Квазидиэдрическая группа

В математике квазидиэдральные группы , также называемые полудиэдральными группами , представляют собой определенные неабелевы группы порядка степени 2. Для каждого положительного целого числа n, большего или равного 4, существует ровно четыре класса изоморфизма не- абелевы группы порядка 2 ^н которые имеют циклическую подгруппу индекса 2. Две из них хорошо известны: обобщенная группа кватернионов и группа диэдра . Одну из оставшихся двух групп часто считают особенно важной, поскольку она является примером 2-группы максимального класса нильпотентности . В Бертрама Юпперта тексте Endliche Gruppen эта группа называется «Quasidiedergruppe». В Дэниела Горенштейна тексте «Конечные группы » эта группа называется «полудиэдральной группой». Даммит и Фут называют ее «квазидиэдрической группой»; мы принимаем это имя в этой статье. Все дают одну и ту же презентацию для этой группы:

\langle r,s\mid r^{2^{n-1}}=s^{2}=1,\ srs=r^{2^{n-2}-1}\rangle \,\!

.

Другая неабелева 2-группа с циклической подгруппой индекса 2 ни в одном тексте не имеет специального имени, а называется просто G или M _m (2). Когда эта группа имеет порядок 16, Даммит и Фут называют эту группу «модульной группой порядка 16», поскольку ее решетка подгрупп является модулярной . В данной статье эту группу будем называть модулярной максимально-циклической группой порядка $2^{n}$ . Его презентация:

\langle r,s\mid r^{2^{n-1}}=s^{2}=1,\ srs=r^{2^{n-2}+1}\rangle \,\!

.

Обе эти группы и группа диэдра являются полупрямыми произведениями циклической группы <r> порядка 2. ^{п -1} с циклической группой <s> порядка неабелевое полупрямое произведение однозначно определяется элементом порядка 2 из группы единиц кольца 2. Такое $\mathbb {Z} /2^{n-1}\mathbb {Z}$ и таких элементов ровно три, $2^{n-1}-1$ , $2^{n-2}-1$ , и $2^{n-2}+1$ , соответствующий группе диэдра, квазидиэдру и модулярной максимально-циклической группе.

Обобщенная группа кватернионов, группа диэдра и группа квазидиэдра второго порядка. ^н все они имеют класс нильпотентности n - 1 и являются единственными классами изоморфизма групп порядка 2. ^н с классом нильпотентности n − 1. Группы порядка p ^н и класс нильпотентности n - 1 положили начало классификации всех p -групп через кокласс . Модулярная максимально-циклическая группа порядка 2 ^н всегда имеет класс нильпотентности 2. Это делает модульную максимально-циклическую группу менее интересной, поскольку большинство групп порядка p ^н для больших n имеют класс нильпотентности 2, и их трудно понять напрямую.

Обобщенный кватернион, диэдр и квазидиэдральная группа — единственные 2-группы, производная подгруппа которых имеет индекс 4. Теорема Альперина–Брауэра–Горенштейна классифицирует простые группы и в некоторой степени конечные группы с квазидиэдральными силовскими 2-подгруппами. .

Примеры

Силовские 2-подгруппы следующих групп являются квазидиэдральными:

PSL ₃ ( F _q ) для q ≡ 3 mod 4,
БП ₃ ( F _q ) для q ≡ 1 mod 4,
группа Матье M ₁₁ ,
GL ₂ ( F _q ) для q ≡ 3 mod 4.

Ссылки

Даммит, Д.С.; Фут, Р. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли. стр. 71–72. ISBN 9780471433347 .
Юпперт, Б. (1967). Конечные группы . Спрингер. стр. 90–93. MR0224703 .
Горенштейн, Д. (1980). Конечные группы . Челси. стр. 188–195. ISBN 0-8284-0301-5 . МР 0569209 .