Отделяемое расширение

В теории поля — раздел алгебры , расширение алгебраического поля. $E/F$ называется сепарабельным расширением , если для любого $\alpha \in E$ , полином минимальный $\alpha$ над $F$ является сепарабельным многочленом (т. е. его формальная производная не является нулевым многочленом или, что то же самое, он не имеет повторяющихся корней ни в одном поле расширения). ^[1]Существует также более общее определение, которое применяется, когда $E$ не обязательно алгебраично над $F$ . Расширение, которое не является отделимым, называется неотделимым .

Всякое алгебраическое расширение поля нулевой сепарабельно характеристики , и всякое алгебраическое расширение конечного поля сепарабельно. ^[2]Отсюда следует, что большинство расширений, рассматриваемых в математике, сепарабельны. Тем не менее, понятие отделимости важно, поскольку существование неразделимых расширений является основным препятствием для распространения многих теорем, доказанных в нулевой характеристике, на ненулевую характеристику. Например, фундаментальная теорема теории Галуа — это теорема о нормальных расширениях , которая остаётся верной в ненулевой характеристике только в том случае, если расширения также предполагаются сепарабельными. ^[3]

Противоположная концепция, чисто неотделимое расширение , также возникает естественно, поскольку каждое алгебраическое расширение может быть однозначно разложено как чисто неотделимое расширение сепарабельного расширения. Алгебраическое расширение $E/F$ полей ненулевой характеристики $p$ является чисто неотделимым расширением тогда и только тогда, когда для любого $\alpha \in E\setminus F$ , минимальный полином $\alpha$ над $F$ является не сепарабельным многочленом или, что то же самое, для каждого элемента $x$ из $E$ существует целое положительное число $k$ такое, что $x^{p^{k}}\in F$ . ^[4]

Простейший нетривиальный пример (чисто) неразделимого расширения: $E=\mathbb {F} _{p}(x)\supseteq F=\mathbb {F} _{p}(x^{p})$ , поля рациональных функций от неопределенного x с коэффициентами в конечном поле $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /(p)$ . Элемент $x\in E$ имеет минимальный полином $f(X)=X^{p}-x^{p}\in F[X]$ , имея $f'(X)=0$ и p -кратный кратный корень, как $f(X)=(X-x)^{p}\in E[X]$ . Это простое алгебраическое расширение степени p , поскольку $E=F[x]$ , но это не нормальное расширение, поскольку группа Галуа ${\text{Gal}}(E/F)$ тривиально .

Неформальное обсуждение [ править ]

Произвольный многочлен $f$ с коэффициентами из некоторого поля $F$ называется имеющим различные корни или бесквадратным, если он имеет $корни deg f$ в некотором поле расширения. $E\supseteq F$ . Например, многочлен $g (X) = X 2 - 1$ имеет ровно $deg g = 2$ корня в комплексной плоскости ; а именно $1$ и $-1$ и, следовательно, имеет разные корни. С другой стороны, полином $h (X) = (X - 2) 2$ , который представляет собой квадрат непостоянного многочлена, не имеет различных корней, так как его степень равна двум, а $2$ — его единственный корень.

Каждый многочлен может быть разложен на линейные множители по алгебраическому замыканию поля его коэффициентов. Следовательно, многочлен не имеет различных корней тогда и только тогда, когда он делится на квадрат многочлена положительной степени. Это так тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель многочлена и его производной не является константой. Таким образом, для проверки того, является ли полином свободным от квадратов, нет необходимости явно рассматривать какое-либо расширение поля или вычислять корни.

