Компактная алгебра Ли

В математической области теории Ли существуют два определения компактной . Ли алгебры Внешне и топологически компактная алгебра Ли — это алгебра Ли компактной группы Ли ; ^[1] это определение включает торы. По своей сути и алгебраически компактная алгебра Ли является вещественной алгеброй Ли, форма Киллинга определена которой отрицательно ; это определение является более ограничительным и исключает торы. ^[2] Компактную алгебру Ли можно рассматривать как наименьшую действительную форму соответствующей комплексной алгебры Ли, а именно комплексификацию.

Определение

Формально компактную алгебру Ли можно определить либо как алгебру Ли компактной группы Ли , либо как вещественную алгебру Ли, форма Киллинга которой отрицательно определена. Эти определения не совсем согласуются: ^[2]

Форма Киллинга на алгебре Ли компактной группы Ли является отрицательно полуопределенной , а не отрицательно определенной.
Если форма Киллинга алгебры Ли отрицательно определена, то алгебра Ли является алгеброй Ли компактной полупростой группы Ли.

В общем, алгебра Ли компактной группы Ли разлагается как прямая сумма алгебры Ли коммутативного слагаемого (для которого соответствующая подгруппа является тором) и слагаемого, на котором форма Киллинга отрицательно определена.

Важно отметить, что обратное к первому результату, приведенному выше, неверно: даже если форма Киллинга алгебры Ли отрицательно полуопределена, это не означает, что алгебра Ли является алгеброй Ли некоторой компактной группы. Например, форма Киллинга на алгебре Ли группы Гейзенберга тождественно равна нулю и, следовательно, отрицательно полуопределена, но эта алгебра Ли не является алгеброй Ли какой-либо компактной группы.

Характеристики

Компактные алгебры Ли редуктивны ; ^[3] отметим, что аналогичный результат верен для компактных групп вообще.
Алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ для компактной группы Ли G допускает Ad( G )-инвариантное скалярное произведение ,. ^[4] И наоборот, если ${\mathfrak {g}}$ допускает Ad-инвариантный внутренний продукт, тогда ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Ли некоторой компактной группы. ^[5] Если ${\mathfrak {g}}$ является полупростым, этот внутренний продукт можно считать отрицательным выражением формы Киллинга. Таким образом, относительно этого скалярного продукта Ad( G ) действует посредством ортогональных преобразований ( $\operatorname {SO} ({\mathfrak {g}})$ ) и $\operatorname {ad} \ {\mathfrak {g}}$ действует кососимметричными матрицами ( ${\mathfrak {so}}({\mathfrak {g}})$ ). ^[4] Теорию комплексных полупростых алгебр Ли можно развивать, рассматривая их как комплексификации алгебр Ли компактных групп; ^[6] существование Ad-инвариантного внутреннего продукта в компактной вещественной форме значительно упрощает разработку.
Это можно рассматривать как компактный аналог теоремы Адо о представимости алгебр Ли: точно так же, как каждая конечномерная алгебра Ли в характеристике 0 вкладывается в ${\mathfrak {gl}},$ каждая компактная алгебра Ли вкладывается в ${\mathfrak {so}}.$
Диаграмма Сатаке компактной алгебры Ли — это диаграмма Дынкина комплексной алгебры Ли со всеми зачерненными вершинами.
Компактные алгебры Ли противоположны вещественным алгебрам Ли, расщепляемым среди вещественных форм , причем расщепляемые алгебры Ли «насколько это возможно» не компактны.

Классификация

Компактные алгебры Ли классифицируются и называются в соответствии с компактными действительными формами комплексных полупростых алгебр Ли . Это:

$A_{n}:$ ${\mathfrak {su}}_{n+1},$ соответствующий специальной унитарной группе (собственно компактная форма — PSU, проективная специальная унитарная группа );
$B_{n}:$ ${\mathfrak {so}}_{2n+1},$ соответствующую специальной ортогональной группе (или ${\mathfrak {o}}_{2n+1},$ соответствующий ортогональной группе );
$C_{n}:$ ${\mathfrak {sp}}_{n},$ соответствующий компактной симплектической группе ; иногда пишется ${\mathfrak {usp}}_{n},$ ;
$D_{n}:$ ${\mathfrak {so}}_{2n},$ соответствующую специальной ортогональной группе (или ${\mathfrak {o}}_{2n},$ соответствующий ортогональной группе ) (собственно компактная форма — это PSO, проективная специальная ортогональная группа );
Компактные вещественные формы исключительных алгебр Ли $E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}.$

Изоморфизмы

Классификация не является избыточной, если принять $n\geq 1$ для $A_{n},$ $n\geq 2$ для $B_{n},$ $n\geq 3$ для $C_{n},$ и $n\geq 4$ для $D_{n}.$ Если вместо этого взять $n\geq 0$ или $n\geq 1$ получаются некоторые исключительные изоморфизмы .

Для $n=0,$ $A_{0}\cong B_{0}\cong C_{0}\cong D_{0}$ — тривиальная диаграмма, соответствующая тривиальной группе $\operatorname {SU} (1)\cong \operatorname {SO} (1)\cong \operatorname {Sp} (0)\cong \operatorname {SO} (0).$

Для $n=1,$ изоморфизм ${\mathfrak {su}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\cong {\mathfrak {sp}}_{1}$ соответствует изоморфизмам диаграмм $A_{1}\cong B_{1}\cong C_{1}$ и соответствующие изоморфизмы групп Ли $\operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)$ (3-сферные или единичные кватернионы ).

Для $n=2,$ изоморфизм ${\mathfrak {so}}_{5}\cong {\mathfrak {sp}}_{2}$ соответствует изоморфизмам диаграмм $B_{2}\cong C_{2},$ и соответствующий изоморфизм групп Ли $\operatorname {Sp} (2)\cong \operatorname {Spin} (5).$

Для $n=3,$ изоморфизм ${\mathfrak {su}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{6}$ соответствует изоморфизмам диаграмм $A_{3}\cong D_{3},$ и соответствующий изоморфизм групп Ли $\operatorname {SU} (4)\cong \operatorname {Spin} (6).$

Если рассматривать $E_{4}$ и $E_{5}$ как диаграммы, они изоморфны $A_{4}$ и $D_{5},$ соответственно, с соответствующими изоморфизмами алгебр Ли.

См. также

Примечания

^ ( Кнапп 2002 , раздел 4, стр. 248–251 )
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ( Кнапп 2002 , предложения 4.26, 4.27, стр. 249–250 )
^ ( Кнапп 2002 , Предложение 4.25, стр. 249 )
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ( Кнапп 2002 , Предложение 4.24, стр. 249 )
^ СпрингерСсылка
↑ Зал 2015, Глава 7.

Ссылки

Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-0-387-40122-5 .
Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли за пределами введения , Progress in Mathematics, vol. 140 (2-е изд.), Бостон: Биркхойзер, ISBN 0-8176-4259-5 .

Внешние ссылки

Компактная группа Ли в Математической энциклопедии.

[1] ( Кнапп 2002 , раздел 4, стр. 248–251 )

[knappdef-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ( Кнапп 2002 , предложения 4.26, 4.27, стр. 249–250 )

[3] ( Кнапп 2002 , Предложение 4.25, стр. 249 )

[knapp424-4] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ( Кнапп 2002 , Предложение 4.24, стр. 249 )

[5] СпрингерСсылка

[6] Зал 2015, Глава 7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]