Гамма-матрицы

В математической физике гамма -матрицы , $\ \left\{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right\}\ ,$ также называемые матрицами Дирака , представляют собой набор обычных матриц со специальными антикоммутационными отношениями, которые гарантируют, что они генерируют матричное представление алгебры Клиффорда. $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )~.$ Также возможно определить гамма-матрицы более высокой размерности . При интерпретации как матрицы действия набора ортогональных базисных векторов для контравариантных векторов в пространстве Минковского векторы-столбцы, на которые действуют матрицы, становятся пространством спиноров , на котором действует алгебра Клиффорда пространства-времени . Это, в свою очередь, позволяет представлять бесконечно малые пространственные вращения и повышения Лоренца . Спиноры облегчают пространственно-временные вычисления в целом и, в частности, являются фундаментальными для уравнения Дирака для релятивистского спина. ${\tfrac {\ 1\ }{2}}$ частицы. Гамма-матрицы были предложены Полем Дираком в 1928 году.

В представлении Дирака четыре контравариантные гамма-матрицы имеют вид

${\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}},\\\\\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}},&\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}$

$\gamma ^{0}$ — времяподобная эрмитова матрица . Остальные три являются пространственноподобными антиэрмитовыми матрицами . Более компактно, $\ \gamma ^{0}=\sigma ^{3}\otimes I_{2}\ ,$ и $\ \gamma ^{j}=i\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{j}\ ,$ где $\ \otimes \$ обозначает произведение Кронекера , а $\ \sigma ^{j}\$ (для j = 1, 2, 3 ) обозначают матрицы Паули .

Кроме того, при обсуждении теории групп единичная матрица ( I ) иногда включается в состав четырех гамма-матриц, а также существует вспомогательная, «пятая» бесследовая матрица, используемая совместно с обычными гамма-матрицами.

${\begin{aligned}\ I_{4}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\ ,\qquad \gamma ^{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}$

«Пятая матрица» $\ \gamma ^{5}\$ не является полноценным членом основной группы из четырех человек; он используется для разделения номинальных левых и правых киральных представлений .

Гамма-матрицы имеют групповую структуру, гамма-группу , которая является общей для всех матричных представлений группы в любом измерении и для любой сигнатуры метрики. Например, матрицы Паули 2 × 2 представляют собой набор «гамма»-матриц в трехмерном пространстве с метрикой евклидовой сигнатуры (3, 0). В пяти измерениях пространства-времени четыре гаммы, указанные выше, вместе с пятой гамма-матрицей, представленной ниже, образуют алгебру Клиффорда.

Математическая структура

Определяющим свойством гамма-матриц порождать алгебру Клиффорда является антикоммутационное соотношение

$\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\ ,$

где фигурные скобки $\ \{,\}\$ представить антикоммутатор , $\ \eta _{\mu \nu }\$ — метрика Минковского с сигнатурой (+ − − −) и $I_{4}$ — 4 × 4 единичная матрица .

Это определяющее свойство является более фундаментальным, чем числовые значения, используемые в конкретном представлении гамма-матриц. Ковариантные гамма-матрицы определяются формулой

$\ \gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{\gamma ^{0},-\gamma ^{1},-\gamma ^{2},-\gamma ^{3}\right\}\ ,$

и обозначения Эйнштейна принимаются .

Обратите внимание, что другое соглашение о знаках метрики (− + + +) требует либо изменения определяющего уравнения:

$\ \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=-2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\$

или умножение всех гамма-матриц на $i$, что, конечно, меняет их свойства герметичности, подробно описанные ниже. В соответствии с альтернативным соглашением о знаках для метрики ковариантные гамма-матрицы затем определяются формулой

$\ \gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{-\gamma ^{0},+\gamma ^{1},+\gamma ^{2},+\gamma ^{3}\right\}~.$

Физическая структура

Алгебра Клиффорда $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\$ в пространстве-времени V можно рассматривать как набор действительных линейных операторов из V в себя, End( V ) или, в более общем смысле, при комплексировании к $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\ ,$ как набор линейных операторов из любого четырехмерного комплексного векторного пространства в себя. Проще говоря, учитывая основу для V , $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\$ представляет собой просто набор всех комплексных матриц размера 4×4 , но наделенных структурой алгебры Клиффорда. Предполагается, что пространство-время наделено метрикой Минковского η _μν . пространство биспиноров Ux _{В каждой точке пространства-времени также} предполагается , наделенное биспинорным представлением группы Лоренца . Биспинорные поля Ψ уравнений Дирака, вычисляемые в любой точке x пространства-времени, являются элементами U _x (см. ниже). Предполагается, что алгебра Клиффорда действует на U _x также (путем умножения матриц на вектор-столбцы Ψ( x ) в U _x для всех x ). Это будет основной вид элементов $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\$ в этом разделе.

Для каждого линейного преобразования S U , _x существует преобразование End( U _x ) заданное SES ⁻¹ для E в $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\approx \operatorname {End} (U_{x})~.$ Если S принадлежит представлению группы Лоренца, то индуцированное действие E ↦ SES ⁻¹ также будет принадлежать представлению группы Лоренца, см. Теория представлений группы Лоренца .