В этом контексте случай неприводимых полиномов требует некоторой осторожности. Априори может показаться, что деление на квадрат невозможно для неприводимого многочлена , который не имеет непостоянного делителя, кроме самого себя. Однако неприводимость зависит от объемлющего поля, и многочлен может быть неприводимым над $F$ и приводимым над некоторым расширением $F$ . Точно так же делимость на квадрат зависит от окружающего поля. Если неприводимый многочлен $f$ над $F$ делится на квадрат над некоторым расширением поля, то (согласно обсуждению выше) наибольший общий делитель $f$ и его производной $f'$ не является постоянным. Обратите внимание, что коэффициенты $f'$ принадлежат тому же полю, что и коэффициенты $f$ , а наибольший общий делитель двух многочленов не зависит от окружающего поля, поэтому наибольший общий делитель $f$ и $f'$ имеет коэффициенты из $F$ . Поскольку $f$ неприводима в $F$ , этот наибольший общий делитель обязательно является $самим f$ . Поскольку степень $f'$ строго меньше степени $f$ , отсюда следует, что производная $f$ равно нулю, что означает, что характеристикой поля является простое число $p$ , и $f$ можно записать

f(x)=\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{pi}.

Такой полином, формальная производная которого равна нулю, называется неразделимым . Полиномы, которые не являются неразделимыми, называются разделимыми . — Сепарабельное расширение это расширение, которое может быть сгенерировано разделимыми элементами , то есть элементами, минимальные полиномы которых являются отделимыми.

Разделимые и неразделимые многочлены [ править ]

f Неприводимый многочлен $из$ F $[X] является$ сепарабельным тогда и только тогда, когда он имеет различные корни в любом расширении F $($ то есть, если он может быть разложен на различные линейные множители над замыканием F $алгебраическим)$ . ^[5]Пусть $f$ в $F [X]$ — неприводимый многочлен и $f' —$ его формальная производная . Тогда следующие условия являются эквивалентными условиями $неприводимого многочлена f$ отделимости :

Если $E$ является расширением $F$ , в котором $f$ является произведением линейных множителей, то никакой квадрат этих множителей не делит $f$ в $E [X]$ (то есть $f$ не имеет квадратов над $E$ ). ^[6]
Существует расширение $E$ группы $F$ такое, что $имеет$ deg $(f)$ попарно различные корни в $E.$ f ^[6]
Константа $1$ является общим делителем f $и$ f $' .$ полиномиальным наибольшим ^[7]
Формальная производная $f'$ от $f$ не является нулевым многочленом. ^[8]
Либо характеристика $F$ равна нулю, либо характеристика равна $p$ и $f$ не имеет вида $\textstyle \sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{pi}.$

Поскольку формальная производная многочлена положительной степени может быть равна нулю только в том случае, если поле имеет простую характеристику, для того, чтобы неприводимый многочлен не был разделимым, его коэффициенты должны лежать в поле простой характеристики. В более общем смысле, неприводимый (ненулевой) полином $f$ в $F [X]$ не является сепарабельным, если и только если характеристикой $F$ является (ненулевое) простое число $p$ и $f (X) = g (X п$ ) для некоторого неприводимого многочлена $g$ из $F [X]$ . ^[9] Из неоднократного применения этого свойства следует, что на самом деле $f(X)=g(X^{p^{n}})$ для неотрицательного целого числа $n$ и некоторого сепарабельного неприводимого многочлена $g$ из $F [X]$ (где $F$ предполагается, что имеет простую характеристику p ). ^[10]

Если эндоморфизм Фробениуса $x\mapsto x^{p}$ из $F$ не сюръективен, существует элемент $a\in F$ это не $p$ -я степень элемента $F$ . В этом случае полином $X^{p}-a$ является неделимым и неделимым. Обратно, если существует неразделимый неприводимый (ненулевой) полином $\textstyle f(X)=\sum a_{i}X^{ip}$ в $F [X]$ , то эндоморфизм Фробениуса F $не$ может быть автоморфизмом , так как в противном случае мы имели бы $a_{i}=b_{i}^{p}$ для некоторых $b_{i}$ , и полином $f$ будет факторизоваться как $\textstyle \sum a_{i}X^{ip}=\left(\sum b_{i}X^{i}\right)^{p}.$ ^[11]

Если $K$ — конечное поле простой характеристики p , и если $X$ — неопределенное , то поле рациональных функций над $K$ , $K (X)$ , обязательно несовершенно , и многочлен $f (Y)= Y п - X$ неразделим (его формальная производная по Y равна 0). ^[1] В более общем смысле, если F — любое поле (ненулевой) простой характеристики, для которого эндоморфизм Фробениуса не является автоморфизмом, F обладает неотделимым алгебраическим расширением. ^[12]

Поле F совершенно тогда и только тогда , когда все неприводимые многочлены сепарабельны. Отсюда следует, что $F$ совершенен тогда и только тогда, когда либо $F$ имеет нулевую характеристику, либо $F$ имеет (ненулевую) простую характеристику $p$ и эндоморфизм Фробениуса F $является$ автоморфизмом. Это включает в себя каждое конечное поле.

