Матрицы Гелл-Манна

Матрицы Гелл-Манна , разработанные Мюрреем Гелл-Манном , представляют собой набор из восьми линейно независимых размером 3×3, бесследовых эрмитовых матриц используемых при изучении сильного взаимодействия в физике элементарных частиц .Они охватывают алгебру Ли группы SU(3) в определяющем представлении.

Матрицы

$\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.$

Характеристики

Основная статья: Обобщения матриц Паули

Эти матрицы являются бесследовыми , эрмитовыми и подчиняются дополнительному соотношению ортонормированности следов, поэтому они могут генерировать унитарные элементы группы матриц SU (3) посредством возведения в степень . Эти свойства были выбраны Гелл-Манном, поскольку они затем естественным образом обобщают матрицы Паули для SU(2) до SU(3), которые легли в основу кварковой модели Гелл-Манна . Обобщение Гелл-Манна далее распространяется на общее SU( n ) . Информацию об их связи со стандартным базисом алгебр Ли см. в базисе Вейля – Картана .

Отследить ортонормированность

В математике ортонормальность обычно подразумевает норму, имеющую значение единицы (1). Матрицы Гелла-Манна, однако, нормированы на значение 2. Таким образом, след попарного произведения приводит к условию ортонормировки

$\operatorname {tr} (\lambda _{i}\lambda _{j})=2\delta _{ij},$

где $\delta _{ij}$ это дельта Кронекера .

Таким образом, вложенные матрицы Паули, соответствующие трем вложенным подалгебрам SU (2), традиционно нормализуются. В этом трехмерном матричном представлении подалгебра Картана представляет собой набор линейных комбинаций (с действительными коэффициентами) двух матриц. $\lambda _{3}$ и $\lambda _{8}$, которые коммутируют друг с другом.

Есть три важные подалгебры SU (2) :

• $\{\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\}$
• $\{\lambda _{4},\lambda _{5},x\},$ и
• $\{\lambda _{6},\lambda _{7},y\},$

где x и y — линейные комбинации $\lambda _{3}$ и $\lambda _{8}$. Казимиры SU(2) этих подалгебр коммутируют между собой.

Однако любое унитарное преобразование подобия этих подалгебр даст подалгебры SU(2). Таких преобразований бесчисленное множество.

Коммутационные отношения

8 генераторов SU(3) удовлетворяют коммутационным и антикоммутационным соотношениям

${\begin{aligned}\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2i\sum _{c}f^{abc}\lambda _{c},\\\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I+2\sum _{c}d^{abc}\lambda _{c},\end{aligned}}$

со структурными константами

${\begin{aligned}f^{abc}&=-{\frac {1}{4}}i\operatorname {tr} (\lambda _{a}[\lambda _{b},\lambda _{c}]),\\d^{abc}&={\frac {1}{4}}\operatorname {tr} (\lambda _{a}\{\lambda _{b},\lambda _{c}\}).\end{aligned}}$

Структурные константы $f^{abc}$ полностью антисимметричны по трем индексам, обобщая антисимметрию символа Леви-Чивита. $\epsilon _{jkl}$ СУ ( 2) . Для данного порядка матриц Гелл-Манна они принимают значения

$f^{123}=1\ ,\quad f^{147}=f^{165}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=f^{376}={\frac {1}{2}}\ ,\quad f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\ .$

В общем, они оцениваются как ноль, если только они не содержат нечетное количество индексов из набора {2,5,7}, соответствующее антисимметричному (мнимому) λ s.

Используя эти коммутационные соотношения, произведение матриц Гелл-Манна можно записать как

$\lambda _{a}\lambda _{b}={\frac {1}{2}}([\lambda _{a},\lambda _{b}]+\{\lambda _{a},\lambda _{b}\})={\frac {2}{3}}\delta _{ab}I+\sum _{c}\left(d^{abc}+if^{abc}\right)\lambda _{c},$

где I — единичная матрица.

