Матрица Мура

В линейной алгебре матрица Мура , введенная Э. Х. Муром ( 1896 ), представляет собой матрицу, определенную над конечным полем . Когда это квадратная матрица, ее определитель называется определителем Мура (это не связано с определителем Мура кватернионной эрмитовой матрицы ). Матрица Мура имеет последовательные степени автоморфизма Фробениуса, примененные к ее столбцам (начиная с нулевой степени автоморфизма Фробениуса в первом столбце), поэтому это m × n. матрица размера

$$M={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{1}^{q}&\dots &\alpha _{1}^{q^{n-1}}\\\alpha _{2}&\alpha _{2}^{q}&\dots &\alpha _{2}^{q^{n-1}}\\\alpha _{3}&\alpha _{3}^{q}&\dots &\alpha _{3}^{q^{n-1}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{m}&\alpha _{m}^{q}&\dots &\alpha _{m}^{q^{n-1}}\\\end{bmatrix}}$$

или

$$M_{i,j}=\alpha _{i}^{q^{j-1}}$$

для всех индексов i и j . (Некоторые авторы используют транспонирование приведенной выше матрицы.)

Определитель Мура квадратной матрицы Мура (так что m = n ) можно выразить как:

$$\det(V)=\prod _{\mathbf {c} }\left(c_{1}\alpha _{1}+\cdots +c_{n}\alpha _{n}\right),$$

где c пробегает полный набор векторов направления, конкретизированный за счет того, что последняя ненулевая запись равна 1, т. е.

$$\det(V)=\prod _{1\leq i\leq n}\prod _{c_{1},\dots ,c_{i-1}}\left(c_{1}\alpha _{1}+\cdots +c_{i-1}\alpha _{i-1}+\alpha _{i}\right).$$

В частности, определитель Мура обращается в нуль тогда и только тогда, когда элементы в левом столбце линейно зависимы над конечным полем порядка q . Таким образом, это аналог вронскиана нескольких функций.

Диксон использовал определитель Мура при нахождении модулярных инвариантов полной линейной группы над конечным полем.

См. также

• Переменная матрица
• Матрица Вандермонда
• Определитель Вандермонда
• Список матриц

Ссылки

• Диксон, Леонард Юджин (1958) [1901], Магнус, Вильгельм (редактор), Линейные группы: с изложением теории поля Галуа , издания Dover Phoenix, Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN  978-0-486-49548-4 , МР   0104735
• Дэвид Госс (1996). Основные структуры арифметики функциональных полей . Спрингер Верлаг . ISBN  3-540-63541-6 . Глава 1.
• Мур, Э.Х. (1896), «Двойное обобщение теоремы Ферма», Бюллетень Американского математического общества , 2 (7): 189–199, doi : 10.1090/S0002-9904-1896-00337-2 , JFM   27.0139.05