Отделимые элементы и отделимые расширения [ править ]

Позволять $E\supseteq F$ быть расширением поля. Элемент $\alpha \in E$ сепарабельна если над $F,$ она алгебраична над $F$ и ее минимальный многочлен сепарабельен (минимальный многочлен элемента обязательно неприводим).

Если $\alpha ,\beta \in E$ разделимы над $F$ , то $\alpha +\beta$ , $\alpha \beta$ и $1/\alpha$ отделимы над F .

множество всех элементов в $E,$ отделимых над $F,$ подполе $E$ , называемое сепарабельным замыканием F $Таким образом ,$ в $E.$ образует ^[13]

Сепарабельное замыкание $F$ в алгебраическом замыкании F $называется$ просто сепарабельным замыканием $F$ . Как и алгебраическое замыкание, оно единственно с точностью до изоморфизма и, вообще говоря, этот изоморфизм не единственен.

Расширение поля $E\supseteq F$ сепарабельно , если $E$ сепарабельное замыкание $F$ в $E.$ — Это так тогда и только тогда, когда $E$ порождается над $F$ сепарабельными элементами.

Если $E\supseteq L\supseteq F$ являются расширениями полей, то $E$ сепарабельно над $F$ тогда и только тогда, когда $E$ сепарабельно над $L$ и $L$ сепарабельно над $F$ . ^[14]

Если $E\supseteq F$ является конечным расширением (то есть $E$ является $F$ - векторным пространством конечной размерности ), то следующие утверждения эквивалентны.

$E$ сепарабельно над $F$ .
$E=F(a_{1},\ldots ,a_{r})$ где $a_{1},\ldots ,a_{r}$ являются сепарабельными элементами $E$ .
$E=F(a)$ где $a$ — отделимый элемент $E$ .
Если $K$ — алгебраическое замыкание $F$ , то существует ровно $[E:F]$ гомоморфизмы полей E $в$ K $,$ фиксирующие $F$ .
Для любого нормального расширения $K$ поля $F$ , содержащего $E$ , существует ровно $[E:F]$ гомоморфизмы полей $E$ в $K$ , фиксирующие $F$ .

Эквивалентность 3 и 1 известна как теорема о примитивных элементах или теорема Артина о примитивных элементах . Свойства 4 и 5 лежат в основе теории Галуа и, в частности, основной теоремы теории Галуа .

Сепарабельные расширения внутри алгебраических расширений [ править ]

Позволять $E\supseteq F$ — алгебраическое расширение полей характеристики $p$ . Сепарабельное замыкание $F$ в $E$ есть $S=\{\alpha \in E\mid \alpha {\text{ is separable over }}F\}.$ Для каждого элемента $x\in E\setminus S$ существует целое положительное число $k$ такое, что $x^{p^{k}}\in S,$ и, таким образом, $чисто$ неотделимым расширением S. $является$ E Отсюда следует, что $S$ — единственное промежуточное поле, сепарабельное над F $и$ над которым $E$ неразделимо совершенно . ^[15]

Если $E\supseteq F$ является конечным расширением , его степень $[E : F]$ есть произведение степеней $[S : F]$ и $[E : S]$ . Первый, часто обозначаемый $E : F] sep,$ упоминается как отделимая часть E $[] : F [$ или как отделимая степень $E / F$ ; последняя называется неотъемлемой частью степени или неотделимая степень . ^[16] Неотделимая степень равна 1 в нулевой характеристике и степени $p$ в характеристике $p > 0$ . ^[17]

