Простое расширение

В теории поля простое расширение — это расширение поля , которое генерируется присоединением одного элемента, называемого примитивным элементом . Простые расширения хорошо изучены и могут быть полностью классифицированы.

Теорема о примитивном элементе дает характеристику конечных простых расширений.

Определение

Расширение поля $L / K$ называется простым расширением существует элемент $θ$ , если в L с

L=K(\theta ).

Это означает, что каждый элемент $L$ может быть выражен как рациональная дробь от $θ$ с коэффициентами из $K$ ; то есть он создается из $θ$ и элементов $K$ с помощью полевых операций +, −, •, / . Эквивалентно, $L$ — наименьшее поле, содержащее как $K$ , так и $θ$ .

Существует два разных типа простых расширений (см. «Структура простых расширений» ниже).

Элемент $θ$ может быть трансцендентным над $K$ , что означает, что он не является какого -либо многочлена с коэффициентами из $K.$ корнем В этом случае $K(\theta )$ изоморфно рациональных полю функций $K(X).$

В противном $θ$ алгебраична ; над $K$ случае то есть $θ$ является корнем многочлена над $K$ . Монический полином $p(X)$ минимальной степени $n$ с $θ$ корнем называется минимальным многочленом от $θ$ . Его степень равна степени расширения поля , то есть размерности L $,$ рассматриваемой как $K$ - векторное пространство . В этом случае каждый элемент $K(\theta )$ может быть однозначно выражено как полином от $θ$ степени меньше $n$ , и $K(\theta )$ изоморфно факторкольцу $K[X]/(p(X)).$

В обоих случаях элемент $θ$ называется порождающим элементом или примитивным элементом расширения; говорят также, $что L$ порождается над $K$ посредством $θ$ .

Например, каждое конечное поле является простым расширением простого поля той же характеристики . Точнее, если $p$ — простое число и $q=p^{n},$ поле $L=\mathbb {F} _{q}$ из $q$ элементов является простым расширением n степени $K=\mathbb {F} _{p}.$ Фактически, L порождается как поле любым элементом $θ$ который является корнем неприводимого многочлена степени n из , $K[X]$ .

Однако в случае конечных полей термин «примитивный элемент» обычно используется для более сильного понятия — элемента γ , который порождает $L^{\times }=L-\{0\}$ как мультипликативная группа , так что каждый ненулевой элемент L является степенью γ , т.е. получается из γ с использованием только групповой операции • . Чтобы различать эти значения, используют термин «генератор» или примитивный элемент поля для более слабого значения, оставляя «примитивный элемент» или групповой примитивный элемент для более сильного значения. ^[1] (См. Конечное поле § Мультипликативная структура и Примитивный элемент (конечное поле) ).

Структура простых расширений

Пусть L — простое расширение K, порожденное θ . Для кольца многочленов K [ X ] одним из его основных свойств является единственный гомоморфизм колец

{\begin{aligned}\varphi :K[X]&\rightarrow L\\f(X)&\mapsto f(\theta )\,.\end{aligned}}

Могут возникнуть два случая.

Если $\varphi$ инъективен ] , его можно инъективно продолжить на поле частных K ( X ) из K [ X . Поскольку L порождается θ , это означает, что $\varphi$ является изоморфизмом K ( X на L. ) Это означает, что каждый элемент L равен неприводимой дроби многочленов от θ и что две такие неприводимые дроби равны тогда и только тогда, когда можно перейти от одной к другой путем умножения числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое значение. элемент К.

Если $\varphi$ не инъективен, пусть p ( X генератор его ядра , которое, таким образом, является минимальным полиномом θ ) — . Образ $\varphi$ является подкольцом L областью и, следовательно, целостности . Отсюда следует, что p — неприводимый многочлен и, следовательно, фактор-кольцо $K[X]/\langle p(X)\rangle$ это поле. Поскольку L порождается θ , $\varphi$ является сюръективным , и $\varphi$ индуцирует изоморфизм из $K[X]/\langle p(X)\rangle$ на Л. Это означает, что каждый элемент L равен уникальному многочлену от θ степени ниже, чем степень $n=\operatorname {deg} p(X)$ . То есть у нас есть K- базис языка L , заданный формулой $1,\theta ,\theta ^{2},\ldots ,\theta ^{n-1}$ .

Примеры

C / R, генерируемый $\theta =i={\sqrt {-1}}$ .
Вопрос ( ${\sqrt {2}}$ )/ Q, порожденный $\theta ={\sqrt {2}}$ .
Любое числовое поле (т. е. конечное расширение Q ) является простым расширением Q ( θ ) для некоторого θ . Например, $\mathbf {Q} ({\sqrt {3}},{\sqrt {7}})$ генерируется $\theta ={\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}$ .
F ( X )/ F — поле рациональных функций, порождается формальной X. переменной