Нильпотентная группа

В математике , особенно в теории групп , нильпотентная группа G — это группа , имеющая верхний центральный ряд оканчивающийся на G. , Эквивалентно, он имеет центральную серию конечной длины или ее нижняя центральная серия заканчивается {1}.

Интуитивно нильпотентная группа — это группа, которая «почти абелева ». Эта идея мотивирована тем фактом, что нильпотентные группы разрешимы , а для конечных нильпотентных групп два элемента, имеющие относительно простые порядки, должны коммутировать . Верно также, что конечные нильпотентные группы сверхразрешимы . Считается, что эта концепция была разработана в 1930-х годах русским математиком Сергеем Черниковым .

Нильпотентные группы возникают в теории Галуа , а также в классификации групп. Они также занимают видное место в классификации групп Ли .

Аналогичные термины используются для алгебр Ли (с использованием скобки Ли ), включая нильпотентные , нижние центральные серии и верхние центральные серии .

Определение

В определении используется идея центрального ряда для группы. Ниже приведены эквивалентные определения нильпотентной группы G :

• G имеет центральный ряд конечной длины. То есть ряд нормальных подгрупп

  $\{1\}=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \dots \triangleleft G_{n}=G$

  где $G_{i+1}/G_{i}\leq Z(G/G_{i})$или эквивалентно $[G,G_{i+1}]\leq G_{i}$.
• G имеет нижний центральный ряд , оканчивающийся в тривиальной подгруппе после конечного числа шагов. То есть ряд нормальных подгрупп

  $G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \dots \triangleright G_{n}=\{1\}$

  где $G_{i+1}=[G_{i},G]$.
• G имеет верхний центральный ряд , заканчивающийся во всей группе после конечного числа шагов. То есть ряд нормальных подгрупп

  $\{1\}=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft \dots \triangleleft Z_{n}=G$

  где $Z_{1}=Z(G)$ и $Z_{i+1}$ является подгруппой такой, что $Z_{i+1}/Z_{i}=Z(G/Z_{i})$.

Для нильпотентной группы наименьшее n такое, что G имеет центральный ряд длины n, классом нильпотентности G называется ; и G называется нильпотентным класса n . (По определению длина равна n , если существуют $n+1$ различные подгруппы в ряду, включая тривиальную подгруппу и всю группу.)

Эквивалентно, класс нильпотентности G равен длине нижнего центрального ряда или верхнего центрального ряда.Если группа имеет класс нильпотентности не более n , то ее иногда называют nil -n группой .

Из любой из приведенных выше форм определения нильпотентности немедленно следует, что тривиальная группа — это единственная группа класса нильпотентности 0 , а группы класса нильпотентности 1 — это в точности нетривиальные абелевы группы.

Примеры

Часть графа Кэли дискретной группы Гейзенберга , хорошо известной нильпотентной группы.

• Как отмечалось выше, каждая абелева группа нильпотентна.
• В качестве небольшого неабелева примера рассмотрим группу кватернионов Q ₈ , которая является наименьшей неабелевой p -группой. Он имеет центр {1, −1} порядка 2, а его верхний центральный ряд равен {1}, {1, −1}, Q ₈ ; поэтому он нильпотент класса 2.
• двух Прямое произведение нильпотентных групп нильпотентно.
• Все конечные p -группы на самом деле нильпотентны ( доказательство ). Максимальный класс группы порядка p ^н равен n (например, любая группа порядка 2 нильпотентна класса 1). 2-группы максимального класса — это обобщенные группы кватернионов , группы диэдра и полудиэдральные группы .
• Более того, каждая конечная нильпотентная группа является прямым произведением p -групп.
• Мультипликативная группа верхних унитреугольных матриц размера n × n над любым полем F является нильпотентной группой класса нильпотентности n - 1. В частности, при n = 3 получается группа Гейзенберга H , пример неабелевой группы. бесконечная нильпотентная группа. Он имеет класс нильпотентности 2 с центральным рядом 1, ( H ) , H. Z
• Мультипликативная группа обратимых верхнетреугольных матриц размера n × n над полем F, вообще говоря, не является нильпотентной, но разрешима .
• Любая неабелева группа G такая, что G / Z ( G ) абелева, имеет класс нильпотентности 2 с центральными рядами {1}, ( G ) , G. Z

натуральные числа k , для которых любая группа порядка k Охарактеризованы нильпотентна (последовательность A056867 в OEIS ).

Объяснение термина

Нильпотентные группы называются так потому, что «присоединенное действие» любого элемента нильпотентно , то есть для нильпотентной группы $G$ степени нильпотентности $n$ и элемент $g$, функция $\operatorname {ad} _{g}\colon G\to G$ определяется $\operatorname {ad} _{g}(x):=[g,x]$ (где $[g,x]=g^{-1}x^{-1}gx$ является коммутатором ​ $g$ и $x$) нильпотентна в том смысле, что $n$итерация функции тривиальна: $\left(\operatorname {ad} _{g}\right)^{n}(x)=e$ для всех $x$ в $G$.

Это не определяющая характеристика нильпотентных групп: групп, для которых $\operatorname {ad} _{g}$ нильпотентен по степени $n$ (в указанном выше смысле) называются $n$- группы Энгеля , и вообще не обязательно должен быть нильпотентным. Доказано, что они нильпотентны, если имеют конечный порядок , и предполагается , что они нильпотентны, пока они конечно порождены .

Абелева группа — это именно такая группа, у которой присоединенное действие не просто нильпотентно, но и тривиально (1-энгелевая группа).

Характеристики

Поскольку каждая последующая фактор-группа Z _{i +1} / Z _i в верхнем центральном ряду абелева и ряд конечен, каждая нильпотентная группа является разрешимой группой с относительно простой структурой.

