Сопутствующая матрица

В линейной алгебре матрица Фробениуса сопутствующая монического многочлена

$$p(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}$$

квадратная матрица, определенная как

$$C(p)={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0&-c_{0}\\1&0&\dots &0&-c_{1}\\0&1&\dots &0&-c_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}}.$$

Некоторые авторы используют транспонирование этой матрицы, $C(p)^{T}$, что более удобно для некоторых целей, таких как линейные рекуррентные отношения (см. ниже).

$C(p)$ определяется из коэффициентов $p(x)$, а характеристический полином , а также минимальный полином $C(p)$ равны $p(x)$. В этом смысле матрица $C(p)$ и полином $p(x)$ являются «товарищами».

Сходство с матрицей сопутствующих товаров

Любая матрица A с элементами в поле F имеет характеристический полином $p(x)=\det(xI-A)$, который, в свою очередь, имеет сопутствующую матрицу $C(p)$. Эти матрицы связаны следующим образом.

Следующие утверждения эквивалентны:

• A аналогично ​ над F ​ $C(p)$, т. е. A может быть сопряжена со своей сопутствующей матрицей с помощью матриц из GL _n ( F );
• характеристический полином $p(x)$ совпадает с минимальным многочленом A , т.е. минимальный многочлен имеет степень n ;
• линейное отображение $A:F^{n}\to F^{n}$ делает $F^{n}$ циклический ​ $F[A]$-модуль, имеющий основу вида $\{v,Av,\ldots ,A^{n-1}v\}$; или эквивалентно $F^{n}\cong F[X]/(p(x))$ как $F[A]$-модули.

Если вышеизложенное верно, можно сказать, что A является не уничижительным .

Не каждая квадратная матрица похожа на сопутствующую матрицу, но каждая квадратная матрица похожа на блочную диагональную матрицу, состоящую из сопутствующих матриц. чтобы полином каждого диагонального блока делил следующий, они однозначно определяются A , и это дает рациональную каноническую форму A Если мы также потребуем , .

Диагонализация

Корни характеристического многочлена $p(x)$ являются собственными значениями $C(p)$. Если существует n различных собственных значений $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$, затем $C(p)$ диагонализируема ​ как $C(p)=V^{-1}\!DV$, где D — диагональная матрица, а V — матрица Вандермонда, соответствующая λ :

$$D={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\!\!\!\cdots \!\!\!&0\\0&\lambda _{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&0\\0&0&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{n}\end{bmatrix}},\qquad V={\begin{bmatrix}1&\lambda _{1}&\lambda _{1}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{1}^{n}\\1&\lambda _{2}&\lambda _{2}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{2}^{n}\\[-1em]\vdots &\vdots &\vdots &\!\!\!\ddots \!\!\!&\vdots \\1&\lambda _{n}&\lambda _{n}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{n}^{n}\end{bmatrix}}.$$

Действительно, несложные вычисления показывают, что транспонирование $C(p)^{T}$ имеет собственные векторы $v_{i}=(1,\lambda _{i},\ldots ,\lambda _{i}^{n-1})$ с $C(p)^{T}\!(v_{i})=\lambda _{i}v_{i}$, что следует из $p(\lambda _{i})=c_{0}+c_{1}\lambda _{i}+\cdots +c_{n-1}\lambda _{i}^{n-1}+\lambda _{i}^{n}=0$. Таким образом, его диагонализирующая замена базисной матрицы равна $V^{T}=[v_{1}^{T}\ldots v_{n}^{T}]$, значение $C(p)^{T}=V^{T}D\,(V^{T})^{-1}$, и транспонирование обеих сторон дает $C(p)=V^{-1}\!DV$.

Мы можем прочитать собственные векторы $C(p)$ с $C(p)(w_{i})=\lambda _{i}w_{i}$ из уравнения $C(p)=V^{-1}\!DV$: это векторы-столбцы обратной матрицы Вандермонда. $V^{-1}=[w_{1}^{T}\cdots w_{n}^{T}]$. Эта матрица известна явно, что дает ээвекторы $w_{i}=(L_{0i},\ldots ,L_{(n-1)i})$, с координатами, равными коэффициентам полиномов Лагранжа

$$L_{i}(x)=L_{0i}+L_{1i}x+\cdots +L_{(n-1)i}x^{n-1}=\prod _{j\neq i}{\frac {x-\lambda _{j}}{\lambda _{j}-\lambda _{i}}}={\frac {p(x)}{(x-\lambda _{i})\,p'(\lambda _{i})}}.$$

Альтернативно, масштабированные собственные векторы ${\tilde {w}}_{i}=p'\!(\lambda _{i})\,w_{i}$ имеют более простые коэффициенты.

Если $p(x)$ имеет несколько корней, то $C(p)$ не диагонализируема. Скорее, каноническая форма Иордана $C(p)$ содержит один диагональный блок для каждого отдельного корня, блок m × m с $\lambda$ по диагонали, если корень $\lambda$ имеет кратность m .

Линейно-рекурсивные последовательности

Линейная рекурсивная последовательность, определяемая формулой $a_{k+n}=-c_{0}a_{k}-c_{1}a_{k+1}\cdots -c_{n-1}a_{k+n-1}$ для $k\geq 0$ имеет характеристический полином $p(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}$, чья транспонированная матрица-компаньон $C(p)^{T}$ генерирует последовательность:

$${\begin{bmatrix}a_{k+1}\\a_{k+2}\\\vdots \\a_{k+n-1}\\a_{k+n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\-c_{0}&-c_{1}&-c_{2}&\cdots &-c_{n-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{k}\\a_{k+1}\\\vdots \\a_{k+n-2}\\a_{k+n-1}\end{bmatrix}}.$$

Вектор $v=(1,\lambda ,\lambda ^{2},\ldots ,\lambda ^{n-1})$ — собственный вектор этой матрицы, где собственное значение $\lambda$ является корнем $p(x)$. Установка начальных значений последовательности, равных этому вектору, дает геометрическую последовательность. $a_{k}=\lambda ^{k}$ который удовлетворяет повторению. В случае n различных собственных значений произвольное решение $a_{k}$ можно записать как линейную комбинацию таких геометрических решений, а собственные значения наибольшей комплексной нормы дают асимптотическое приближение .

