действует на N путем сопряжения. Поскольку каждая центральная подгруппа нормальна, отсюда следует, что каждая минимальная нормальная подгруппа конечной p -группы является центральной и имеет порядок p . Действительно, цоколь конечной p -группы — это подгруппа центра, состоящая из центральных элементов порядка p .

Если G — p тоже -группа, то и G / Z , и поэтому она тоже имеет нетривиальный центр. Прообраз в G центра группы G / Z называется вторым центром , и эти группы начинают верхний центральный ряд . Обобщая предыдущие замечания о цоколе, конечная p -группа порядка p ^н содержит нормальные подгруппы порядка p ^я с 0 ≤ i ≤ n и любой нормальной подгруппой порядка p ^я содержится в i-м центре Z _i . Если нормальная подгруппа не содержится в Z _i , то ее пересечение с Z _{i +1} имеет размер не менее p ^{я +1} .

Автоморфизмы

Группы автоморфизмов p -групп хорошо изучены. Подобно тому, как каждая конечная p -группа имеет нетривиальный центр, так что внутренняя группа автоморфизмов является собственным фактором группы, каждая конечная p -группа имеет нетривиальную внешнюю группу автоморфизмов . Каждый автоморфизм группы индуцирует автоморфизм на G /Φ( G ), где Φ( G ) — подгруппа Фраттини группы G. G Фактор G/Φ( G ) — элементарная абелева группа , а ее группа автоморфизмов — общая линейная группа , поэтому она очень хорошо понята. Отображение группы автоморфизмов группы G в эту общую линейную группу было изучено Бернсайдом , который показал, что ядро ​​этого отображения является р -группой.

Примеры

p -группы одного и того же порядка не обязательно изоморфны ; например, циклическая группа C ₄ и четырехгруппа Клейна V ₄ являются 2-группами порядка 4, но они не изоморфны.

-группа не обязательно должна При этом р быть абелевой ; группа диэдра Dih ₄ порядка 8 является неабелевой 2-группой. Однако каждая группа порядка p ² является абелевым.

Группы диэдра очень похожи и очень отличаются от групп кватернионов и полудиэдральных групп . Вместе группы диэдра, полудиэдра и кватернионов образуют 2-группы максимального класса , то есть группы порядка 2. ^{п +1} и класс нильпотентности n .

Итерированные венковые изделия

Повторные сплетения циклических групп порядка p являются очень важными примерами p -групп. Обозначим циклическую группу порядка p как W (1), а сплетение W ( n ) с W (1) как W ( n + 1). Тогда W ( n ) — силовская p -подгруппа симметрической группы Sym( p ^н ). Максимальные p -подгруппы полной линейной группы GL( n , Q ) являются прямыми произведениями различных W ( n ). Он имеет порядок p ^к где k = ( p ^н − 1)/( p − 1). Имеет класс нильпотентности p. ^{п -1} , а его нижний центральный ряд, верхний центральный ряд, центральный ряд нижнего показателя степени p и центральный ряд верхнего показателя степени p равны. Он порождается элементами порядка p , но его показатель равен p. ^н . Вторая такая группа, W (2), также является p -группой максимального класса, поскольку она имеет порядок p ^{р +1} и класс нильпотентности p , но не является регулярной p -группой . Поскольку группы порядка p ^п всегда являются регулярными группами, это также минимальный пример.

Обобщенные группы диэдра

Когда p = 2 и n = 2, W ( n ) является группой диэдра порядка 8, поэтому в некотором смысле W ( n ) обеспечивает аналог группы диэдра для всех простых чисел p, когда n = 2. Однако для более высоких n аналогия становится натянутой. Существует другое семейство примеров, которое более точно имитирует группы диэдра второго порядка. ^н , но для этого требуется немного больше настроек. Пусть ζ обозначает примитивный корень p- й степени из единицы комплексных чисел, пусть Z [ζ] — кольцо круговых целых чисел, порожденное им, и пусть P — простой идеал, порожденный 1−ζ. Пусть G — циклическая группа порядка p, порожденная элементом z . Сформируйте полупрямое произведение E ( p ) Z [ζ] и G , где z действует как умножение на ζ. Полномочия P ^н являются нормальными подгруппами E ( p ), а примерами групп являются E ( p , n ) = E ( p )/ P ^н . E ( p , n ) имеет порядок p ^{п +1} и класс нильпотентности n , то есть p -группа максимального класса. Когда p = 2, E (2, n ) — группа диэдра порядка 2. ^н . Когда p нечетно, и W (2), и E ( p , p ) являются нерегулярными группами максимального класса и порядка p. ^{р +1} , но не изоморфны.

