Теорема о примитивном элементе

В теории поля теорема о примитивном элементе утверждает, что каждое конечное сепарабельное расширение поля является простым , т.е. порождается одним элементом. Из этой теоремы, в частности, следует, что все поля алгебраических чисел над рациональными числами и все расширения, в которых оба поля конечны, просты.

Терминология

Позволять $E/F$ быть расширением поля . Элемент $\alpha \in E$ является примитивным элементом для $E/F$ если $E=F(\alpha ),$ т.е. если каждый элемент $E$ можно записать как рациональную функцию в $\alpha$ с коэффициентами в $F$. Если существует такой примитивный элемент, то $E/F$ называется простым расширением .

Если расширение поля $E/F$ имеет примитивный элемент $\alpha$ и имеет конечную степень $n=[E:F]$, то каждый элемент $\gamma \in E$ можно записать в форме

$\gamma =a_{0}+a_{1}{\alpha }+\cdots +a_{n-1}{\alpha }^{n-1},$

для уникальных коэффициентов $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}\in F$. То есть набор

$\{1,\alpha ,\ldots ,{\alpha }^{n-1}\}$

является базисом E F как пространства над . векторного Степень n равна степени неприводимого многочлена от α над F , единственной унитарной $f(X)\in F[X]$ минимальной степени с α (линейная зависимость корнем $\{1,\alpha ,\ldots ,\alpha ^{n-1},\alpha ^{n}\}$).

Если L — разложения поле $f(X)$ содержащий n различных корней $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$, то существует n вложений полей $\sigma _{i}:F(\alpha )\hookrightarrow L$ определяется $\sigma _{i}(\alpha )=\alpha _{i}$ и $\sigma (a)=a$ для $a\in F$, и они распространяются на автоморфизмы L в группе Галуа , $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}\in \mathrm {Gal} (L/F)$. Действительно, для поля расширения с $[E:F]=n$, элемент $\alpha$ является примитивным элементом тогда и только тогда, когда $\alpha$ имеет n различных сопряжений $\sigma _{1}(\alpha ),\ldots ,\sigma _{n}(\alpha )$ в каком-то разделяющем поле $L\supseteq E$.

Пример

Если присоединить к рациональным числам $F=\mathbb {Q}$ два иррациональных числа ${\sqrt {2}}$ и ${\sqrt {3}}$ чтобы получить поле расширения $E=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ степени 4, можно показать, что это расширение просто, что означает $E=\mathbb {Q} (\alpha )$ за одного $\alpha \in E$. принимая $\alpha ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$, степени 1, a , a ² , а ³ можно разложить как линейные комбинации 1, ${\sqrt {2}}$, ${\sqrt {3}}$, ${\sqrt {6}}$ с целыми коэффициентами. можно решить Эту систему линейных уравнений относительно ${\sqrt {2}}$ и ${\sqrt {3}}$ над $\mathbb {Q} (\alpha )$, чтобы получить ${\sqrt {2}}={\tfrac {1}{2}}(\alpha ^{3}-9\alpha )$ и ${\sqrt {3}}=-{\tfrac {1}{2}}(\alpha ^{3}-11\alpha )$. Это показывает, что α действительно является примитивным элементом:

$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}).$

Можно также использовать следующий более общий аргумент. Поле $E=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ очевидно, имеет четыре полевых автоморфизма $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3},\sigma _{4}:E\to E$ определяется $\sigma _{i}({\sqrt {2}})=\pm {\sqrt {2}}$ и $\sigma _{i}({\sqrt {3}})=\pm {\sqrt {3}}$ за каждый выбор знаков. Минимальный полином $f(X)\in \mathbb {Q} [X]$ из $\alpha ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ должен иметь $f(\sigma _{i}(\alpha ))=\sigma _{i}(f(\alpha ))=0$, так $f(X)$ должно иметь как минимум четыре различных корня $\sigma _{i}(\alpha )=\pm {\sqrt {2}}\pm {\sqrt {3}}$. Таким образом $f(X)$ имеет степень не ниже четвертой, и $[\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} ]\geq 4$, но это степень всего поля, $[E:\mathbb {Q} ]=4$, так $E=\mathbb {Q} (\alpha )$.

Утверждение теоремы

Теорема о примитивном элементе гласит:

Каждое сепарабельное расширение поля конечной степени просто.

Эта теорема применима к полям алгебраических чисел , т.е. к конечным расширениям рациональных чисел Q , поскольку Q имеет характеристику 0 и, следовательно, каждое конечное расширение над Q сепарабельно.