Если S(Λ) — биспинорное представление, действующее на U _x, произвольного преобразования Лоренца Λ в стандартном (4-векторном) представлении, действующем на V , то существует соответствующий оператор на $\ \operatorname {End} \left(U_{x}\right)=\mathrm {Cl} _{1,3}\left(\mathbb {R} \right)_{\mathbb {C} }\$ задано уравнением:

$\ \gamma ^{\mu }\ \mapsto \ S(\Lambda )\ \gamma ^{\mu }\ {S(\Lambda )}^{-1}={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }\ \gamma ^{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }\ \gamma ^{\nu }\ ,$

показывая, что количество γ ^м можно рассматривать как основу 4 пространства представления - векторного представления группы Лоренца, находящегося внутри алгебры Клиффорда. Последнее тождество можно признать определяющим соотношением для матриц, принадлежащих неопределенной ортогональной группе , которая есть $\ \eta \Lambda ^{\textsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1}\ ,$ записано в индексированной записи. Это означает, что величины вида

$a\!\!\!/\equiv a_{\mu }\gamma ^{\mu }$

при манипуляциях следует рассматривать как 4 вектора. можно повышать и понижать Это также означает, что индексы на γ с помощью метрики η _µν, как и в случае любого 4-вектора. Эта запись называется косой чертой Фейнмана . Операция косой черты отображает базис e _µ V µ любого 4-мерного векторного пространства в базисные векторы γ _. или Правило преобразования для сокращенных величин просто

${a\!\!\!/}^{\mu }\mapsto {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }{a\!\!\!/}^{\nu }~.$

Следует отметить, что это отличается от правила преобразования для γ ^м , которые теперь рассматриваются как (фиксированные) базисные векторы. Обозначение 4-го кортежа $\left(\gamma ^{\mu }\right)_{\mu =0}^{3}=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)$ поскольку вектор 4, иногда встречающийся в литературе, является небольшим неправильным употреблением. Последнее преобразование соответствует активному преобразованию компонент косой величины по базису γ ^м , а первый – к пассивному преобразованию базиса γ ^м сам.

Элементы $\ \sigma ^{\mu \nu }=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\$ образуют представление алгебры Ли группы Лоренца. Это спиновое представление. Когда эти матрицы и их линейные комбинации возводятся в степень, они являются биспинорными представлениями группы Лоренца, например, указанная выше S(Λ) имеет такую ​​форму. Шестимерное пространство σ ^{примечание} span — пространство представления тензорного представления группы Лоренца. Элементы высшего порядка алгебры Клиффорда в целом и правила их преобразования см. в статье « Алгебра Дирака» . Спиновое представление группы Лоренца кодируется в спиновой группе Spin(1, 3) (для вещественных незаряженных спиноров) и в комплексифицированной спиновой группе Spin(1, 3) для заряженных (Дираковских) спиноров.

Выражение уравнения Дирака

Основная статья: уравнение Дирака

В натуральных единицах уравнение Дирака можно записать как

$\ \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi =0\$

где $\ \psi \$ является спинором Дирака.

Переходя к обозначениям Фейнмана , уравнение Дирака имеет вид

$\ (i{\partial \!\!\!/}-m)\psi =0~.$

Пятая «гамма» матрица, с ⁵

Полезно определить произведение четырех гамма-матриц как $\gamma ^{5}=\sigma _{1}\otimes I$, так что

$\ \gamma ^{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}\qquad$ (в базисе Дирака).

Хотя $\ \gamma ^{5}\$ использует букву гамма, это не одна из гамма -матриц $\ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )~.$ Индексный номер 5 является пережитком старых обозначений: $\ \gamma ^{0}\$ раньше назывался " $\gamma ^{4}$".

$\ \gamma ^{5}\$ имеет также альтернативную форму:

$\ \gamma ^{5}={\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\alpha }\gamma _{\beta }\$

используя соглашение $\varepsilon _{0123}=1\ ,$ или

$\ \gamma ^{5}=-{\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\alpha }\gamma _{\beta }\$

используя соглашение $\varepsilon ^{0123}=1~.$Доказательство:

В этом можно убедиться, если использовать тот факт, что все четыре гамма-матрицы антикоммутируют, поэтому

$\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=\gamma ^{[0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3]}={\tfrac {1}{4!}}\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{0123}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }\ ,$

где $\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }$ типа (4,4) представляет собой обобщенную дельту Кронекера в 4 измерениях в полной антисимметризации . Если $\ \varepsilon _{\alpha \dots \beta }\$ обозначает символ Леви-Чивита в n измерениях, мы можем использовать тождество $\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }=\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }$.Тогда мы получаем, используя соглашение $\ \varepsilon ^{0123}=1\ ,$

$\ \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {i}{4!}}\varepsilon ^{0123}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }={\tfrac {i}{4!}}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }=-{\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\varrho }\gamma _{\sigma }$

Эта матрица полезна при обсуждении квантово-механической киральности . Например, поле Дирака можно спроецировать на его левые и правые компоненты следующим образом:

$\ \psi _{\mathrm {L} }={\frac {\ I-\gamma ^{5}\ }{2}}\ \psi ,\qquad \psi _{\mathrm {R} }={\frac {\ I+\gamma ^{5}\ }{2}}\ \psi ~.$

Некоторые свойства:

• Это эрмитово:

  $\left(\gamma ^{5}\right)^{\dagger }=\gamma ^{5}~.$

• Его собственные значения равны ±1, потому что:

  $\left(\gamma ^{5}\right)^{2}=I_{4}~.$

• Он антикоммутирует с четырьмя гамма-матрицами:

  $\left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\right\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0~.$

Фактически, $\ \psi _{\mathrm {L} }\$ и $\ \psi _{\mathrm {R} }\$ являются собственными векторами $\ \gamma ^{5}\$ с

$\gamma ^{5}\psi _{\mathrm {L} }={\frac {\ \gamma ^{5}-\left(\gamma ^{5}\right)^{2}\ }{2}}\psi =-\psi _{\mathrm {L} }\ ,$ и $\gamma ^{5}\psi _{\mathrm {R} }={\frac {\ \gamma ^{5}+\left(\gamma ^{5}\right)^{2}\ }{2}}\psi =\psi _{\mathrm {R} }~.$

Пять измерений

Алгебра Клиффорда в нечетных измерениях ведет себя как две копии алгебры Клиффорда на одну размерность меньше: левая копия и правая копия. Таким образом, можно использовать небольшую хитрость, чтобы перепрофилировать i γ ⁵ как один из образующих алгебры Клиффорда в пяти измерениях. В этом случае множество { γ ⁰ , с ¹ , с ² , с ³ , IC ⁵ } поэтому по двум последним свойствам (имея в виду, что i ² ≡ −1 ) и «старых» гамм, составляет основу алгебры Клиффорда в 5 измерениях пространства-времени для метрической сигнатуры (1,4) .  . В метрической сигнатуре (4,1) множество { γ ⁰ , с ¹ , с ² , с ³ , с ⁵ } используется, где γ ^м являются подходящими для сигнатуры (3,1) . Этот шаблон повторяется для четного измерения пространства-времени 2 n и следующего нечетного измерения 2 n + 1 для всех n ≥ 1 . Для получения более подробной информации см. гамма-матрицы более высокой размерности .