Группы унитреугольных матриц

Силовские подгруппы общих линейных групп представляют собой еще одно фундаментальное семейство примеров. Пусть V — векторное пространство размерности n с базисом { e ₁ , e ₂ , ..., e _n } и определим V _i как векторное пространство, порожденное { e _i , e _{i +1} , ..., e _n } для 1 ≤ i ≤ n и определите V _i = 0, когда i > n . Для каждого 1 ≤ m ≤ n набор обратимых линейных преобразований V , которые переводят каждый V _i в V _{i + m,} образуют подгруппу Aut( V ), обозначаемую U _m . Если V — векторное пространство над Z / p Z , то U ₁ — силовская p -подгруппа группы Aut( V ) = GL( n , p ), и члены ее нижнего центрального ряда — это просто U _m . С точки зрения матриц, U _m — это верхние треугольные матрицы с 1 на диагонали и 0 на первых m -1 супердиагоналях. Группа U ₁ имеет порядок p ^{п ·( п -1)/2} , класс нильпотентности n и показатель степени p ^к где k — наименьшее целое число, не меньшее по основанию p логарифма числа n .

Классификация

Группы порядка p ^н для 0 ≤ n ≤ 4 были классифицированы в начале истории теории групп, и современные работы распространили эти классификации на группы, порядок которых делит p ⁷ , хотя само число семейств таких групп растет настолько быстро, что дальнейшие классификации в этом направлении кажутся трудными для понимания человеческого разума. Например, Маршалл Холл-младший и Джеймс К. Старший классифицировали группы 2-го порядка. ^н для n ≤ 6 в 1964 г.

Вместо того, чтобы классифицировать группы по порядку, Филип Холл предложил использовать понятие изоклинизма групп , которое объединяет конечные p -группы в семейства на основе больших фактора и подгрупп.

Совершенно другой метод классифицирует конечные p -группы по их коклассу , то есть разнице между их композиционной длиной и классом нильпотентности . Так называемые гипотезы о коклассах описывали множество всех конечных p -групп фиксированного кокласса как возмущения конечного числа про-p-групп . Гипотезы о коклассах были доказаны в 1980-х годах с использованием методов, связанных с алгебрами Ли и мощными p-группами . Окончательные доказательства теорем о коклассах принадлежат А. Шалеву и независимо Ч. Р. Лидхэму-Грину в 1994 году. Они допускают классификацию конечных p -групп в ориентированных графах коклассов , состоящих только из конечного числа деревьев коклассов, у которых (бесконечно много) члены характеризуются конечным числом параметризованных представлений.

Каждая группа порядка p ⁵ является метабелианским .

До п ³

Тривиальная группа — единственная группа порядка один, а циклическая группа C _p — единственная группа порядка p . Существует ровно две группы порядка p ² , оба абелевы, а именно C _{p ²} и _Cp × _Cp . Например, циклическая группа C ₄ и четырехгруппа Клейна V _4, которая есть C ₂ × C _2, обе являются 2-группами порядка 4.

Существуют три абелевы группы порядка p ³ , а именно C _{p ³} , С _{п ²} × C _п и C _п × C _п × C _п . Существуют также две неабелевы группы.

Для p ≠ 2 один является полупрямым произведением C _p × C _p на C _p , а другой является полупрямым произведением C _{p ²} с _Цп . Первую можно описать другими терминами как группу UT(3, p ) унитреугольных матриц над конечным полем с p элементами, также называемую группой Гейзенберга mod p .

При p = 2 оба упомянутых выше полупрямых произведения изоморфны группе диэдра Dih ₄ порядка 8. Другая неабелева группа порядка 8 — это группа кватернионов Q ₈ .

Распространенность

Среди групп

Число классов изоморфизма групп порядка p ^н растет как $p^{{\frac {2}{27}}n^{3}+O(n^{8/3})}$, и среди них доминируют классы, которые являются двухступенчатыми нильпотентными. Из-за такого быстрого роста существует фольклорная гипотеза, утверждающая, что почти все конечные группы являются 2-группами: считается, что доля классов изоморфизма 2-групп среди классов изоморфизма групп порядка не выше n стремится к 1, когда n стремится до бесконечности. Например, из 49 910 529 484 различных групп порядка не более 2000 49 487 367 289 , или чуть более 99%, являются 2-группами порядка 1024.

В группе

Каждая конечная группа, порядок которой делится на p, содержит подгруппу, которая является нетривиальной p -группой, а именно циклической группой порядка p, порожденной элементом порядка p, полученным из теоремы Коши . Фактически, она содержит p -группу максимально возможного порядка: если $|G|=n=p^{k}m$ где p не делит m, то G имеет подгруппу P порядка $p^{k},$ называется силовской p -подгруппой. Эта подгруппа не обязательно должна быть единственной, но любые подгруппы этого порядка сопряжены, и любая p -подгруппа группы G содержится в силовской p -подгруппе. Это и другие свойства доказаны в теоремах Силова .