С другой стороны, произвольное алгебраическое расширение $E\supseteq F$ не может иметь промежуточного расширения $K$ которое чисто неотделимо над $F$ и над которым $E$ сепарабельно , . Однако такое промежуточное расширение может существовать, если, например, $E\supseteq F$ — нормальное расширение конечной степени (в этом случае $K$ — фиксированное поле группы Галуа группы $E$ над $F$ ). что такое промежуточное расширение действительно существует и $[E : F]$ конечно, тогда $[S : F] = [E : K]$ , где $S$ — сепарабельное замыкание $F$ в $E.$ Предположим , ^[18] Известные доказательства этого равенства используют тот факт, что если $K\supseteq F$ является чисто неотделимым расширением, и если $f$ является сепарабельным неприводимым многочленом в $F [X]$ , то $f$ остается неприводимым в K [ X ] ^[19]). Из этого равенства следует, что если $[E : F]$ конечно, а $U$ — промежуточное поле между $F$ и $E$ , то $[E : F] sep = [E : U] sep \cdot[U : F] sep$ . ^[20]

Разъемное затвор $F сентябрь$ поля $F$ является сепарабельным замыканием $F$ в алгебраическом замыкании $F$ . Это максимальное расширение Галуа $F$ . По определению $F$ совершенна тогда и только тогда , когда ее сепарабельные и алгебраические замыкания совпадают.

трансцендентных расширений Отделимость

Проблемы отделимости могут возникнуть при работе с трансцендентными расширениями . Обычно это имеет место в алгебраической геометрии над полем простой характеристики, где функциональное поле алгебраического многообразия имеет степень трансцендентности над основным полем, равную размерности многообразия .

Для определения сепарабельности трансцендентного расширения естественно воспользоваться тем, что всякое полевое расширение является алгебраическим расширением чисто трансцендентного расширения . Это приводит к следующему определению.

Разделяющий базис трансцендентности расширения $E\supseteq F$ — базис трансцендентности $T$ группы $E$ такой, что $E$ — сепарабельное алгебраическое расширение $F (T)$ . Конечно порожденное расширение поля является сепарабельным тогда и только тогда, когда оно имеет разделяющую базу трансцендентности; расширение, которое не является конечно порожденным, называется сепарабельным, если каждое конечно порожденное подрасширение имеет разделяющий базис трансцендентности. ^[21]

Позволять $E\supseteq F$ быть расширением поля характеристического показателя $p$ (то есть $p = 1$ в нулевой характеристике, в противном случае $p$ является характеристикой). Следующие свойства эквивалентны:

$E$ — сепарабельное расширение $F$ ,
$E^{p}$ и $F$ пересекаются линейно не по $F^{p},$
$F^{1/p}\otimes _{F}E$ уменьшен ,
$L\otimes _{F}E$ уменьшается для каждого расширения поля $L$ поля $E$ ,

где $\otimes _{F}$ обозначает тензорное произведение полей , $F^{p}$ — поле $p$ -х степеней элементов $F$ (для любого поля $F$ ), а $F^{1/p}$ — поле, полученное присоединением к $F$ корня $p$ -й степени всех его элементов ( см. в разделе «Сепарабельная алгебра» подробности ).

Дифференциальные критерии [ править ]

Сепарабельность можно изучать с помощью выводов . Пусть $E$ — конечно порожденное расширение поля $F$ . Обозначая $\operatorname {Der} _{F}(E,E)$ E $-векторное$ пространство F $-линейных$ дифференцирований $E$ , имеем

\dim _{E}\operatorname {Der} _{F}(E,E)\geq \operatorname {tr.deg} _{F}E,

и равенство выполняется тогда и только тогда, когда E сепарабельно над F (здесь «tr.deg» обозначает степень трансцендентности ).