Личности

Следующие тождества следуют из фундаментального антикоммутационного соотношения, поэтому они справедливы в любом базисе (хотя последнее зависит от выбора знака для $\gamma ^{5}$).

Разные личности

1. $\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I_{4}$

showДоказательство

Take the standard anticommutation relation: $\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}.$ One can make this situation look similar by using the metric $\eta$: $\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }$ $=\gamma ^{\mu }\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }$ $={\tfrac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \nu }+\eta _{\nu \mu }\right)\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }$ ($\eta$ symmetric) $={\tfrac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\eta _{\nu \mu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)$ (expanding) $={\tfrac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right)$ (relabeling term on right) $={\tfrac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}$ $={\tfrac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }\left(2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\right)=\eta _{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }I_{4}=4I_{4}.$

2. $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu }$

showДоказательство
Similarly to the proof of 1, again beginning with the standard commutation relation: ${\begin{aligned}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }&=\gamma ^{\mu }\left(2\eta _{\mu }^{\nu }I_{4}-\gamma _{\mu }\gamma ^{\nu }\right)\\&=2\gamma ^{\mu }\eta _{\mu }^{\nu }-\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }\gamma ^{\nu }\\&=2\gamma ^{\nu }-4\gamma ^{\nu }=-2\gamma ^{\nu }.\end{aligned}}$

3. $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}$

showДоказательство

To show $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}.$ Use the anticommutator to shift $\gamma ^{\mu }$ to the right $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }$ $=\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }$ $=2\ \eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }-\gamma ^{\nu }\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\rho }\right\}\gamma _{\mu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }.$ Using the relation $\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I$ we can contract the last two gammas, and get $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }$ $=2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }2\eta ^{\mu \rho }\gamma _{\mu }+4\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }$ $=2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }-2\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }+4\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }$ $=2\left(\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$ $=2\left\{\gamma ^{\nu },\gamma ^{\rho }\right\}.$ Finally using the anticommutator identity, we get $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}.$

4. $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }$

showДоказательство

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }$ $=(2\eta ^{\mu \nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }\,$ (anticommutator identity) $=2\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }-4\gamma ^{\nu }\eta ^{\rho \sigma }\,$ (using identity 3) $=2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }-4\gamma ^{\nu }\eta ^{\rho \sigma }$ (raising an index) $=2\left(2\eta ^{\rho \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)\gamma ^{\nu }-4\gamma ^{\nu }\eta ^{\rho \sigma }$ (anticommutator identity) $=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }$ (2 terms cancel)

5. $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }=\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }+\eta ^{\nu \rho }\gamma ^{\mu }-\eta ^{\mu \rho }\gamma ^{\nu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}$

showДоказательство

If $\mu =\nu =\rho$ then $\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }=0$ and it is easy to verify the identity. That is the case also when $\mu =\nu \neq \rho$, $\mu =\rho \neq \nu$ or $\nu =\rho \neq \mu$. On the other hand, if all three indices are different, $\eta ^{\mu \nu }=0$, $\eta ^{\mu \rho }=0$ and $\eta ^{\nu \rho }=0$ and both sides are completely antisymmetric; the left hand side because of the anticommutativity of the $\gamma$ matrices, and on the right hand side because of the antisymmetry of $\epsilon _{\sigma \mu \nu \rho }$. It thus suffices to verify the identities for the cases of $\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}$, $\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{3}$, $\gamma ^{0}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$ and $\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$. ${\begin{aligned}-i\epsilon ^{\sigma 012}\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{3012}\left(-\gamma ^{3}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=-\epsilon ^{3012}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}=\epsilon ^{0123}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\\-i\epsilon ^{\sigma 013}\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{2013}\left(-\gamma ^{2}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=\epsilon ^{2013}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{3}=\epsilon ^{0123}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{3}\\-i\epsilon ^{\sigma 023}\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{1023}\left(-\gamma ^{1}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=-\epsilon ^{1023}\gamma ^{0}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=\epsilon ^{0123}\gamma ^{0}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\\-i\epsilon ^{\sigma 123}\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{0123}\left(\gamma ^{0}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=\epsilon ^{0123}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\end{aligned}}$

6. $\gamma ^{5}\sigma ^{\nu \rho }={\tfrac {i}{2}}\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\sigma _{\sigma \mu }\ ,$ где $\ \sigma _{\mu \nu }={\tfrac {i}{2}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]={\tfrac {i}{2}}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })\$

showДоказательство

For $\ \nu =\rho \ ,$$\ \epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }=0\$ and both sides vanish. Otherwise, multiplying identity 5 by $\ \gamma _{\mu }\$ from the right gives that $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }$ $=\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }+\eta ^{\nu \rho }\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }-\eta ^{\mu \rho }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}\gamma _{\mu }\,$ $=\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }+4\eta ^{\nu \rho }I_{4}-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}\gamma _{\mu }\,$ (raising indices and using identity 1) where $4\eta ^{\nu \rho }I_{4}=0$ since $\nu \neq \rho$. The left hand side of this equation also vanishes since $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}$ by property 3. Rearranging gives that $\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }$ $=i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}\gamma _{\mu }\,$ $=-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma ^{5}\gamma _{\sigma }\gamma _{\mu }\,$ (since $\gamma ^{5}$ anticommutes with the gamma matrices) Note that $2\gamma _{\sigma }\gamma _{\mu }=\gamma _{\sigma }\gamma _{\mu }-\gamma _{\mu }\gamma _{\sigma }=[\gamma _{\sigma },\gamma _{\mu }]$ for $\sigma \neq \mu$ (for $\sigma =\mu$, $\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }$ vanishes) by the standard anticommutation relation. It follows that $-[\gamma ^{\nu },\gamma ^{\rho }]$ $=-{\tfrac {i}{2}}\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma ^{5}[\gamma _{\sigma },\gamma _{\mu }]\,$ Multiplying from the left times $\ -{\tfrac {i}{2}}\gamma ^{5}\$ and using that $\ (\gamma ^{5})^{2}=I_{4}\$ yields the desired result.