Приложение к составу группы

p -группы являются фундаментальным инструментом в понимании структуры групп и классификации конечных простых групп . p -группы возникают как подгруппы и как факторгруппы. В качестве подгрупп для данного простого числа p существуют силовские p -подгруппы P (наибольшая p -подгруппа, не единственная, но все сопряженные) и p -ядро. $O_{p}(G)$ (уникальная по величине нормальная p -подгруппа) и различные другие. В качестве факторов наибольший фактор p -группы - это фактор группы G по p -остаточной подгруппе. $O^{p}(G).$ Эти группы родственны (для разных простых чисел), обладают важными свойствами, такими как теорема о фокальной подгруппе , и позволяют определить многие аспекты строения группы.

Местное управление

Большая часть структуры конечной группы содержится в структуре ее так называемых локальных подгрупп — нормализаторов нетождественных p -подгрупп.

Большие элементарные абелевы подгруппы конечной группы осуществляют контроль над группой, которая использовалась при доказательстве теоремы Фейта – Томпсона . Некоторые центральные расширения элементарных абелевых групп, называемые экстраспециальными группами, помогают описать структуру групп, действующих на симплектических векторных пространствах .

Рихард Брауэр классифицировал все группы, силовские 2-подгруппы которых являются прямым произведением двух циклических групп порядка 4, а Джон Уолтер , Дэниел Горенштейн , Хельмут Бендер , Мичио Судзуки , Джордж Глауберман и другие классифицировали те простые группы, силовские 2-подгруппы которых были абелев, двугранный, полудиэдральный или кватернион.

См. также

• Элементарная группа
• Звание экзаменатора
• Обычная p-группа

Ссылки

• Беше, Ганс Ульрих; Эйк, Беттина; О'Брайен, Э.А. (2002), «Проект тысячелетия: построение малых групп», Международный журнал алгебры и вычислений , 12 (5): 623–644, doi : 10.1142/S0218196702001115 , MR   1935567 , S2CID   31716675
• Бернсайд, Уильям (1897), Теория групп конечного порядка , Cambridge University Press , ISBN  9781440035456
• Глауберман, Джордж (1971), «Глобальные и локальные свойства конечных групп», Конечные простые группы (Proc. Training Conf., Oxford, 1969) , Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 1–64, MR   0352241
• Холл младший, Маршалл ; Старший, Джеймс К. (1964), Группы порядка 2 ^н ( n ≤ 6) , Лондон: Macmillan, LCCN   64016861 , MR   0168631 — Исчерпывающий каталог 340 неабелевых групп порядка, делящего 64, с подробными таблицами определяющих соотношений, констант и решетчатых представлений каждой группы в обозначениях текста. определяет. «Непреходящая ценность для тех, кто интересуется конечными группами » (из предисловия).
• Холл, Филип (1940), «Классификация групп простых степеней» , Журнал чистой и прикладной математики , 1940 (182): 130–141, doi : 10.1515/crll.1940.182.130 , ISSN   0075-4102 , MR   0003389 , S2CID   122817195
• Лидхэм-Грин, Чехия ; Маккей, Сьюзен (2002), Структура групп простого степенного порядка , Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, том. 27, Издательство Оксфордского университета , ISBN  978-0-19-853548-5 , г-н   1918951
• Симс, Чарльз (1965), «Перечисление p-групп», Proc. Лондонская математика. Соц. , Серия 3, 15 : 151–166, doi : 10.1112/plms/s3-15.1.151 , MR   0169921

Дальнейшее чтение

• Беркович, Яков (2008), Группы порядка первичной степени , Изложения де Грюйтера по математике 46, том. 1, Берлин: Walter de Gruyter GmbH, ISBN  978-3-1102-0418-6
• Беркович, Яков; Янко, Звонимир (2008), Группы порядка первичной власти , Изложения де Грюйтера по математике 47, том. 2, Берлин: Walter de Gruyter GmbH, ISBN  978-3-1102-0419-3
• Беркович, Яков; Янко, Звонимир (16 июня 2011 г.), Группы порядка первичной власти , Expositions de Gruyter in Mathematics 56, vol. 3, Берлин: Walter de Gruyter GmbH, ISBN.  978-3-1102-0717-0

Внешние ссылки

• Роуленд, Тодд и Вайсштейн, Эрик В. «p-Group» . Математический мир .