Матрица стрелок

В математической области линейной алгебры матрица со стрелкой представляет собой квадратную матрицу, содержащую нули во всех элементах, кроме первой строки, первого столбца и главной диагонали. Эти элементы могут быть любым числом. Другими словами, матрица имеет вид

$A={\begin{bmatrix}\,\!*&*&*&*&*\\\,\!*&*&0&0&0\\\,\!*&0&*&0&0\\\,\!*&0&0&*&0\\\,\!*&0&0&0&*\end{bmatrix}}.$

Любая симметричная перестановка матрицы наконечника стрелки, $P^{T}AP$, где P — матрица перестановок , — (перестановочная) матрица со стрелкой . В некоторых алгоритмах поиска собственных значений и векторов используются вещественные симметричные матрицы со стрелками .

Настоящие симметричные матрицы со стрелками

Пусть A — вещественная симметричная (перестановочная) матрица со стрелкой вида

$A={\begin{bmatrix}D&z\\z^{T}&\alpha \end{bmatrix}},$

где $D=\mathop {\mathrm {diag} } (d_{1},d_{2},\ldots ,d_{n-1})$ — диагональная матрица порядка n −1, $z={\begin{bmatrix}\zeta _{1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{n-1}\end{bmatrix}}^{T}$ является вектором и $\alpha$ является скаляром. Обратите внимание, что здесь стрелка указывает вправо вниз.

Позволять

$A=V\Lambda V^{T}$

— разложение по собственным значениям A , где $\Lambda =\operatorname {diag} (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})$- диагональная матрица, диагональные элементы которой являются собственными значениями A и $V={\begin{bmatrix}v_{1}&\cdots &v_{n}\end{bmatrix}}$— ортонормированная матрица, столбцы которой являются соответствующими собственными векторами . Имеет место следующее:

• Если $\zeta _{i}=0$ для какого-то я , то пара $(d_{i},e_{i})$, где $e_{i}$ — i - й стандартный базисный является собственной парой A. вектор , Таким образом, все такие строки и столбцы можно удалить, оставив матрицу со всеми $\zeta _{i}\neq 0$.
• Теорема Коши о переплетении подразумевает, что отсортированные собственные значения A переплетают отсортированные элементы. $d_{i}$: если $d_{1}\geq d_{2}\geq \cdots \geq d_{n-1}$ (этого можно добиться симметричной перестановкой строк и столбцов без ограничения общности), и если $\lambda _{i}$s сортируются соответствующим образом, тогда $\lambda _{1}\geq d_{1}\geq \lambda _{2}\geq d_{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n-1}\geq d_{n-1}\geq \lambda _{n}$.
• Если $d_{i}=d_{j}$, для некоторых $i\neq j$, из приведенного выше неравенства следует, что $d_{i}$ является собственным значением A . Масштаб проблемы можно уменьшить, уничтожив $\zeta _{j}$ с ротацией Гивенса в $(i,j)$-плоскость и действуйте, как указано выше.

Симметричные матрицы со стрелками возникают при описании безызлучательных переходов в изолированных молекулах и осцилляторах, колебательно связанных с ферми-жидкостью .

Собственные значения и собственные векторы

Симметричная матрица со стрелкой неприводима, если $\zeta _{i}\neq 0$ для всех я и $d_{i}\neq d_{j}$ для всех $i\neq j$. Собственные значения неприводимой вещественной симметричной матрицы со стрелкой являются нулями векового уравнения

$f(\lambda )=\alpha -\lambda -\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\zeta _{i}^{2}}{d_{i}-\lambda }}\equiv \alpha -\lambda -z^{T}(D-\lambda I)^{-1}z=0$

которое можно, например, вычислить методом деления пополам . Соответствующие собственные векторы равны

$v_{i}={\frac {x_{i}}{\|x_{i}\|_{2}}},\quad x_{i}={\begin{bmatrix}\left(D-\lambda _{i}I\right)^{-1}z\\-1\end{bmatrix}},\quad i=1,\ldots ,n.$

Непосредственное применение приведенной выше формулы может привести к получению собственных векторов, которые недостаточно ортогональны численно. Прямой устойчивый алгоритм, который почти с полной точностью вычисляет каждое собственное значение и каждый компонент соответствующего собственного вектора, описан в . Julia . Доступна версия программного обеспечения

Реверсы

Пусть A — неприводимая вещественная симметричная (перестановочная) матрица со стрелками вида

$A={\begin{bmatrix}D&z\\z^{T}&\alpha \end{bmatrix}}.$

Если $d_{i}\neq 0$ для всех i инверсия является модификацией диагональной матрицы первого ранга ( матрица диагональ плюс один ранг или DPR1 ):

$A^{-1}={\begin{bmatrix}D^{-1}&\\&0\end{bmatrix}}+\rho uu^{T},$

где

$u={\begin{bmatrix}D^{-1}z\\-1\end{bmatrix}},\quad \rho ={\frac {1}{\alpha -z^{T}D^{-1}z}}.$

Если $d_{i}=0$ для некоторого i обратная матрица представляет собой перестановочную неприводимую вещественную симметричную матрицу со стрелкой:

$A^{-1}={\begin{bmatrix}D_{1}^{-1}&w_{1}&0&0\\w_{1}^{T}&b&w_{2}^{T}&1/\zeta _{i}\\0&w_{2}&D_{2}^{-1}&0\\0&1/\zeta _{i}&0&0\end{bmatrix}}$

где

${\begin{alignedat}{2}D_{1}&=\mathop {\mathrm {diag} } (d_{1},d_{2},\ldots ,d_{i-1}),\\D_{2}&=\mathop {\mathrm {diag} } (d_{i+1},d_{i+2},\ldots ,d_{n-1}),\\z_{1}&={\begin{bmatrix}\zeta _{1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{i-1}\end{bmatrix}}^{T},\\z_{2}&={\begin{bmatrix}\zeta _{i+1}&\zeta _{i+2}&\cdots &\zeta _{n-1}\end{bmatrix}}^{T},\\w_{1}&=-D_{1}^{-1}z_{1}{\frac {1}{\zeta _{i}}},\\w_{2}&=-D_{2}^{-1}z_{2}{\frac {1}{\zeta _{i}}},\\b&={\frac {1}{\zeta _{i}^{2}}}\left(-a+z_{1}^{T}D_{1}^{-1}z_{1}+z_{2}^{T}D_{2}^{-1}z_{2}\right).\end{alignedat}}$