Отследить личности

Гамма-матрицы подчиняются следующим тождествам следов :

1. $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\right)=0$
2. След любого произведения нечетного числа $\gamma ^{\mu }$ равен нулю
3. След $\gamma ^{5}$ раз произведение нечетного числа $\gamma ^{\mu }$ все еще ноль
4. $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)=4\eta ^{\mu \nu }$
5. $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=4\left(\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)$
6. $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}\right)=0$
7. $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5}\right)=-4i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }$
8. $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{n}}\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu _{n}}\dots \gamma ^{\mu _{1}}\right)$

Доказательство вышеизложенного предполагает использование трех основных свойств оператора трассировки :

• тр( А + B ) = тр( А ) + тр( B )
• тр( рА ) = р тр( А )
• tr( ABC ) = tr( CAB ) = tr( BCA )

showДоказательство 1

From the definition of the gamma matrices, $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I$ We get $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu }=\eta ^{\mu \mu }I$ or equivalently, ${\frac {\ \gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu }\ }{\ \eta ^{\mu \mu }\ }}=I\$ where $\ \eta ^{\mu \mu }\$ is a number, and $\ \gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu }\$ is a matrix. $\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu })={\frac {1}{\eta ^{\mu \mu }}}\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu })$ (inserting the identity and using tr(rA) = r tr(A) .) $=-{\frac {1}{\eta ^{\mu \mu }}}\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })$ (from anti-commutation relation, and given that we are free to select $\mu \neq \nu$) $=-{\frac {1}{\eta ^{\mu \mu }}}\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu })$ (using tr(ABC) = tr(BCA)) $=-\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu })$ (removing the identity) This implies $\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu })=0$

showДоказательство 2

To show $\operatorname {tr} ({\text{odd num of }}\gamma )=0$ First note that $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\right)=0.$ We'll also use two facts about the fifth gamma matrix $\gamma ^{5}$ that says: $\left(\gamma ^{5}\right)^{2}=I_{4},\quad \mathrm {and} \quad \gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=-\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }$ So lets use these two facts to prove this identity for the first non-trivial case: the trace of three gamma matrices. Step one is to put in one pair of $\gamma ^{5}$'s in front of the three original $\gamma$'s, and step two is to swap the $\gamma ^{5}$ matrix back to the original position, after making use of the cyclicity of the trace. $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$ $=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$ $=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{5}\right)$ $=-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$ (using tr(ABC) = tr(BCA)) $=-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$ This can only be fulfilled if $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)=0$ The extension to 2n + 1 (n integer) gamma matrices, is found by placing two gamma-5s after (say) the 2n-th gamma-matrix in the trace, commuting one out to the right (giving a minus sign) and commuting the other gamma-5 2n steps out to the left [with sign change (-1)^2n = 1]. Then we use cyclic identity to get the two gamma-5s together, and hence they square to identity, leaving us with the trace equalling minus itself, i.e. 0.

showДоказательство 3

If an odd number of gamma matrices appear in a trace followed by $\gamma ^{5}$, our goal is to move $\gamma ^{5}$ from the right side to the left. This will leave the trace invariant by the cyclic property. In order to do this move, we must anticommute it with all of the other gamma matrices. This means that we anticommute it an odd number of times and pick up a minus sign. A trace equal to the negative of itself must be zero.

showДоказательство 4

To show $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)=4\eta ^{\mu \nu }$ Begin with, $\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })$ $={\tfrac {1}{2}}\left(\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)+\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right)\right)$ $={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right)={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}\right)$ $={\tfrac {1}{2}}2\eta ^{\mu \nu }\operatorname {tr} (I_{4})=4\eta ^{\mu \nu }$

showДоказательство 5

$\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)$ $=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\left(2\eta ^{\rho \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)\right)$ $=2\eta ^{\rho \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (1)$ For the term on the right, we'll continue the pattern of swapping $\gamma ^{\sigma }$ with its neighbor to the left, $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)$ $=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\left(2\eta ^{\nu \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\right)\gamma ^{\rho }\right)$ $=2\eta ^{\nu \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\rho }\right)-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (2)$ Again, for the term on the right swap $\gamma ^{\sigma }$ with its neighbor to the left, $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$ $=\operatorname {tr} \left(\left(2\eta ^{\mu \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\right)\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)$ $=2\eta ^{\mu \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (3)$ Eq (3) is the term on the right of eq (2), and eq (2) is the term on the right of eq (1). We'll also use identity number 3 to simplify terms like so: $2\eta ^{\rho \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)=2\eta ^{\rho \sigma }\left(4\eta ^{\mu \nu }\right)=8\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }.$ So finally Eq (1), when you plug all this information in gives $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=8\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }-8\eta ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+8\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }$ $-\ \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad \quad \quad \quad \quad (4)$ The terms inside the trace can be cycled, so $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right).$ So really (4) is $2\ \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=8\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }-8\eta ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+8\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }$ or $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=4\left(\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }-\eta ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)$

showДоказательство 6

To show $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=0$, begin with $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)$ $=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\gamma ^{0}\gamma ^{5}\right)$ (because $\gamma ^{0}\gamma ^{0}=I_{4}$) $=-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)$ (anti-commute the $\gamma ^{5}$ with $\gamma ^{0}$) $=-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\gamma ^{0}\gamma ^{5}\right)$ (rotate terms within trace) $=-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)$ (remove $\gamma ^{0}$'s) Add $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)$ to both sides of the above to see $2\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=0$. Now, this pattern can also be used to show $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}\right)=0$. Simply add two factors of $\gamma ^{\alpha }$, with $\alpha$ different from $\mu$ and $\nu$. Anticommute three times instead of once, picking up three minus signs, and cycle using the cyclic property of the trace. So, $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}\right)=0$.

