Подгруппа Бореля

В теории алгебраических групп борелевская подгруппа алгебраической группы G — это максимальная замкнутая по Зарискому связная разрешимая алгебраическая подгруппа . Например, в общей линейной группе GL n ( nxn обратимые матрицы) подгруппа обратимых верхнетреугольных матриц является борелевской подгруппой.

Для групп, реализованных над алгебраически замкнутыми полями , существует единственный класс сопряженности борелевских подгрупп.

Подгруппы Бореля являются одним из двух ключевых ингредиентов в понимании структуры простых (в более общем плане, редуктивных ) алгебраических групп в Жака Титса теории групп с парой ( B , N ) . Здесь группа B — борелевская подгруппа, а N — нормализатор максимального тора, содержащегося в B .

Понятие было введено Арманом Борелем , сыгравшим ведущую роль в развитии теории алгебраических групп.

Параболические подгруппы [ править ]

Подгруппы между борелевской подгруппой B и объемлющей группой G называются параболическими подгруппами . Параболические подгруппы P среди алгебраических подгрупп характеризуются также тем, что G / P полное многообразие . Работая над алгебраически замкнутыми полями, борелевские подгруппы оказываются минимальными параболическими подгруппами в этом смысле . Таким образом, B является борелевской подгруппой, когда однородное пространство G/B является полным многообразием, «настолько большим, насколько это возможно».

Для простой алгебраической группы G множество классов сопряженности параболических подгрупп находится в биекции с множеством всех подмножеств узлов соответствующей диаграммы Дынкина ; подгруппа Бореля соответствует пустому множеству, а сама G соответствует множеству всех узлов. (В общем, каждый узел диаграммы Дынкина определяет простой отрицательный корень и, следовательно, одномерную «корневую группу» G . Таким образом, подмножество узлов дает параболическую подгруппу, порожденную B и соответствующими группами отрицательных корней. Более того, , любая параболическая подгруппа сопряжена с такой параболической подгруппой.) Соответствующие подгруппы группы Вейля группы G также называются параболическими подгруппами, см. Параболическая подгруппа группы отражений .

Пример [ править ]

Позволять . Подгруппа Бореля из – набор верхних треугольных матриц

и максимальные собственные параболические подгруппы группы содержащий являются

Кроме того, максимальный тор в является

Это изоморфно алгебраическому тору . [1]

Алгебра лжи [ править ]

Для частного случая алгебры Ли с подалгеброй Картана , порядок учитывая , борелевская подалгебра является прямой суммой и пространства весовые с положительным весом. Подалгебра Ли содержащая борелевскую подалгебру, называется параболической алгеброй Ли .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  • А. Борель (2001). Очерки истории групп Ли и алгебраических групп . Провиденс, Род-Айленд: AMS. ISBN  0-8218-0288-7 .
  • Дж. Хамфрис (1972). Линейные алгебраические группы . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-90108-6 .
  • Милн, Дж. С. (2017), Алгебраические группы: теория групповых схем конечного типа над полем , Cambridge University Press , doi : 10.1017/9781316711736 , ISBN  978-1107167483 , МР   3729270
  • Гэри Зейтц (1991). «Алгебраические группы». В Б. Хартли; и др. (ред.). Конечные и локально конечные группы . стр. 45–70.
Специфический

Внешние ссылки [ править ]