Отношения полноты Фирца

Поскольку восемь матриц и единица представляют собой полный след-ортогональный набор, охватывающий все матрицы 3×3, легко найти два отношения полноты Фирца (Ли и Ченг, 4.134), аналогичные тому, которому удовлетворяют матрицы Паули . А именно, используя точку для суммирования по восьми матрицам и используя греческие индексы для индексов строк/столбцов, выполняются следующие тождества:

$\delta _{\beta }^{\alpha }\delta _{\delta }^{\gamma }={\frac {1}{3}}\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }+{\frac {1}{2}}\lambda _{\delta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\beta }^{\gamma }$

и

$\lambda _{\beta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\delta }^{\gamma }={\frac {16}{9}}\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }-{\frac {1}{3}}\lambda _{\delta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\beta }^{\gamma }~.$

Можно предпочесть переработанную версию, полученную в результате линейной комбинации вышеизложенного:

$\lambda _{\beta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\delta }^{\gamma }=2\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }-{\frac {2}{3}}\delta _{\beta }^{\alpha }\delta _{\delta }^{\gamma }~.$

Теория представлений

Основная статья: Коэффициенты Клебша – Гордана для SU (3)

Конкретный выбор матриц называется групповым представлением , поскольку любой элемент SU(3) можно записать в виде $\mathrm {exp} (i\theta ^{j}g_{j})$ используя обозначения Эйнштейна , где восемь $\theta ^{j}$ сумма по индексу j являются действительными числами, и подразумевается . Учитывая одно представление, эквивалентное можно получить с помощью произвольного унитарного преобразования подобия, поскольку при этом коммутатор остается неизменным.

Матрицы могут быть реализованы как представление бесконечно малых генераторов специальной унитарной группы, называемой SU(3) . Алгебра Ли этой группы (фактически настоящая алгебра Ли) имеет размерность восемь и, следовательно, имеет некоторое множество с восемью линейно независимыми образующими, которое можно записать как $g_{i}$, где я принимаю значения от 1 до 8.

Операторы Казимира и инварианты

Квадрат суммы матриц Гелл-Манна дает квадратичный оператор Казимира , групповой инвариант,

$C=\sum _{i=1}^{8}\lambda _{i}\lambda _{i}={\frac {16}{3}}I$

где $I\,$представляет собой единичную матрицу 3×3. Существует еще один независимый кубический оператор Казимира .

Приложение к квантовой хромодинамике

Основные статьи: Цветовой заряд и квантовая хромодинамика.

Эти матрицы служат для изучения внутренних (цветовых) вращений глюонных полей, связанных с цветными кварками квантовой хромодинамики (ср. цвета глюона ). Вращение цвета датчика является зависящим от пространства-времени элементом группы SU (3). $\;U=\exp \left({\frac {\ i\ }{2}}\ \theta ^{k}({\mathbf {r} },t)\ \lambda _{k}\right)\;,$ суммирование по восьми индексам k где подразумевается .

См. Также: коэффициенты Клебша – Гордана для SU (3).

См. также

• элемент Казимира
• Коэффициенты Клебша – Гордана для SU (3)
• Обобщения матриц Паули
• Представления группы
• Убийственная форма
• Матрицы Паули
• Он разваливается
• СУ(3)

Ссылки

• Гелл-Манн, Мюррей (1 февраля 1962 г.). «Симметрии барионов и мезонов» . Физический обзор . 125 (3). Американское физическое общество (APS): 1067–1084. Бибкод : 1962PhRv..125.1067G . дои : 10.1103/physrev.125.1067 . ISSN   0031-899X .
• Ченг, Т.-П.; Ли, Л.-Ф. (1983). Калибровочная теория физики элементарных частиц . Издательство Оксфордского университета . ISBN  0-19-851961-3 .
• Георгий, Х. (1999). Алгебры Ли в физике элементарных частиц (2-е изд.). Вествью Пресс . ISBN  978-0-7382-0233-4 .
• Арфкен, Великобритания; Вебер, Х.Дж.; Харрис, FE (2000). Математические методы для физиков (7-е изд.). Академическая пресса . ISBN  978-0-12-384654-9 .
• Коккеди, JJJ (1969). Модель Кварка . В. А. Бенджамин . LCCN   69014391 .