showДоказательство 7

For a proof of identity 7, the same trick still works unless $\left(\mu \nu \rho \sigma \right)$ is some permutation of (0123), so that all 4 gammas appear. The anticommutation rules imply that interchanging two of the indices changes the sign of the trace, so $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5}\right)$ must be proportional to $\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }$ $\left(\epsilon ^{0123}=\eta ^{0\mu }\eta ^{1\nu }\eta ^{2\rho }\eta ^{3\sigma }\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }=\eta ^{00}\eta ^{11}\eta ^{22}\eta ^{33}\epsilon _{0123}=-1\right)$. The proportionality constant is $4i$, as can be checked by plugging in $(\mu \nu \rho \sigma )=(0123)$, writing out $\gamma ^{5}$, and remembering that the trace of the identity is 4.

showДоказательство 8

Denote the product of $n$ gamma matrices by $\Gamma =\gamma ^{\mu 1}\gamma ^{\mu 2}\dots \gamma ^{\mu n}.$ Consider the Hermitian conjugate of $\Gamma$: $\Gamma ^{\dagger }$ $=\gamma ^{\mu n\dagger }\dots \gamma ^{\mu 2\dagger }\gamma ^{\mu 1\dagger }$ $=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu n}\gamma ^{0}\dots \gamma ^{0}\gamma ^{\mu 2}\gamma ^{0}\gamma ^{0}\gamma ^{\mu 1}\gamma ^{0}$ (since conjugating a gamma matrix with $\gamma ^{0}$ produces its Hermitian conjugate as described below) $=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu n}\dots \gamma ^{\mu 2}\gamma ^{\mu 1}\gamma ^{0}$ (all $\gamma ^{0}$s except the first and the last drop out) Conjugating with $\gamma ^{0}$ one more time to get rid of the two $\gamma ^{0}$s that are there, we see that $\gamma ^{0}\Gamma ^{\dagger }\gamma ^{0}$ is the reverse of $\Gamma$. Now, $\operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\Gamma ^{\dagger }\gamma ^{0}\right)$ $=\operatorname {tr} \left(\Gamma ^{\dagger }\right)$ (since trace is invariant under similarity transformations) $=\operatorname {tr} \left(\Gamma ^{*}\right)$ (since trace is invariant under transposition) $=\operatorname {tr} \left(\Gamma \right)$ (since the trace of a product of gamma matrices is real)

Нормализация

Гамма-матрицы могут быть выбраны с дополнительными условиями эрмитичности, которые, однако, ограничены указанными выше антикоммутационными соотношениями. Мы можем навязать

$\left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}$, совместим с $\left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I_{4}$

а для остальных гамма-матриц (для k = 1, 2, 3 )

$\left(\gamma ^{k}\right)^{\dagger }=-\gamma ^{k}$, совместим с $\left(\gamma ^{k}\right)^{2}=-I_{4}.$

Сразу проверяем, что эти соотношения эрмитичности справедливы для представления Дирака.

Вышеуказанные условия можно объединить в соотношении

$\left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0}.$

Условия эрмитивности не инвариантны относительно действия $\gamma ^{\mu }\to S(\Lambda )\gamma ^{\mu }{S(\Lambda )}^{-1}$ преобразования Лоренца $\Lambda$ потому что $S(\Lambda )$ не обязательно является унитарным преобразованием из-за некомпактности группы Лоренца.

Зарядовое сопряжение

Оператор зарядового сопряжения в любом базисе можно определить как

$C\gamma _{\mu }C^{-1}=-(\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}$

где $(\cdot )^{\textsf {T}}$ обозначает транспонирование матрицы . Явная форма, которая $C$ принимает зависит от конкретного представления, выбранного для гамма-матриц, с точностью до произвольного фазового коэффициента. Это связано с тем, что, хотя зарядовое сопряжение является автоморфизмом гамма -группы , оно не ( является внутренним автоморфизмом группы). Сопряжающие матрицы можно найти, но они зависят от представления.

Независимые от представления тождества включают в себя:

${\begin{aligned}C\gamma _{5}C^{-1}&=+(\gamma _{5})^{\textsf {T}}\\C\sigma _{\mu \nu }C^{-1}&=-(\sigma _{\mu \nu })^{\textsf {T}}\\C\gamma _{5}\gamma _{\mu }C^{-1}&=+(\gamma _{5}\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}\\\end{aligned}}$

Оператор зарядового сопряжения также унитарен. $C^{-1}=C^{\dagger }$, в то время как для $\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )$ он также утверждает, что $C^{T}=-C$ для любого представительства. Учитывая представление гамма-матриц, произвольный фазовый коэффициент для оператора зарядового сопряжения также можно выбрать так, чтобы $C^{\dagger }=-C$, как и в случае четырех представлений, приведенных ниже (Дирак, Майорана и оба киральных варианта).

Обозначение Фейнмана косой чертой

Обозначение косой черты Фейнмана определяется формулой

${a\!\!\!/}:=\gamma ^{\mu }a_{\mu }$

для любого 4-вектора $a$.