Используя фундаментальную теорему теории Галуа , первая теорема немедленно следует из теоремы Стейница .

Характеристика p

Для неразборного расширения $E/F$ характеристики p , тем не менее, существует примитивный элемент при условии, что степень [ E : F ] равна p: действительно, не может быть нетривиальных промежуточных подполей, поскольку их степени были бы делителями простого числа p .

Когда [ E : F ] = р ² существует бесконечно много промежуточных полей , примитивного элемента может не быть (в этом случае по теореме Стейница ). Самый простой пример: $E=\mathbb {F} _{p}(T,U)$, поле рациональных функций от двух неопределенных T и U над конечным полем с p элементами, и $F=\mathbb {F} _{p}(T^{p},U^{p})$. Фактически, для любого $\alpha =g(T,U)$ в $E\setminus F$ показывает эндоморфизм Фробениуса , что элемент $\alpha ^{p}$ лежит в F , поэтому α является корнем $f(X)=X^{p}-\alpha ^{p}\in F[X]$, и α не может быть примитивным элементом (степени p ² над F ), но вместо этого F ( α ) — нетривиальное промежуточное поле.

Доказательство

Предположим сначала, что $F$ бесконечен. По индукции достаточно доказать, что любое конечное расширение $E=F(\beta ,\gamma )$ это просто. Для $c\in F$, предполагать $\alpha =\beta +c\gamma$ не может быть примитивным элементом, $F(\alpha )\subsetneq F(\beta ,\gamma )$. Затем $\gamma \notin F(\alpha )$, поскольку в противном случае $\beta =\alpha -c\gamma \in F(\alpha )=F(\beta ,\gamma )$. Рассмотрим минимальные многочлены $\beta ,\gamma$ над $F(\alpha )$, соответственно $f(X),g(X)\in F(\alpha )[X]$, и возьмем поле расщепления $L$ содержащий все корни $\beta ,\beta ',\ldots$ из $f(X)$ и $\gamma ,\gamma ',\ldots$ из $g(X)$. С $\gamma \notin F(\alpha )$, есть еще один корень $\gamma '\neq \gamma$и полевой автоморфизм $\sigma :L\to L$ который исправляет $F(\alpha )$ и берет $\sigma (\gamma )=\gamma '$. Тогда у нас есть $\sigma (\alpha )=\alpha$, и:

$\beta +c\gamma =\sigma (\beta +c\gamma )=\sigma (\beta )+c\,\sigma (\gamma )$, и поэтому $c={\frac {\sigma (\beta )-\beta }{\gamma -\sigma (\gamma )}}$.

Поскольку существует лишь конечное число возможностей для $\sigma (\beta )=\beta '$ и $\sigma (\gamma )=\gamma '$, только конечное число $c\in F$ не могу дать примитивный элемент $\alpha =\beta +c\gamma$. Все остальные значения дают $F(\alpha )=F(\beta ,\gamma )$.

Для случая, когда $F$ конечно, мы просто берем $\alpha$ быть примитивным корнем конечного поля расширения $E$.

История

В своих первых мемуарах 1831 года, опубликованных в 1846 году, Эварист Галуа набросал доказательство классической теоремы о примитивном элементе в случае поля разложения многочлена над рациональными числами. Пробелы в его эскизе можно было легко заполнить. (как заметил рецензент Пуассон ), используя теорему Лагранжа . 1771 года, о чем Галуа наверняка знал Вероятно, Лагранжу уже была известна теорема о примитивном элементе для расщепления полей. Затем Галуа активно использовал эту теорему при разработке группы Галуа . С тех пор он использовался при разработке теории Галуа и фундаментальной теоремы теории Галуа .

Теорема о примитивном элементе была доказана в своей современной форме Эрнстом Стейницем во влиятельной статье по теории поля в 1910 году, которая также содержит теорему Стейница ; Стейниц назвал «классическим» результатом «Теорему о примитивных элементах» и его современную версию «Теорему о промежуточных полях» .

Эмиль Артин переформулировал теорию Галуа в 1930-х годах, не опираясь на примитивные элементы.

Внешние ссылки

• Конспект Дж. Милна по полям и теории Галуа
• Теорема о примитивном элементе на mathreference.com
• Теорема о примитивном элементе на сайте Planetmath.org
• Теорема о примитивном элементе на сайте Кена Брауна (файл в формате PDF)