В частности, если $E/F$ является алгебраическим расширением, то $\operatorname {Der} _{F}(E,E)=0$ если и только если $E/F$ является разделимым. ^[22]

Позволять $D_{1},\ldots ,D_{m}$ быть основой $\operatorname {Der} _{F}(E,E)$ и $a_{1},\ldots ,a_{m}\in E$ . Затем $E$ является сепарабельной алгебраической над $F(a_{1},\ldots ,a_{m})$ тогда и только тогда, когда матрица $D_{i}(a_{j})$ является обратимым. В частности, когда $m=\operatorname {tr.deg} _{F}E$ , эта матрица обратима тогда и только тогда, когда $\{a_{1},\ldots ,a_{m}\}$ представляет собой разделяющую основу трансцендентности.

Примечания [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б Айзекс, с. 281
^ Айзекс, Теорема 18.11, с. 281
^ Айзекс, Теорема 18.13, с. 282
^ Айзекс, с. 298
^ Айзекс, с. 280
^ Перейти обратно: ^а ^б Айзекс, Лемма 18.7, с. 280
^ Айзекс, Теорема 19.4, с. 295
^ Айзекс, Следствие 19.5, с. 296
^ Айзекс, Следствие 19.6, с. 296
^ Айзекс, Следствие 19.9, с. 298
^ Айзекс, Теорема 19.7, с. 297
^ Айзекс, с. 299
^ Айзекс, Лемма 19.15, с. 300
^ Айзекс, Следствие 18.12, с. 281 и следствие 19.17, с. 301
^ Айзекс, Теорема 19.14, с. 300
^ Айзекс, с. 302
^ Ланг 2002 , Следствие V.6.2
^ Айзекс, Теорема 19.19, с. 302
^ Айзекс, Лемма 19.20, с. 302
^ Айзекс, Следствие 19.21, с. 303
^ Фрид и Джарден (2008) стр.38
^ Фрид и Джарден (2008) стр.49

Ссылки [ править ]

Борель, А. Линейные алгебраические группы , 2-е изд.
Премьер-министр Кон (2003). Базовая алгебра
Фрид, Майкл Д.; Джарден, Моше (2008). Полевая арифметика . Результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Том 11 (3-е изд.). Издательство Спрингер . ISBN 978-3-540-77269-9 . Збл 1145.12001 .
И. Мартин Айзекс (1993). Алгебра, аспирантура (1-е изд.). Издательская компания Брукса / Коула. ISBN 0-534-19002-2 .
Каплански, Ирвинг (1972). Поля и кольца . Чикагские лекции по математике (Второе изд.). Издательство Чикагского университета. стр. 55–59. ISBN 0-226-42451-0 . Збл 1001.16500 .
Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4 , МР 1878556
М. Нагата (1985). Коммутативная теория поля: новое издание, Сёкабо. (японский) [1]
Сильверман, Джозеф (1993). Арифметика эллиптических кривых . Спрингер. ISBN 0-387-96203-4 .

Внешние ссылки [ править ]

«Сепарабельное расширение поля k» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

[Isaacs281-1] Перейти обратно: ^а ^б Айзекс, с. 281

[Isaacs18.11p281-2] Айзекс, Теорема 18.11, с. 281

[3] Айзекс, Теорема 18.13, с. 282

[Isaacs298-4] Айзекс, с. 298

[5] Айзекс, с. 280

[IsaacsLem18.7-6] Перейти обратно: ^а ^б Айзекс, Лемма 18.7, с. 280

[7] Айзекс, Теорема 19.4, с. 295

[8] Айзекс, Следствие 19.5, с. 296

[9] Айзекс, Следствие 19.6, с. 296

[10] Айзекс, Следствие 19.9, с. 298

[11] Айзекс, Теорема 19.7, с. 297

[Isaacs299-12] Айзекс, с. 299

[13] Айзекс, Лемма 19.15, с. 300

[14] Айзекс, Следствие 18.12, с. 281 и следствие 19.17, с. 301

[15] Айзекс, Теорема 19.14, с. 300

[Isaacs302-16] Айзекс, с. 302

[17] Ланг 2002 , Следствие V.6.2

[18] Айзекс, Теорема 19.19, с. 302

[19] Айзекс, Лемма 19.20, с. 302

[20] Айзекс, Следствие 19.21, с. 303

[FJ38-21] Фрид и Джарден (2008) стр.38

[FJ49-22] Фрид и Джарден (2008) стр.49

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]