Вот несколько идентификаторов, похожих на приведенные выше, но с использованием косой черты:

• ${a\!\!\!/}{b\!\!\!/}=\left[a\cdot b-ia_{\mu }\sigma ^{\mu \nu }b_{\nu }\right]I_{4}$
• ${a\!\!\!/}{a\!\!\!/}=\left[a^{\mu }a^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\right]I_{4}=\left[{\tfrac {1}{2}}a^{\mu }a^{\nu }\left(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }\right)\right]I_{4}=\left[\eta _{\mu \nu }a^{\mu }a^{\nu }\right]I_{4}=a^{2}I_{4}$
• $\operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=4(a\cdot b)$
• $\operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]$
• $\operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=0$
• $\operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=-4i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\rho }d^{\sigma }$
• $\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{a\!\!\!/}$
• $\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=4(a\cdot b)I_{4}$
• $\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}$

  где $\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }$ является символом Леви-Чивита и $\sigma ^{\mu \nu }={\tfrac {i}{2}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]~.$ На самом деле следы продуктов нечетного числа $\ \gamma \$ равен нулю и, следовательно,

• $\operatorname {tr} (a_{1}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,a_{2}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,\cdots a_{n}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,)=0\$ для n нечетно.

Многие следуют непосредственно из расширения обозначения косой черты и сокращения выражений формы $\ a_{\mu }b_{\nu }c_{\rho }\ \ldots \$ с соответствующим тождеством в терминах гамма-матриц.

Другие представления

Матрицы также иногда записываются с использованием единичной матрицы 2×2 , $I_{2}$, и

$\gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}}$

где k принимает значения от 1 до 3, а σ ^к являются матрицами Паули .

Основа Дирака

Гамма-матрицы, которые мы написали до сих пор, подходят для воздействия на спиноры Дирака, записанные в базисе Дирака ; фактически базис Дирака определяется этими матрицами. Подводя итог, в базисе Дирака:

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}~.$

В базисе Дирака оператор зарядового сопряжения вещественен антисимметричен:

$C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&~~0&~~0&-1\\0&~~0&~~1&~~0\\0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~~0\end{pmatrix}}~.$

Базис Вейля (хиральный)

Другой распространенный выбор — это Вейля или киральный базис , в котором $\gamma ^{k}$ остается прежним, но $\gamma ^{0}$ отличается, и поэтому $\gamma ^{5}$ тоже разная, и диагональная,

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}},$

или в более компактной записи:

$\gamma ^{\mu }={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{\mu }\\{\overline {\sigma }}^{\mu }&0\end{pmatrix}},\quad \sigma ^{\mu }\equiv (1,\sigma ^{i}),\quad {\overline {\sigma }}^{\mu }\equiv \left(1,-\sigma ^{i}\right).$

киральные проекции Преимущество базиса Вейля состоит в том, что его принимают простую форму:

$\psi _{\mathrm {L} }={\tfrac {1}{2}}\left(1-\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\mathrm {R} }={\tfrac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi ~.$

Идемпотентность . киральных проекций очевидна

Слегка злоупотребляя обозначениями и повторно используя символы $\psi _{\mathrm {L} /R}$ тогда мы сможем идентифицировать

$\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {L} }\\\psi _{\mathrm {R} }\end{pmatrix}},$

где сейчас $\psi _{\mathrm {L} }$ и $\psi _{\mathrm {R} }$ являются левыми и правыми двухкомпонентными спинорами Вейля.

Оператор зарядового сопряжения в этом базисе вещественный антисимметричен:

$C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}&0\\0&-i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}$

Базис Дирака можно получить из базиса Вейля как

$\gamma _{\mathrm {W} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },\quad \psi _{\mathrm {W} }=U\psi _{\mathrm {D} }$

через унитарное преобразование

$U={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}\left(1+\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}I_{2}&-I_{2}\\I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}.$

Базис Вейля (хиральный) (

Еще один возможный выбор базиса Вейля имеет

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}.$

Киральные проекции принимают форму, немного отличающуюся от другого выбора Вейля:

$\psi _{\mathrm {R} }={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\mathrm {L} }={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi .$

Другими словами,

$\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {R} }\\\psi _{\mathrm {L} }\end{pmatrix}},$

где $\psi _{\mathrm {L} }$ и $\psi _{\mathrm {R} }$ являются левыми и правыми двухкомпонентными спинорами Вейля, как и раньше.

Оператором зарядового сопряжения в этом базисе является

$C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~~0\\0&~~0&~~0&~~1\\0&~~0&-1&~~0\\\end{pmatrix}}~=-i\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{2}.$

Этот базис можно получить из приведенного выше базиса Дирака как $\gamma _{\mathrm {W} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\mathrm {W} }=U\psi _{\mathrm {D} }$ через унитарное преобразование

$U={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}\left(1-\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}~~I_{2}&I_{2}\\-I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}~.$

Основа Майорана

Существует также майорановский базис, в котором все матрицы Дирака мнимые, а спиноры и уравнение Дирака вещественные. Что касается матриц Паули , то базис можно записать как

${\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\\\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{5}&={\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&0\\0&-\sigma ^{2}\end{pmatrix}}\ ,~&C&={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}\ ,\end{aligned}}$

где $C$ — матрица сопряжения зарядов, соответствующая версии Дирака, определенной выше.

Причина создания всех гамма-матриц мнимыми состоит исключительно в том, чтобы получить метрику физики элементарных частиц (+, −, −, −) , в которой квадраты масс положительны. Однако представление Майораны реально. Можно выделить $\ i\$ чтобы получить другое представление с четырьмя компонентами действительных спиноров и действительными гамма-матрицами. Последствия удаления $\ i\$ заключается в том, что единственной возможной метрикой с реальными гамма-матрицами является (−, +, +, +) .

Базис Майораны можно получить из базиса Дирака, приведенного выше, как $\gamma _{\mathrm {M} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\mathrm {M} }=U\psi _{\mathrm {D} }$ через унитарное преобразование

$U=U^{\dagger }={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&-I_{2}\end{pmatrix}}~.$

Cl _1,3 (C) и Cl _1,3 (R)

Алгебру Дирака можно рассматривать как комплексификацию вещественной алгебры Cl _1,3 ( $\mathbb {R}$), называемая алгеброй пространства-времени :

$\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {C} )=\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C}$

Кл _1,3 ( $\mathbb {R}$) отличается от Cl _1,3 ( $\mathbb {C}$): в Cl _1,3 ( $\mathbb {R}$) допускаются только вещественные линейные комбинации гамма-матриц и их произведений.

