Теория представлений группы Пуанкаре

В математике , теория представлений группы Пуанкаре является примером теории представлений группы Ли , которая не является ни компактной ни полупростой группой . Это фундаментальное явление в теоретической физике .

В физической теории, пространство Минковского в основе которой лежит , пространство физических состояний обычно является представлением группы Пуанкаре. (В более общем смысле это может быть проективное представление , равнозначное представлению двойного покрытия группы.)

В классической теории поля физические состояния представляют собой сечения пуанкаре-эквивариантного векторного расслоения над пространством Минковского. Условие эквивариантности означает, что группа действует на всем пространстве векторного расслоения, а проекция на пространство Минковского является эквивариантным отображением . Следовательно, группа Пуанкаре действует и на пространстве сечений. Возникающие таким образом представления (и их подчастные) называются представлениями ковариантного поля и обычно не являются унитарными.

Обсуждение таких унитарных представлений см. в классификации Вигнера .

В квантовой механике состояние системы определяется уравнением Шрёдингера, инвариантным относительно преобразований Галилея. Квантовая теория поля — это релятивистское расширение квантовой механики, в котором релятивистские (инвариант Лоренца/Пуанкаре) волновые уравнения решаются, «квантуются» и действуют в гильбертовом пространстве, состоящем из состояний Фока .

Не существует конечных унитарных представлений полных преобразований Лоренца (и, следовательно, Пуанкаре) из-за некомпактной природы бустов Лоренца (вращений в пространстве Минковского вдоль оси пространства и времени). Однако существуют конечные неунитарные неразложимые представления алгебры Пуанкаре, которые можно использовать для моделирования нестабильных частиц. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

В случае частиц со спином 1/2 найти конструкцию, включающую как конечномерное представление, так и скалярное произведение, сохраняемое этим представлением, можно, сопоставив 4-компонентный спинор Дирака $\psi$ с каждой частицей. Эти спиноры трансформируются под действием преобразований Лоренца, порожденных гамма-матрицами ( $\gamma _{\mu }$ ). Можно показать, что скалярное произведение

\langle \psi |\phi \rangle ={\bar {\psi }}\phi =\psi ^{\dagger }\gamma _{0}\phi

сохраняется. Однако оно не является положительно определенным, поэтому представление не является унитарным.

Ссылки

Грейнер, В.; Мюллер, Б. (1994). Квантовая механика: Симметрии (2-е изд.). Спрингер. ISBN 978-3540580805 .
Грейнер, В .; Рейнхардт, Дж. (1996), Квантование поля , Springer, ISBN 978-3-540-59179-5
Хариш-Чандра (1947), «Бесконечные неприводимые представления группы Лоренца», Proc. Р. Сок. A , 189 (1018): 372–401, Бибкод : 1947RSPSA.189..372H , doi : 10.1098/rspa.1947.0047
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, том. 222 (2-е изд.), Springer, номер документа : 10.1007/978-3-319-13467-3 , ISBN. 978-3319134666 , ISSN 0072-5285
Вигнер, EP (1939), «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца», Annals of Mathematics , 40 (1): 149–204, Бибкод : 1939AnMat..40..149W , doi : 10.2307/1968551 , JSTOR 1968551 , МИСТЕР 1503456 , S2CID 121773411 .

Примечания

^ Ленчевский Р.; Грубер, Б. (1986). «Неразложимые представления алгебры Пуанкаре» . Журнал физики A: Математический и общий . 19 (1): 1–20. Бибкод : 1986JPhA...19....1L . дои : 10.1088/0305-4470/19/1/006 . ISSN 0305-4470 .
^ Панейц, Стивен М. (1984). «Все линейные представления группы Пуанкаре до размерности 8» . Анналы Института Анри Пуанкаре А. 40 (1): 35–57.

См. также

[1] Ленчевский Р.; Грубер, Б. (1986). «Неразложимые представления алгебры Пуанкаре» . Журнал физики A: Математический и общий . 19 (1): 1–20. Бибкод : 1986JPhA...19....1L . дои : 10.1088/0305-4470/19/1/006 . ISSN 0305-4470 .

[2] Панейц, Стивен М. (1984). «Все линейные представления группы Пуанкаре до размерности 8» . Анналы Института Анри Пуанкаре А. 40 (1): 35–57.

[ 1 ]

[ 2 ]