первого

Аналогично рассмотренному выше случаю линейных рекурсий, рассмотрим однородное линейное ОДУ порядка n для скалярной функции $y=y(t)$:

$$y^{(n)}+c_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +c_{1}y^{(1)}+c_{0}y=0.$$

Это можно эквивалентно описать как связанную систему однородных линейных ОДУ порядка 1 для векторной функции $z(t)=(y(t),y'(t),\ldots ,y^{(n-1)}(t))$:

$$z'=C(p)^{T}z$$

где $C(p)^{T}$ - транспонированная сопутствующая матрица для характеристического полинома

$$p(x)=x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_{0}.$$

Здесь коэффициенты $c_{i}=c_{i}(t)$ могут быть также функциями, а не только константами.

Если $C(p)^{T}$ диагонализуема, то диагонализующая замена базиса превратит ее в разделенную систему, эквивалентную одному скалярному однородному линейному ОДУ первого порядка по каждой координате.

Неоднородное уравнение

$$y^{(n)}+c_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +c_{1}y^{(1)}+c_{0}y=f(t)$$

эквивалентно системе:

$$z'=C(p)^{T}z+F(t)$$

с членом неоднородности $F(t)=(0,\ldots ,0,f(t))$.

Опять же, диагонализующая замена базиса превратит это в разделенную систему скалярно-неоднородных линейных ОДУ первого порядка.

Матрица циклического сдвига

В случае $p(x)=x^{n}-1$, когда собственные значения являются комплексными корнями из единицы Сильвестра , сопутствующая матрица и ее транспонирование сводятся к матрице циклического сдвига , циркулянтной матрице .

Карта умножения на простом расширении поля

Рассмотрим полином $p(x)=x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_{0}$ с коэффициентами в поле $F$и предположим $p(x)$ неприводим полиномов в кольце $F[x]$. Тогда примыкание к корню $\lambda$ из $p(x)$ производит расширение поля $K=F(\lambda )\cong F[x]/(p(x))$, которое также является векторным пространством над $F$ со стандартной базой $\{1,\lambda ,\lambda ^{2},\ldots ,\lambda ^{n-1}\}$. Тогда $F$-линейное умножение

$m_{\lambda }:K\to K$ определяется $m_{\lambda }(\alpha )=\lambda \alpha$

имеет размера n × n матрицу $[m_{\lambda }]$ относительно стандартной базы. С $m_{\lambda }(\lambda ^{i})=\lambda ^{i+1}$ и $m_{\lambda }(\lambda ^{n-1})=\lambda ^{n}=-c_{0}-\cdots -c_{n-1}\lambda ^{n-1}$, это сопутствующая матрица $p(x)$:

$$[m_{\lambda }]=C(p).$$

Предполагая, что это расширение отделимо (например, если $F$ имеет нулевую характеристику или является конечным полем ), $p(x)$ имеет разные корни $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ с $\lambda _{1}=\lambda$, так что

$$p(x)=(x-\lambda _{1})\cdots (x-\lambda _{n}),$$

и у него есть поле расщепления $L=F(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})$. Сейчас $m_{\lambda }$ не диагонализуемо по $F$; скорее, мы должны распространить его на $L$-линейная карта на $L^{n}\cong L\otimes _{F}K$, векторное пространство над $L$ со стандартной базой $\{1{\otimes }1,\,1{\otimes }\lambda ,\,1{\otimes }\lambda ^{2},\ldots ,1{\otimes }\lambda ^{n-1}\}$, содержащий векторы $w=(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})=\beta _{1}{\otimes }1+\cdots +\beta _{n}{\otimes }\lambda ^{n-1}$. Расширенное отображение определяется формулой $m_{\lambda }(\beta \otimes \alpha )=\beta \otimes (\lambda \alpha )$.

Матрица $[m_{\lambda }]=C(p)$ не изменяется, но, как и выше, его можно диагонализировать матрицами с элементами в $L$:

$$[m_{\lambda }]=C(p)=V^{-1}\!DV,$$

для диагональной матрицы $D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})$ и матрица Вандермонда V, соответствующая $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in L$. Явная формула для собственных векторов (масштабированных векторов-столбцов обратной матрицы Вандермонда $V^{-1}$) можно записать как:

$${\tilde {w}}_{i}=\beta _{0i}{\otimes }1+\beta _{1i}{\otimes }\lambda +\cdots +\beta _{(n-1)i}{\otimes }\lambda ^{n-1}=\prod _{j\neq i}(1{\otimes }\lambda -\lambda _{j}{\otimes }1)$$

где $\beta _{ij}\in L$ являются коэффициентами масштабированного полинома Лагранжа

$${\frac {p(x)}{x-\lambda _{i}}}=\prod _{j\neq i}(x-\lambda _{j})=\beta _{0i}+\beta _{1i}x+\cdots +\beta _{(n-1)i}x^{n-1}.$$

См. также

• Эндоморфизм Фробениуса
• Теорема Кэли – Гамильтона
• Krylov subspace