Заслуживают внимания две вещи. В качестве алгебр Клиффорда Cl _1,3 ( $\mathbb {C}$) и Cl ₄ ( $\mathbb {C}$) изоморфны, см. классификацию алгебр Клиффорда . Причина в том, что основная сигнатура метрики пространства-времени теряет свою сигнатуру (1,3) при переходе к комплексификации. Однако преобразование, необходимое для приведения билинейной формы к сложной канонической форме, не является преобразованием Лоренца и, следовательно, не «допустимо» (по крайней мере, непрактично), поскольку вся физика тесно связана с симметрией Лоренца, и предпочтительно сохранить ее. манифест.

Сторонники геометрической алгебры стремятся работать с реальными алгебрами везде, где это возможно. Они утверждают, что в целом возможно (и обычно полезно) определить наличие мнимой единицы в физическом уравнении. Такие единицы возникают из одной из многих величин в реальной алгебре Клиффорда, которые квадратичны до −1, и они имеют геометрическое значение из-за свойств алгебры и взаимодействия ее различных подпространств. Некоторые из этих сторонников также задаются вопросом, необходимо ли или даже полезно ли вводить дополнительную мнимую единицу в контексте уравнения Дирака.

В математике римановой геометрии принято определять алгебру Клиффорда Cl _p,q ( $\mathbb {R}$) для произвольных размерностей p,q . Спиноры Вейля преобразуются под действием спиновой группы $\mathrm {Spin} (n)$. Комплексификация спиновой группы, называемая спин-группой. $\mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)$, это продукт $\mathrm {Spin} (n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}$ спиновой группы с кругом $S^{1}\cong U(1).$ Продукт $\times _{\mathbb {Z} _{2}}$ просто обозначение для идентификации $(a,u)\in \mathrm {Spin} (n)\times S^{1}$ с $(-a,-u).$ Геометрический смысл этого подхода состоит в том, что он высвобождает действительный спинор, ковариантный относительно преобразований Лоренца, из $U(1)$ компонент, который можно идентифицировать по $\mathrm {U} (1)$ волокно электромагнитного взаимодействия. $\times _{\mathbb {Z} _{2}}$ запутывает четность и сопряжение зарядов способом, подходящим для связи состояний частицы/античастицы Дирака (эквивалентно киральным состояниям в базисе Вейля). Биспинор . , поскольку он имеет линейно независимые левую и правую компоненты, может взаимодействовать с электромагнитным полем В этом отличие от спинора Майораны и спинора ELKO (Eigenspinoren des Ladungskonjugationsoperators), которые не могут ( т.е. они электрически нейтральны), поскольку они явно ограничивают спинор, чтобы не взаимодействовать с $S^{1}$ часть происходит от комплексификации. Спинор ELKO — это спинор Lounesto класса 5.

Однако в современной физической практике алгебра Дирака, а не алгебра пространства-времени, продолжает оставаться стандартной средой, в которой «живут» спиноры уравнения Дирака.

Другие свойства без представления

Гамма-матрицы диагонализуемы с собственными значениями $\pm 1$ для $\gamma ^{0}$и собственные значения $\pm i$ для $\gamma ^{i}$.

showДоказательство
This can be demonstrated for $\gamma ^{0}$ and follows similarly for $\gamma ^{i}$. We can rewrite $(\gamma ^{0})^{2}=+1$ as $(\gamma ^{0}+1)(\gamma ^{0}-1)=0.$ By a well-known result in linear algebra, this means there is a basis in which $\gamma ^{0}$ is diagonal with eigenvalues $\{\pm 1\}$.

В частности, это означает, что $\gamma ^{0}$ является одновременно эрмитовым и унитарным, а $\gamma ^{i}$ являются одновременно антиэрмитовыми и унитарными.

При этом кратность каждого собственного значения равна двум.

showДоказательство
If $v$ is an eigenvector of $\ \gamma ^{0}\ ,$ then $\ \gamma ^{1}v\$ is an eigenvector with the opposite eigenvalue.Then eigenvectors can be paired off if they are related by multiplication by $\ \gamma ^{1}~.$ Result follows similarly for $\ \gamma ^{i}~.$

В более общем смысле, если $\ \gamma ^{\mu }X_{\mu }\$ не равно нулю, имеет место аналогичный результат. Для конкретности ограничимся случаем положительной нормы $\ \gamma ^{\mu }p_{\mu }=p\!\!\!/\$ с $\ p\cdot p=m^{2}>0~.$ Отрицательный случай следует аналогично.

showДоказательство
It can be shown $p\!\!\!/^{2}=m^{2}\ ,$ so by the same argument as the first result, $\ p\!\!\!/\$ is diagonalizable with eigenvalues $\ \pm m~.$We can adapt the argument for the second result slightly. We pick a non-null vector $\ q_{\mu }\$ which is orthogonal to $p_{\mu }~.$Then eigenvectors can be paired off similarly if they are related by multiplication by $\ q\!\!\!/~.$

Отсюда следует, что пространство решений $\ p\!\!\!/-m=0\$ (то есть ядро ​​левой части) имеет размерность 2. Это означает, что пространство решений для плоских волновых решений уравнения Дирака имеет размерность 2.

