Примитивный элемент (конечное поле)
В теории поля примитивный элемент конечного поля GF( q ) является генератором мультипликативной группы поля. Другими словами, α ∈ GF( q ) называется примитивным элементом, если он является примитивным ( q − 1) -м корнем из единицы в GF( q ) ; это означает, что каждый ненулевой элемент GF( q ) можно записать как α я для некоторого натурального числа i .
Если q — простое число , элементы GF( q ) можно идентифицировать с целыми числами по модулю q . В этом случае примитивный элемент еще называют примитивным корнем по модулю q .
Например, 2 является примитивным элементом поля GF(3) и GF(5) , но не GF(7), поскольку оно порождает циклическую подгруппу {2, 4, 1} порядка 3; однако 3 является примитивным элементом GF(7) . Минимальный многочлен примитивного элемента является примитивным многочленом .
Характеристики
[ редактировать ]Количество примитивных элементов
[ редактировать ]Число примитивных элементов в конечном поле GF( q ) равно φ ( q − 1) , где φ — функция Эйлера , которая подсчитывает количество элементов, меньших или равных m, которые взаимно просты с m . используя теорему о том, что мультипликативная группа конечного поля GF( q ) циклическая Это можно доказать , порядка q − 1 , и тот факт, что конечная циклическая группа порядка m содержит φ ( m ) генераторов.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Лидл, Рудольф; Харальд Нидеррайтер (1997). Конечные поля (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-39231-4 .
Внешние ссылки
[ редактировать ] | Эта абстрактной алгебре статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . |