Матрица обмена

В математике , особенно в линейной алгебре , матрицы обмена (также называемые матрицей обращения , обратной идентичностью или стандартной инволютивной перестановкой ) являются особыми случаями матриц перестановок , где 1 элемент находится на антидиагонали , а все остальные элементы равны нулю. Другими словами, это версии единичной матрицы с «перевернутыми строками» или «перевернутыми столбцами» .

$${\begin{aligned}J_{2}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\[4pt]J_{3}&={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\\&\quad \vdots \\[2pt]J_{n}&={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&1\\0&0&\cdots &1&0\\\vdots &\vdots &\,{}_{_{\displaystyle \cdot }}\!\,{}^{_{_{\displaystyle \cdot }}}\!{\dot {\phantom {j}}}&\vdots &\vdots \\0&1&\cdots &0&0\\1&0&\cdots &0&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}$$

Определение

Если J — обменная матрица размера n × n , то элементы J равны $$J_{i,j}={\begin{cases}1,&i+j=n+1\\0,&i+j\neq n+1\\\end{cases}}$$

Характеристики

• Предварительное умножение матрицы на матрицу обмена переворачивает по вертикали позиции строк первой, т. е. $${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&8&9\\4&5&6\\1&2&3\end{pmatrix}}.$$
• После умножения матрицы на матрицу обмена позиции столбцов первой переворачиваются по горизонтали, т. е. $${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&2&1\\6&5&4\\9&8&7\end{pmatrix}}.$$
• Матрицы обмена симметричны ; то есть: $$J_{n}^{\mathsf {T}}=J_{n}.$$
• Для любого целого числа k : $$J_{n}^{k}={\begin{cases}I&{\text{ if }}k{\text{ is even,}}\\[2pt]J_{n}&{\text{ if }}k{\text{ is odd.}}\end{cases}}$$В частности, J _n — инволютивная матрица ; то есть, $$J_{n}^{-1}=J_{n}.$$
• След , равен 1 J _n если n нечетное, и 0, если n четное. Другими словами: $$\operatorname {tr} (J_{n})=n{\bmod {2}}.$$
• Определителем ​ J n _{является} : $$\det(J_{n})=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}$$ Как функция от n , он имеет период 4, что дает 1, 1, -1, -1, когда n конгруэнтно по модулю 4 с 0, 1, 2 и 3 соответственно.
• Характеристический полином J ​ _n : $$\det(\lambda I-J_{n})={\begin{cases}{\big [}(\lambda +1)(\lambda -1){\big ]}^{\frac {n}{2}}&{\text{ if }}n{\text{ is even,}}\\[4pt](\lambda -1)^{\frac {n+1}{2}}(\lambda +1)^{\frac {n-1}{2}}&{\text{ if }}n{\text{ is odd.}}\end{cases}}$$
• матрица Сопряженная J ​ _n : $$\operatorname {adj} (J_{n})=\operatorname {sgn}(\pi _{n})J_{n}.$$ где sn — знак перестановки π k ₍ из k элементов).

Отношения

• Матрица обмена — это простейшая антидиагональная матрица .
• Любая матрица A, удовлетворяющая условию AJ = JA, называется центросимметричной .
• Любая матрица A, удовлетворяющая условию AJ = JA ^Т называется персимметричным .
• Симметричные матрицы A , удовлетворяющие условию AJ = JA, называются бисимметричными . Бисимметричные матрицы бывают как центросимметричными, так и персимметричными.

См. также

• Матрицы Паули (первая матрица Паули представляет собой матрицу обмена 2 × 2)