Каждая подгруппа нильпотентной группы класса n нильпотентна класса не выше n ; кроме того, если f — гомоморфизм нильпотентной группы класса n , то образ f нильпотентен. класса не более n .

Следующие утверждения эквивалентны для конечных групп: раскрывая некоторые полезные свойства нильпотентности:

1. G — нильпотентная группа.
2. Если H собственная подгруппа группы G , то H — собственная нормальная подгруппа группы NG _H ( ) ( нормализатор H — в G ). Это называется свойством нормализатора и его можно сформулировать просто как «рост нормализаторов».
3. Каждая силовская подгруппа группы G нормальна.
4. G — прямое произведение своих силовских подгрупп.
5. Если d делит порядок G имеет , то d нормальную подгруппу порядка . G

Доказательство:

(а)→(б)

Индукцией по | Г |. Если G абелева, то для любого H , N _G ( H ) = G . Если нет, то если Z ( G ) не содержится в H , то h _Z H _Z ⁻¹ час ⁻¹ = ч' ч ' ч ⁻¹ знак равно H , поэтому H · Z ( G ) нормализаторы H . Если Z ( G ) содержится в H , то H / Z ( G ) содержится в G / Z ( G ). Заметим, что G / Z ( G ) — нильпотентная группа. Таким образом, существует подгруппа G / Z ( G ), которая нормализует H / Z ( G ), и H / Z ( G ) является ее собственной подгруппой. Следовательно, верните эту подгруппу в подгруппу в G , и она нормализует H . (Это доказательство представляет собой тот же аргумент, что и для p -групп – единственный факт, который нам был нужен, это то, что если G нильпотентна, то и G / Z ( G ) тоже – поэтому детали опущены.)

(б)→(в)

Пусть p ₁ , p ₂ ,..., p _s — различные простые числа, делящие его порядок, и пусть P _i в Syl _{p i} ( G ), 1 ≤ i ≤ s . Пусть P = P _i для некоторого i и N = NG _P ( ) . Поскольку P нормальная силовская подгруппа N , P характеристична в — N. группы Поскольку P char N и N — нормальная подгруппа в ( _NG N ) , мы получаем, что — нормальная подгруппа в NG _P ( N ). Это означает, NG _что ( N ) является подгруппой N и, следовательно NG _, ( N = N. ) Следовательно, согласно (b) мы должны иметь N = G , что дает (c).

(в)→(г)

Пусть p ₁ , p ₂ ,..., p _s — различные простые числа, делящие его порядок, и пусть P _i в Syl _{p i} ( G ), 1 ≤ i ≤ s . Для любого t , 1 ⩽ t ⩽ s, мы индуктивно покажем, что P ₁ P ₂ ··· P _t изоморфен P ₁ × P ₂ ×···× P _t .

что каждая Pi _{Прежде всего заметим ,} нормальна в G, поэтому P ₁ P ₂ ··· P _t является подгруппой G . Пусть H — произведение P ₁ P ₂ ··· P _{t −1} и K = P _t , поэтому по индукции H изоморфно P ₁ × P ₂ ×···× P _{t −1} . В частности,| Ч | = | П ₁ |⋅| П ₂ |⋅···⋅| П _{т -1} |. Поскольку | К | = | P _t | порядки H и K относительно просты. По теореме Лагранжа пересечение H и K равно 1. По определению P ₁ P ₂ ··· P _t = HK , следовательно, HK изоморфен H × K, который равен P ₁ × P ₂ ×··· × П _т . На этом индукция завершена. Теперь возьмем t = s, чтобы получить (d).

(г)→(д)

Заметим, что p-группа порядка p ^к имеет нормальную подгруппу порядка p ^м для всех 1≤ m ≤ k . Поскольку G является прямым произведением своих силовских подгрупп и нормальность сохраняется при прямом произведении групп, G имеет нормальную подгруппу порядка d для каждого дивизора d группы | Г |.

(д)→(а)

Для любого простого числа p, делящего | G | силовская p -подгруппа нормальна. Таким образом, мы можем применить (c) (так как мы уже доказали (c)→(e)).

Утверждение (г) можно распространить на бесконечные группы: если нормальна , а _{произведение} прямое G — нильпотентная группа, то каждая силовская подгруппа Gp группы G этих силовских подгрупп является подгруппой всех элементов конечного порядка в G (см. торсионная подгруппа ).

Многие свойства нильпотентных групп присущи гиперцентральным группам .

Ссылки

• Бехтелл, Гомер (1971). Теория групп . Аддисон-Уэсли .
• Хэзелер, Фридрих (2002). Автоматические последовательности . Изложения де Грюйтера по математике. Том 36. Берлин: Вальтер де Грюйтер . ISBN  3-11-015629-6 .
• Хангерфорд, Томас В. (1974). Алгебра . Издательство Спрингер. ISBN  0-387-90518-9 .
• Айзекс, И. Мартин (2008). Теория конечных групп . Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-4344-4 .
• Палмер, Теодор В. (1994). Банаховы алгебры и общая теория *-алгебр . Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-36638-0 .
• Штамбах, Урс (1973). Гомологии в теории групп . Конспект лекций по математике. Том. 359. Шпрингер-Верлаг. обзор
• Супруненко Д.А. (1976). Матричные группы . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  0-8218-1341-2 .
• Табачникова Ольга; Смит, Джефф (2000). Темы теории групп . Серия Springer по математике для студентов. Спрингер. ISBN  1-85233-235-2 .
• Зассенхаус, Ганс (1999). Теория групп . Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN  0-486-40922-8 .