Этот результат по-прежнему справедлив для безмассового уравнения Дирака. Другими словами, если $p_{\mu }$ ноль, тогда $p\!\!\!/$ имеет недействительность 2.

showДоказательство

If $p_{\mu }$ null, then $p\!\!\!/p\!\!\!/=0.$By generalized eigenvalue decomposition, this can be written in some basis as diagonal in $2\times 2$ Jordan blocks with eigenvalue 0, with either 0, 1, or 2 blocks, and otherdiagonal entries zero. It turns out to be the 2 block case.The zero case is not possible as if $\ \gamma ^{\mu }p_{\mu }=0\ ,$ by linear independence of the $\ \gamma ^{\mu }\$ we must have $\ p_{\mu }=0~.$ But null vectors areby definition non-zero.Consider $(q_{\mu })=(|\mathbf {p} |,-\mathbf {p} )$ and a zero-eigenvector $v$ of $p\!\!\!/$.Note $q_{\mu }$ is also null and satisfies $p\!\!\!/q\!\!\!/+q\!\!\!/p\!\!\!/=4|\mathbf {p} |.-(*)$ If $p\!\!\!/v=0$, then it cannot simultaneously be a zero eigenvector of $q\!\!\!/$ by (*).Considering $q\!\!\!/v$, if we apply $p\!\!\!/$ then we get $p\!\!\!/q\!\!\!/v=4|\mathbf {p} |v$.Therefore, after a rescaling, $v$ and $q\!\!\!/v$ give a $2\times 2$ Jordan block. This gives a pairing. There must be another zero eigenvector of $p\!\!\!/$, which can be used to make the second Jordan block. There is also a pleasant structure to these pairs. If left arrows correspond to application of $p\!\!\!/$, and right arrows to application of $q\!\!\!/$, and $v$ is a zeroeigenvector of $p\!\!\!/$, up to scalar factors we have $0\leftarrow v\leftrightarrow q\!\!\!/v\rightarrow 0$.

Евклидовы матрицы Дирака

В квантовой теории поля Вик может повернуть ось времени, чтобы перейти из пространства Минковского в пространство Евклида . Это особенно полезно в некоторых процедурах перенормировки , а также в калибровочной теории решетки . В евклидовом пространстве обычно используются два представления матриц Дирака:

Киральное представление

$\gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&i\sigma ^{1,2,3}\\-i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}$

Обратите внимание, что факторы $i$ были вставлены в пространственные гамма-матрицы так, что евклидова алгебра Клиффорда

$\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\delta ^{\mu \nu }I_{4}$

появится. Также стоит отметить, что есть варианты, которые вместо этого вставляют $-i$ на одной из матриц, например, в решеточных кодах КХД, использующих киральный базис.

В евклидовом пространстве

$\gamma _{\mathrm {M} }^{5}=i\left(\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\mathrm {M} }={\tfrac {1}{i^{2}}}\left(\gamma ^{4}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\mathrm {E} }=\left(\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\gamma ^{4}\right)_{\mathrm {E} }=\gamma _{\mathrm {E} }^{5}~.$

Используя антикоммутатор и учитывая, что в евклидовом пространстве $\left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{\mu }$, показано, что

$\left(\gamma ^{5}\right)^{\dagger }=\gamma ^{5}$

В киральном базисе в евклидовом пространстве

$\gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}$

который не отличается от версии Минковского.

Нерелятивистское представление

$\gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{1,2,3}\\i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}}\ ,\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}}$

См. также

• Матрицы Паули
• Матрицы Гелл-Манна
• Гамма-матрицы более высокой размерности
• Личность Фирца
• Алгебра пространства-времени

Ссылки

• де Вит, Б.; Смит, Дж. (2 декабря 2012 г.). Теория поля в физике элементарных частиц, Том 1 . Эльзевир. ISBN  978-0-444-59622-2 . [1]
• Хальцен, Фрэнсис; Мартин, Алан Д. (17 мая 2008 г.). Кварк и лептоны: вводный курс современной физики элементарных частиц . Wiley India Pvt. Ограничено. ISBN  978-81-265-1656-8 .
• Хестенес, Дэвид (2015). Пространственно-временная алгебра . Международное издательство Спрингер. ISBN  978-3-319-18412-8 .
• Ицыксон, Клод; Зубер, Жан-Бернар (20 сентября 2012 г.). Квантовая теория поля . Курьерская компания. Приложение А. ISBN  978-0-486-13469-7 .
• Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ . Спрингер. п. 68, следствие 1.8.1. ISBN  978-3-540-42627-1 .
• Каку, Мичио (1993). Квантовая теория поля: современное введение . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-509158-8 .
• Каплуновский, Вадим (2008). «Трасология» (PDF) . Квантовая теория поля (домашнее задание по курсу/конспекты занятий). Физический факультет. Техасский университет в Остине . Архивировано из оригинала (PDF) 13 ноября 2019 г.

• Кукин, В.Д. (2016). «Матрицы Дирака — Математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . Проверено 2 ноября 2023 г.

• Лонигро, Давиде (2023). «Размерная редукция уравнения Дирака в произвольных пространственных измерениях». Европейский физический журнал Плюс . 138 (4): 324. arXiv : 2212.11965 . Бибкод : 2023EPJP..138..324L . дои : 10.1140/epjp/s13360-023-03919-0 .
• Паули, В. (1936). «Математический вклад в теорию матриц Дирака» . Анналы Института Анри Пуанкаре . 6 :109.

• Пескин, М.; Шредер, Д. (1995). Введение в квантовую теорию поля . Вествью Пресс. глава 3.2. ISBN  0-201-50397-2 .

• Родригес, Валдир А.; Оливейра, Эдмундо К. де (2007). Многоликие уравнения Максвелла, Дирака и Эйнштейна: подход с использованием расслоения Клиффорда . Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-71292-3 .
• Тонг, Дэвид (2007). Лекции по квантовой теории поля (конспект лекций курса). Дэвид Тонг из Кембриджского университета . п. 93 . Проверено 07 марта 2015 г.

• Вайнберг, С. (2002). Квантовая теория полей . Том. 1. Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-55001-7 – через Интернет-архив (archive.org).

• Зи, А. (2003). Квантовая теория поля в двух словах . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. глава II.1. ISBN  0-691-01019-6 .

Внешние ссылки

• Матрицы Дирака в математическом мире, включая их групповые свойства
• Матрицы Дирака как абстрактная группа в GroupNames
• «Матрицы Дирака» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]